Дробный идеал

В математике , в частности в коммутативной алгебре , понятие дробного идеала вводится в контексте областей целостности и особенно плодотворно при изучении областей Дедекинда . В некотором смысле дробные идеалы целой области подобны идеалам , в которых знаменатели разрешены . В контекстах, где дробные идеалы, так и обычные кольцевые идеалы обсуждаются как , последние для ясности иногда называют целыми идеалами .

и результаты Определение основные

Позволять $R$ — область целостности , и пусть $K=\operatorname {Frac} R$ быть его полем дробей .

Дробный идеал $R$ является $R$ - субмодуль $I$ из $K$ такое, что существует ненулевое $r\in R$ такой, что $rI\subseteq R$ . Элемент $r$ можно рассматривать как вычеркивание знаменателей в $I$ отсюда и название дробный идеал.

Главными дробными идеалами являются те, $R$ -субмодули $K$ сгенерированный одним ненулевым элементом $K$ . Дробный идеал $I$ содержится в $R$ тогда и только тогда, когда это (целый) идеал $R$ .

Дробный идеал $I$ называется обратимым , если существует другой дробный идеал $J$ такой, что

IJ=R

где

IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{>0}\}

является произведением двух дробных идеалов.

В этом случае дробный идеал $J$ однозначно определяется и равен обобщенному идеальному фактору

(R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.

Набор обратимых дробных идеалов образует абелеву группу относительно указанного выше произведения, где единица является единичным идеалом. $(1)=R$ сам. Эта группа называется группой дробных идеалов $R$ . Главные дробные идеалы образуют подгруппу . (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как $R$ - модуль . Геометрически это означает, что обратимый дробный идеал можно интерпретировать как векторное расслоение ранга 1 по аффинной схеме. ${\text{Spec}}(R)$ .

Каждый конечно порожденный R -подмодуль модуля K является дробным идеалом, и если $R$ нётерово , это все дробные идеалы $R$ .

Дедекиндовые домены [ править ]

В дедекиндовских доменах ситуация гораздо проще. В частности, каждый ненулевой дробный идеал обратим. Фактически это свойство характеризует дедекиндовские домены:

Область целостности является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда каждый ненулевой дробный идеал обратим.

Множество дробных идеалов в дедекиндовой области $R$ обозначается ${\text{Div}}(R)$ .

Его факторгруппа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом дедекиндовой области, называемой группой классов идеалов .

Числовые поля [ править ]

Для частного случая числовых полей $K$ (такой как $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ ) существует ассоциированное кольцо , обозначаемое ${\mathcal {O}}_{K}$ называется кольцом целых чисел $K$ . Например, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}\,]$ для $d$ квадратов и конгруэнтный свободный от $2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)$ . Главное свойство этих колец ${\mathcal {O}}_{K}$ это домены Дедекинда. Следовательно, теорию дробных идеалов можно описать для колец целых числовых полей. Фактически теория полей классов — это изучение таких групп колец классов.

Связанные структуры [ править ]

Для кольца целых чисел ^[1]^{стр. 2} ${\mathcal {O}}_{K}$ числового поля группа дробных идеалов образует группу, обозначаемую ${\mathcal {I}}_{K}$ а подгруппу главных дробных идеалов обозначим ${\mathcal {P}}_{K}$ . Группа идеальных классов - это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, поэтому

{\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}

и номер его класса $h_{K}$ это порядок группы, $h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|$ . В некотором смысле номер класса является мерой того, насколько «далеко» кольцо целых чисел. ${\mathcal {O}}_{K}$ это уникальный домен факторизации (UFD). Это потому что $h_{K}=1$ если и только если ${\mathcal {O}}_{K}$ это УФО.

классов идеальных Точная последовательность для групп

Есть точная последовательность

0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0

связанное с каждым числовым полем.

Структурная теорема идеалов дробных для

Одна из важных структурных теорем дробных идеалов числового поля гласит, что каждый дробный идеал $I$ разлагается однозначно с точностью до порядка

I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}

за главные идеалы

{\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})

.

в спектре ${\mathcal {O}}_{K}$ . Например,

{\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}

факторы как

(1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}

Кроме того, поскольку все дробные идеалы над числовым полем конечно порождены, мы можем очистить знаменатели, умножив их на некоторое число. $\alpha$ чтобы получить идеал $J$ . Следовательно

I={\frac {1}{\alpha }}J

Еще одна полезная структурная теорема заключается в том, что целочисленные дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами. Мы называем дробным идеалом, который является подмножеством ${\mathcal {O}}_{K}$ интеграл .

Примеры [ править ]

${\frac {5}{4}}\mathbb {Z}$ является дробным идеалом над $\mathbb {Z}$
Для $K=\mathbb {Q} (i)$ идеал $(5)$ распадается на ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]$ как $(2-i)(2+i)$
Для $K=\mathbb {Q} _{\zeta _{3}}$ у нас есть факторизация $(3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}$ . Это потому, что если мы умножим это, мы получим
${\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}$

С

\zeta _{3}

удовлетворяет

\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1

, наша факторизация имеет смысл.

Для $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})$ мы можем умножить дробные идеалы

I=(2,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}-{\frac {1}{2}})

и

J=(4,{\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}})

чтобы получить идеал

IJ=({\frac {1}{2}}{\sqrt {-23}}+{\frac {3}{2}}).

Дивизиальный идеал [ править ]

Позволять ${\tilde {I}}$ обозначают пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал $I$ .

Эквивалентно,

{\tilde {I}}=(R:(R:I)),

где как указано выше

(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.

Если ${\tilde {I}}=I$ тогда I называется дивизориальным . ^[2] Другими словами, дивизориальный идеал — это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов.

Если I дивизориален, а J — ненулевой дробный идеал, то ( I : J ) дивизориален.

Пусть R — локальная область Крулля (например, нётерова целозамкнутая локальная область). Тогда R — кольцо дискретного нормирования тогда и только тогда, когда максимальный идеал кольца R дивизориален. ^[3]

Область целостности, удовлетворяющая условиям возрастающей цепи на дивизориальных идеалах, называется областью Мори . ^[4]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Чилдресс, Нэнси (2009). Теория полей классов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-72490-4 . OCLC 310352143 .
^ Бурбаки 1998 , §VII.1
^ Бурбаки 1998 , Гл. VII, § 1, н. 7. Предложение 11.
^ Баруччи 2000 .

Ссылки [ править ]

Баруччи, Валентина (2000), «Домены Мори» , в Глазе, Сара ; Чепмен, Скотт Т. (ред.), Ненетерова коммутативная теория колец , Математика и ее приложения, том. 520, Дордрехт: Клювер Акад. Публикация, стр. 57–73, ISBN. 978-0-7923-6492-4 , МР 1858157
Стейн, Уильям, Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF)
Глава 9 Атья, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1994), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
Глава VII.1 Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Издательство Springer , ISBN 3-540-64239-0
Глава 11 Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-36764-6 , МР 1011461

[1] Чилдресс, Нэнси (2009). Теория полей классов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-72490-4 . OCLC 310352143 .

[2] Бурбаки 1998 , §VII.1

[3] Бурбаки 1998 , Гл. VII, § 1, н. 7. Предложение 11.

[FOOTNOTEBarucci2000-4] Баруччи 2000 .

[1]

[2]

[3]

[4]