LB-пространство

В математике LB - пространство , также записываемое ( LB )-пространство , представляет собой топологическое векторное пространство. $X$ это локально выпуклый индуктивный предел счетной индуктивной системы. $(X_{n},i_{nm})$ банаховых пространств . Это означает, что $X$ является прямым пределом прямой системы $\left(X_{n},i_{nm}\right)$ в категории локально выпуклых топологических векторных пространств и каждое $X_{n}$ является банаховым пространством.

Если каждая из карт связей $i_{nm}$ является вложением TVS, то LB -пространство называется строгим LB -пространством . Это означает, что топология, индуцированная на $X_{n}$ к $X_{n+1}$ идентична исходной топологии на $X_{n}.$ ^[1] Некоторые авторы (например, Шефер) определяют термин « LB -пространство» как «строгое LB -пространство».

Определение

Топология на $X$ можно описать, указав, что абсолютно выпуклое подмножество $U$ это район $0$ тогда и только тогда, когда $U\cap X_{n}$ является абсолютно выпуклой окрестностью $0$ в $X_{n}$ для каждого $n.$

Характеристики

Строгое LB -пространство полно , ^[2] бочка , ^[2] и борнологический ^[2] (и, следовательно, ультраборнологический ).

Примеры

Если $D$ — локально компактное топологическое пространство , счетное на бесконечности (т. е. равно счетному объединению компактных подпространств), то пространство $C_{c}(D)$ всех непрерывных комплекснозначных функций на $D$ с компактным носителем является строгим LB -пространством. ^[3] Для любого компактного подмножества $K\subseteq D,$ позволять $C_{c}(K)$ обозначают банахово пространство комплекснозначных функций, поддерживаемых $K$ с равномерной нормой и порядком семейство компактных подмножеств $D$ путем включения. ^[3]

Окончательная топология прямого предела конечномерных евклидовых пространств

Позволять

{\begin{alignedat}{4}\mathbb {R} ^{\infty }~&:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to 0 }}\right\},\end{alignedat}}

обозначим пространство конечных последовательностей , где $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ обозначает пространство всех действительных последовательностей . Для каждого натурального числа $n\in \mathbb {N} ,$ позволять $\mathbb {R} ^{n}$ обозначим обычное евклидово пространство, наделенное евклидовой топологией , и пусть $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }$ обозначим каноническое включение, определяемое формулой $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)$ так что изображение его

\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}

и, следовательно,

\mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).

Подарите набор $\mathbb {R} ^{\infty }$ с окончательной топологией $\tau ^{\infty }$ вызванный семьей ${\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}$ всех канонических включений. При такой топологии $\mathbb {R} ^{\infty }$ становится полным Хаусдорфовым локально выпуклым секвенциальным топологическим векторным пространством являющимся , не пространством Фреше –Урысона . Топология $\tau ^{\infty }$ чем строго тоньше, топология подпространства, индуцированная на $\mathbb {R} ^{\infty }$ к $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },$ где $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ имеет свою обычную топологию продукта . Добавьте изображение $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ с финальной топологией, индуцированной на ней биекцией $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);$ то есть он наделен евклидовой топологией, перенесенной в него из $\mathbb {R} ^{n}$ с помощью $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.$ Эта топология на $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ равна топологии подпространства, индуцированной на нем формулой $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).$ Подмножество $S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }$ открыт (соответственно закрыт) в $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ тогда и только тогда, когда для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ набор $S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ является открытым (соответственно закрытым) подмножеством $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$ Топология $\tau ^{\infty }$ когерентно с семейством подпространств $\mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.$ Это делает $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ в LB-пространство. Следовательно, если $v\in \mathbb {R} ^{\infty }$ и $v_{\bullet }$ представляет собой последовательность в $\mathbb {R} ^{\infty }$ затем $v_{\bullet }\to v$ в $\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $n\in \mathbb {N}$ такой, что оба $v$ и $v_{\bullet }$ содержатся в $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ и $v_{\bullet }\to v$ в $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).$

Часто для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ каноническое включение $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}$ используется для идентификации $\mathbb {R} ^{n}$ со своим изображением $\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ в $\mathbb {R} ^{\infty };$ явно, элементы $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ и $\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)$ идентифицируются вместе. Под этой идентификацией $\left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)$ становится прямым пределом прямой системы $\left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),$ где для каждого $m\leq n,$ карта $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ – каноническое включение, определяемое формулой $\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),$ где есть $n-m$ конечные нули.

Контрпримеры

Существует борнологическое LB-пространство, сильный бидуал которого не является борнологическим. ^[4] Существует LB-пространство, которое не является квазиполным . ^[4]

См. также

DF-пространство - класс специального локально-выпуклого пространства.
Прямой предел - частный случай копредела в теории категорий.
Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
F-пространство - топологическое векторное пространство с полной трансляционно-инвариантной метрикой.
LF-пространство - Топологическое векторное пространство.

Цитаты

^ Шефер и Вольф 1999 , стр. 55–61.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Шефер и Вольф 1999 , стр. 60–63.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 57–58.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Халилулла 1982 , стр. 28–63.

Ссылки

Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. Том. 639. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8 . OCLC 297140003 .
Бирштедт, Клаус-Дитер (1988). «Введение в локально выпуклые индуктивные пределы» . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek: 35–133 . Проверено 20 сентября 2020 г.
Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4 . OCLC 17499190 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6 . ОСЛК 30593138 .
Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1216-7 . МР 0075539 . OCLC 1315788 .
Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN 978-0201029857 .
Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN 978-3-519-02224-4 . ОСЛК 8210342 .
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2 . МР 0248498 . OCLC 840293704 .
Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства II . Основные принципы математических наук. Том 237. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9 . OCLC 180577972 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7 . OCLC 589250 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4 . ОСЛК 24909067 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4 . OCLC 849801114 .

[FOOTNOTESchaeferWolff199955–61-1] Шефер и Вольф 1999 , стр. 55–61.

[FOOTNOTESchaeferWolff199960–63-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Шефер и Вольф 1999 , стр. 60–63.

[FOOTNOTESchaeferWolff199957–58-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , стр. 57–58.

[FOOTNOTEKhaleelulla198228–63-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Халилулла 1982 , стр. 28–63.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Топологические векторные пространства (ТВП)
Basic concepts	Banach space Completeness Continuous linear operator Linear functional Fréchet space Linear map Locally convex space Metrizability Operator topologies Topological vector space Vector space
Main results	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Closed graph theorem F. Riesz's Hahn–Banach (hyperplane separation Vector-valued Hahn–Banach) Open mapping (Banach–Schauder) Bounded inverse Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
Maps	Bilinear operator form Linear map Almost open Bounded Continuous Closed Compact Densely defined Discontinuous Topological homomorphism Functional Linear Bilinear Sesquilinear Norm Seminorm Sublinear function Transpose
Types of sets	Absolutely convex/disk Absorbing/Radial Affine Balanced/Circled Banach disks Bounding points Bounded Complemented subspace Convex Convex cone (subset) Linear cone (subset) Extreme point Pre-compact/Totally bounded Prevalent/Shy Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric
Set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Convex hull Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Types of TVSs	Asplund B-complete/Ptak Banach (Countably) Barrelled BK-space (Ultra-) Bornological Brauner Complete Convenient (DF)-space Distinguished F-space FK-AK space FK-space Fréchet tame Fréchet Grothendieck Hilbert Infrabarreled Interpolation space K-space LB-space LF-space Locally convex space Mackey (Pseudo)Metrizable Montel Quasibarrelled Quasi-complete Quasinormed (Polynomially Semi-) Reflexive Riesz Schwartz Semi-complete Smith Stereotype (B Strictly Uniformly) convex (Quasi-) Ultrabarrelled Uniformly smooth Webbed With the approximation property
Category