Алгебра Риса
В коммутативной алгебре Риса идеала I в R коммутативном кольце алгебра определяется как
![{\displaystyle R[It]=\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33d6fdd6b4c416324e50c4b07416c79698435844)
Расширенная алгебра Риса группы I (которую некоторые авторы [1] называемой алгеброй Риса I ), определяется как
![{\displaystyle R[It,t^{-1}]=\bigoplus _{n=-\infty }^{\infty }I^{n}t^{n}\subseteq R[t,t^{- 1}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/484221506c060c9fdfbc23488fecd0f0dbcd26f0)
Эта конструкция представляет особый интерес в алгебраической геометрии, поскольку проективная схема, определяемая алгеброй Риса идеала в кольце, представляет собой раздутие спектра кольца вдоль подсхемы , определяемой идеалом. [2]
Характеристики
[ редактировать ]Алгебра Риса — это алгебра над , и он определен так, что, факторизируя по t^{-1}=0 или t=λ для λ любого обратимого элемента в R , мы получаем
![{\displaystyle \mathbb {Z} [t^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825c17f7e95d6a9059e9e82c7da2599d8df57c41)
![{\displaystyle {\text{gr}}_{I}R\ \leftarrow \ R[It]\ \to \ R.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e6b3dd1fa5d1c616e325f2900ee9f0d3b3cacb5)
Таким образом, он интерполирует между R и связанным с ним градуированным кольцом gr I R .
- Предположим, R что нётерово ; тогда R[It] также нётерово. Размерность Крулля алгебры Риса равна если I не содержится ни в одном простом идеале P с ; в противном случае . Размерность Крулля расширенной алгебры Риса равна . [3]
- Если являются идеалами в нётеровом кольце R , то расширение кольца является целым тогда и только тогда, когда J является сокращением I . [3]
- Если I — идеал в нётеровом кольце R , то алгебра Риса кольца I является фактором симметрической алгебры кольца I по его подмодулю кручения .
![{\displaystyle \dim R[It]=\dim R+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c056a97e4c9942c3f3ae8feb887347d749c314cb)
![{\displaystyle \dim R[It]=\dim R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b8d9033df9263328142e90985b71eceaf25915c)
![{\displaystyle \dim R[It,t^{-1}]=\dim R+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248ba396d3f75aaee03e9edff719bcc53ea3f8d6)
![{\displaystyle R[Jt]\subseteq R[It]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7312421e01e132443dcbcd2919ac1ea39fc94c4)
Связь с другими алгебрами раздутия
[ редактировать ]Соответствующее градуированное кольцо I можно определить как
![{\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(R)=R[It]/IR[It].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef3d45f4328de060c08ac1b4c650f72a5b94906)
Если R — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом , то специальное расслоенное кольцо I имеет вид
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]/{\mathfrak {m}}R[It].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df2691dfe4a9e49a8c254eac63f38e8c2762e226)
специального расслоенного кольца называется аналитическим распространением I Размерность Крулля .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-78122-6 .
- ^ Эйзенбуд-Харрис, Геометрия схем . Спрингер-Верлаг, 197, 2000 г.
- ^ Jump up to: а б Суонсон, Ирена ; Хунеке, Крейг (2006). Интегральное замыкание идеалов, колец и модулей . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521688604 .