Прямой лимит

В математике прямой предел — это способ создания объекта (обычно большого) из множества объектов (обычно меньшего размера), соединенных определенным образом. Этими объектами могут быть группы , кольца , векторные пространства или вообще объекты из любой категории . То, как они соединяются, определяется системой гомоморфизмов ( группового гомоморфизма , кольцевого гомоморфизма или, в общем, морфизмов в категории) между этими меньшими объектами. Прямая граница объектов $A_{i}$, где $i$ колеблется по некоторому направленному множеству $I$, обозначается $\varinjlim A_{i}$. Эти обозначения подавляют систему гомоморфизмов; однако предел зависит от системы гомоморфизмов.

Прямые пределы представляют собой частный случай понятия копредела в теории категорий . Прямые пределы двойственны обратным пределам , которые являются частным случаем пределов в теории категорий.

Формальное определение

Сначала мы дадим определение алгебраическим структурам, таким как группы и модули , а затем общее определение, которое можно использовать в любой категории .

пределы

В этом разделе под объектами понимается состоящее из базовых множеств , снабженных заданной алгебраической структурой , таких как группы , кольца , модули (над фиксированным кольцом), алгебры (над фиксированным полем ) и т. д. Имея это в виду, гомоморфизмы. понимаются в соответствующей ситуации ( гомоморфизмы групп и т. д.).

Позволять $\langle I,\leq \rangle$ быть направленным множеством . Позволять $\{A_{i}:i\in I\}$ быть семейством объектов индексированных , $I\,$ и $f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}$ быть гомоморфизмом для всех $i\leq j$ со следующими свойствами:

1. $f_{ii}\,$ это личность на $A_{i}\,$, и
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ для всех $i\leq j\leq k$.

Тогда пара $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ называется прямой системой над $I$.

Прямой предел прямой системы $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ обозначается $\varinjlim A_{i}$ и определяется следующим образом. Его базовым множеством является дизъюнктное объединение $A_{i}$по модулю определенного отношения эквивалентности $\sim \,$:

$\varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .$

Вот, если $x_{i}\in A_{i}$ и $x_{j}\in A_{j}$, затем $x_{i}\sim \,x_{j}$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $k\in I$ с $i\leq k$ и $j\leq k$ такой, что $f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,$.Интуитивно понятно, что два элемента в непересекающемся объединении эквивалентны тогда и только тогда, когда они «в конце концов становятся равными» в прямой системе. Эквивалентная формулировка, подчеркивающая двойственность обратного предела , состоит в том, что элемент эквивалентен всем своим образам при отображениях прямой системы, т.е. $x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})$ в любое время $i\leq j$.

Из этого определения получают канонические функции $\phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}$ отправка каждого элемента в его класс эквивалентности. Алгебраические операции над $\varinjlim A_{i}\,$ определены так, что эти отображения становятся гомоморфизмами. Формально прямой предел прямой системы $\langle A_{i},f_{ij}\rangle$ состоит из объекта $\varinjlim A_{i}$ вместе с каноническими гомоморфизмами $\phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}$.

Прямые ограничения в произвольной категории

Прямой предел может быть определен в произвольной категории ${\mathcal {C}}$ посредством универсального свойства . Позволять $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ быть прямой системой объектов и морфизмов в ${\mathcal {C}}$ (как определено выше). Цель пара — $\langle X,\phi _{i}\rangle$ где $X\,$ является объектом в ${\mathcal {C}}$ и $\phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X$ являются морфизмами для каждого $i\in I$ такой, что $\phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}$ в любое время $i\leq j$. Прямой предел прямой системы $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ является универсально отталкивающей мишенью $\langle X,\phi _{i}\rangle$ в том смысле, что $\langle X,\phi _{i}\rangle$ является целью и для каждой цели $\langle Y,\psi _{i}\rangle$, существует единственный морфизм $u\colon X\rightarrow Y$ такой, что $u\circ \phi _{i}=\psi _{i}$ для каждого я . Следующая диаграмма

затем будет коммутировать для всех i , j .

Прямой предел часто обозначается

$X=\varinjlim X_{i}$

с прямой системой $\langle X_{i},f_{ij}\rangle$ и канонические морфизмы $\phi _{i}$ быть понятым.

В отличие от алгебраических объектов, не каждая прямая система в произвольной категории имеет прямой предел. Однако если это так, то прямой предел уникален в сильном смысле: для любого другого прямого предела X ′ существует единственный изоморфизм X ′ → X , который коммутирует с каноническими морфизмами.

Примеры

• Коллекция подмножеств $M_{i}$ из набора $M$ можно частично упорядочить путем включения. Если коллекция направленная, ее прямым пределом является объединение $\bigcup M_{i}$. То же самое верно для направленного набора подгрупп данной группы или направленного набора подколец данного кольца и т. д.
• Слабая топология комплекса CW определяется как прямой предел.
• Позволять $X$ быть любым направленным множеством с наибольшим элементом $m$. Прямой предел любой соответствующей прямой системы изоморфен $X_{m}$ и канонический морфизм $\phi _{m}:X_{m}\rightarrow X$ является изоморфизмом.
• Пусть K — поле. Для положительного целого числа n рассмотрим общую линейную группу GL( n;K ), состоящую из обратимых n x n матриц размера из K. с элементами У нас есть групповой гомоморфизм GL( n;K ) → GL( n +1; K ), который увеличивает матрицы, помещая 1 в правом нижнем углу и нули в других местах последней строки и столбца. Прямым пределом этой системы является общая линейная группа K , записанная как GL( K ). Элемент GL( K ) можно рассматривать как бесконечную обратимую матрицу, которая отличается от бесконечной единичной матрицы только конечным числом элементов. Группа GL( K ) имеет жизненно важное значение в алгебраической K-теории .
• Пусть p — простое число . Рассмотрим прямую систему, составленную из факторных групп $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ и гомоморфизмы $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z}$ индуцированный умножением на $p$. Непосредственный предел этой системы состоит из всех корней единства порядка некоторой степени $p$, и называется группой Прюфера $\mathbb {Z} (p^{\infty })$.
• Существует (неочевидный) инъективный гомоморфизм колец кольца симметричных многочленов в $n$ переменных в кольцо симметричных полиномов в $n+1$ переменные. Образуя прямой предел этой прямой системы, мы получаем кольцо симметрических функций .
• Пусть F — C значный пучок в топологическом пространстве X. - Зафиксируйте точку x в X . Открытые окрестности точки x образуют направленное множество, упорядоченное по включению ( U ≤ V тогда и только тогда, когда U содержит V ). Соответствующая прямая система — это ( F ( U ), r _{U , V} ), где r — отображение ограничения. Прямой предел этой системы называется стеблем F x в точке и обозначается F _x . каждой окрестности U точки x канонический морфизм F ( U ) → сопоставляет _Для сечению s точки F над U элемент sx _, стебля Fx _x называемый ростком s точке в . Fx
• Прямые пределы в категории топологических пространств задаются путем размещения окончательной топологии на базовом теоретико-множественном прямом пределе.
• Инди -схема – это индуктивный предел схем.

Свойства

Прямые лимиты связаны с обратными лимитами посредством

$\mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).$

Важным свойством является то, что получение прямых пределов в категории модулей является точным функтором . Это означает, что если начать с направленной системы коротких точных последовательностей $0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0$ и образуем прямые пределы, то получим короткую точную последовательность $0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0$.

Сопутствующие конструкции и обобщения

Заметим, что прямая система в категории ${\mathcal {C}}$ допускает альтернативное описание в терминах функторов . Любой направленный набор $\langle I,\leq \rangle$ можно рассматривать как небольшую категорию ${\mathcal {I}}$ чьи объекты являются элементами $I$ и есть морфизмы $i\rightarrow j$ тогда и только тогда, когда $i\leq j$. Прямая система над $I$ тогда то же самое, что ковариантный функтор ${\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}$. Копредел этого функтора такой же , как прямой предел исходной прямой системы.

Понятие, тесно связанное с прямыми пределами, — это фильтруемые копределы . Здесь мы начнем с ковариантного функтора ${\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ из отфильтрованной категории ${\mathcal {J}}$ в какую-то категорию ${\mathcal {C}}$ и образуем копредел этого функтора. Можно показать, что категория имеет все направленные пределы тогда и только тогда, когда она имеет все отфильтрованные копределы, а функтор, определенный в такой категории, коммутирует со всеми прямыми пределами тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми отфильтрованными копределами.

Учитывая произвольную категорию ${\mathcal {C}}$, могут существовать прямые системы в ${\mathcal {C}}$ которые не имеют прямого ограничения в ${\mathcal {C}}$ (рассмотрим, например, категорию конечных множеств или категорию конечно порожденных абелевых групп ). В этом случае мы всегда можем встроить ${\mathcal {C}}$ в категорию ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ в котором существуют все прямые пределы; объекты ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ называются инд- объектами ${\mathcal {C}}$.

Категорический двойник прямого предела называется обратным пределом . Как указано выше, обратные пределы можно рассматривать как пределы определенных функторов и тесно связаны с пределами по кофильтрованным категориям.

Терминология

В литературе можно встретить термины «направленный предел», «прямой индуктивный предел», «направленный копредел», «прямой копредел» и «индуктивный предел» для понятия прямого предела, определенного выше. Однако термин «индуктивный предел» неоднозначен, поскольку некоторые авторы используют его для общего понятия копредела.

См. также

• Прямые ограничения групп

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1968), Элементы математики. Теория множеств , Перевод с французского, Париж: Hermann, MR   0237342.
• Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Тексты для выпускников по математике , том. 5 (2-е изд.), Springer-Verlag