Теорема Дедекинда – Куммера

В теории алгебраических чисел теорема Дедекинда-Куммера описывает, как простой идеал в области Дедекинда области факторизуется по целочисленному замыканию .

Оператор для числовых полей

Позволять $K$ быть числовым полем таким, что $K=\mathbb {Q} (\alpha )$ для $\alpha \in {\mathcal {O}}_{K}$ и пусть $f$ — минимальный полином для $\alpha$ над $\mathbb {Z} [x]$. Для любого простого числа $p$ не делящий $[{\mathcal {O}}_{K}:\mathbb {Z} [\alpha ]]$, писать $$f(x)\equiv \pi _{1}(x)^{e_{1}}\cdots \pi _{g}(x)^{e_{g}}\mod p$$где $\pi _{i}(x)$ являются унитарными неприводимыми полиномами в $\mathbb {F} _{p}[x]$. Затем $(p)=p{\mathcal {O}}_{K}$ факторы в основные идеалы, как $$(p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}^{e_{g}}$$такой, что $N({\mathfrak {p}}_{i})=p^{\deg \pi _{i}}$.

Заявление о доменах Дедекинда

Теорема Дедекинда-Куммера справедлива в более общем смысле, чем в случае числовых полей: пусть ${\mathcal {o}}$ быть дедекиндовой областью, содержащейся в ее факторполе $K$, $L/K$ конечное сепарабельное расширение поля с $L=K[\theta ]$ для подходящего генератора $\theta$ и ${\mathcal {O}}$ интегральное закрытие ${\mathcal {o}}$. Вышеописанная ситуация является частным случаем, поскольку можно выбрать ${\mathcal {o}}=\mathbb {Z} ,K=\mathbb {Q} ,{\mathcal {O}}={\mathcal {O}}_{L}$).

Если $(0)\neq {\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {o}}$ является простым идеалом, взаимно простым с проводником ${\mathfrak {F}}=\{a\in {\mathcal {O}}\mid a{\mathcal {O}}\subseteq {\mathcal {o}}[\theta ]\}$ (т.е. их сумма равна ${\mathcal {O}}$). Рассмотрим минимальный полином $f\in {\mathcal {o}}[x]$ из $\theta$. Полином ${\overline {f}}\in ({\mathcal {o}}/{\mathfrak {p}})[x]$ имеет разложение $${\overline {f}}={\overline {f_{1}}}^{e_{1}}\cdots {\overline {f_{r}}}^{e_{r}}$$ с попарно различными неприводимыми полиномами ${\overline {f_{i}}}$.Факторизация ${\mathfrak {p}}$ в первичные идеалы ${\mathcal {O}}$ затем дается $${\mathfrak {p}}={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {P}}_{r}^{e_{r}}$$ где ${\mathfrak {P}}_{i}={\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}+(f_{i}(\theta ){\mathcal {O}})$ и $f_{i}$ полиномы ${\overline {f_{i}}}$ поднят до ${\mathcal {o}}[x]$.