Интегральная замкнутость идеала

В алгебре — целое замыкание идеала I коммутативного кольца R , обозначаемое через ${\overline {I}}$, является набором всех элементов r в R , которые являются целыми над I : существуют $a_{i}\in I^{i}$ такой, что

$r^{n}+a_{1}r^{n-1}+\cdots +a_{n-1}r+a_{n}=0.$

Это похоже на целостное замыкание подкольца. Например, если R — домен, элемент r в R принадлежит ${\overline {I}}$ тогда и только тогда, когда существует конечно порожденный R -модуль M , аннулируемый только нулем, такой, что $rM\subset IM$. Отсюда следует, что ${\overline {I}}$ является идеалом R (на самом деле, интегральное замыкание идеала всегда является идеалом; см. ниже.) I называется целозамкнутым, если $I={\overline {I}}$.

Целое замыкание идеала появляется в теореме Риса , характеризующей аналитически неразветвленное кольцо .

Примеры

• В $\mathbb {C} [x,y]$, $x^{i}y^{d-i}$ является целым по $(x^{d},y^{d})$. Он удовлетворяет уравнению $r^{d}+(-x^{di}y^{d(d-i)})=0$, где $a_{d}=-x^{di}y^{d(d-i)}$есть в идеале.
• Радикальные идеалы (например, простые идеалы) целозамкнуты. Пересечение целозамкнутых идеалов целозамкнуто.
• В нормальном кольце для любого ненолевого делителя и любого идеала I x ${\overline {xI}}=x{\overline {I}}$. В частности, в нормальном кольце главный идеал, порождённый ненолевым делителем, целозамкнут.
• Позволять $R=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ — кольцо многочленов над полем k . Идеал I в R называется мономиальным , если он порождается мономами; то есть, $X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$. Интегральное замыкание мономиального идеала мономиально.

Структура результатов

Пусть R — кольцо. Алгебра Риса $R[It]=\oplus _{n\geq 0}I^{n}t^{n}$ может использоваться для вычисления интегрального замыкания идеала. Результат структуры следующий: интегральное замыкание $R[It]$ в $R[t]$, который оценивается, является $\oplus _{n\geq 0}{\overline {I^{n}}}t^{n}$. В частности, ${\overline {I}}$ является идеалом и ${\overline {I}}={\overline {\overline {I}}}$; т. е. целостное замыкание идеала является целозамкнутым. Отсюда также следует, что интегральное замыкание однородного идеала однородно.

Следующий тип результатов называется теоремой Бриансона–Шкоды : пусть R — регулярное кольцо, а I — идеал, порожденный l элементами. Затем ${\overline {I^{n+l}}}\subset I^{n+1}$ для любого $n\geq 0$.

Теорема Риса утверждает: пусть ( R , m ) нётерово локальное кольцо. Предположим, что оно формально равномерно (т. е. пополнение равномерно). Тогда два m -первичных идеала $I\subset J$ имеют одинаковое целочисленное замыкание тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую кратность .

См. также

• Теорема Дедекинда – Куммера

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN   0-387-94268-8 .
• Суонсон, Ирена ; Хунеке, Крейг (2006), Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-68860-4 , MR   2266432 , Reference-idHS2006, заархивировано из оригинала 15 ноября 2019 г. , получено 12 июля 2013 г.

Дальнейшее чтение

• Ирена Суонсон , оценки Риса .