Идеал (теория колец)

В математике , а точнее в теории колец , идеал кольца — это особое подмножество его элементов. Идеалы обобщают определенные подмножества целых чисел , такие как четные числа или числа, кратные 3. Сложение и вычитание четных чисел сохраняет четность, а умножение четного числа на любое целое число (четное или нечетное) приводит к получению четного числа; эти свойства закрытия и поглощения являются определяющими свойствами идеала. Идеал можно использовать для построения факторкольца аналогично тому, как в теории групп нормальная подгруппа может использоваться для построения факторгруппы .

Среди целых чисел идеалы соответствуют один к одному неотрицательным целым числам : в этом кольце каждый идеал является главным идеалом, состоящим из кратных одному неотрицательному числу. Однако в других кольцах идеалы могут не соответствовать непосредственно элементам кольца, и некоторые свойства целых чисел при обобщении на кольца более естественно связаны с идеалами, чем с элементами кольца. Например, простые идеалы кольца аналогичны простым числам , а китайская теорема об остатках может быть обобщена на идеалы. Существует версия уникальной простой факторизации идеалов дедекиндовой области (тип кольца, важный в теории чисел ).

Родственное, но отличное понятие идеала в теории порядка происходит от понятия идеала в теории колец. Дробный идеал является обобщением идеала, а обычные идеалы иногда называют целыми для ясности .

История

Эрнст Куммер изобрел концепцию идеальных чисел , которые служат «недостающими» факторами в числовых кольцах, в которых не удается выполнить уникальную факторизацию; здесь слово «идеальный» означает существование только в воображении, по аналогии с «идеальными» объектами в геометрии, такими как точки, удаленные от бесконечности. В 1876 году Рихард Дедекинд заменил неопределенное понятие Куммера конкретными наборами чисел, наборами, которые он назвал идеалами, в третьем издании Vorlesungen книги Дирихле über Zahlentheorie , к которой Дедекинд добавил множество дополнений. до определения полиномиальных колец и других коммутативных колец Позже это понятие было расширено за пределы числовых колец Дэвидом Гильбертом и особенно Эмми Нётер .

Определения и мотивация

Для произвольного кольца ⁠ $(R,+,\cdot )$⁠ , пусть $(R,+)$ быть его аддитивной группой . Подмножество I называется левым идеалом $R$ если это аддитивная подгруппа $R$ который «поглощает умножение слева на элементы ⁠ $R$⁠ "; то есть, $I$ является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

1. $(I,+)$ является подгруппой ⁠ ​ $(R,+)$⁠ ,
2. Для каждого $r\in R$ и каждый ⁠ $x\in I$⁠ , продукт $rx$ находится в ⁠ $I$⁠ .

Правый идеал определяется условием $rx\in I$ заменен на ⁠ $xr\in I$⁠ . Двусторонний идеал — это левый идеал, который также является правым идеалом, и иногда его называют просто идеалом. На языке модулей определения означают, что левый (соответственно правый, двусторонний) идеал $R$ это $R$- субмодуль ​ $R$ когда $R$ рассматривается как левый (соответственно правый, би-) $R$-модуль. Когда $R$ является коммутативным кольцом, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.

Чтобы понять понятие идеала, рассмотрим, как идеалы возникают при построении колец «элементов по модулю». Для конкретики посмотрим на кольцо $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ целых чисел по модулю $n$ задано целое число $n\in \mathbb {Z}$ ( ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ — коммутативное кольцо). Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что мы получаем $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ взяв целочисленную строку $\mathbb {Z}$ и обертывание его вокруг себя, чтобы идентифицировать различные целые числа. При этом мы должны удовлетворить два требования:

1. $n$ должно быть идентифицировано с 0, поскольку $n$ конгруэнтно 0 по модулю ⁠ $n$⁠ .
2. полученная структура снова должна быть кольцом.

Второе требование заставляет нас проводить дополнительные идентификации (т. е. оно определяет точный способ, которым мы должны обернуть $\mathbb {Z}$ вокруг себя). Понятие идеала возникает, когда мы задаем вопрос:

Каков точный набор целых чисел, которые мы вынуждены идентифицировать с 0?

Ответ, что неудивительно, заключается в наборе $n\mathbb {Z} =\{nm\mid m\in \mathbb {Z} \}$ всех целых чисел, равных 0 по модулю $n$. То есть мы должны обернуть $\mathbb {Z}$ вокруг себя бесконечно много раз, так что целые числа $\ldots ,-2n,-n,n,2n,3n,\ldots$ все будут соответствовать 0. Если мы посмотрим, каким свойствам должен удовлетворять этот набор, чтобы гарантировать, что $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ является кольцом, то мы приходим к определению идеала. Действительно, можно непосредственно убедиться в том, что $n\mathbb {Z}$ является идеалом ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ .

Замечание. Также необходимо провести идентификацию с элементами, отличными от 0. Например, элементы в $1+n\mathbb {Z}$ должны быть идентифицированы цифрой 1, элементы в $2+n\mathbb {Z}$ должно быть отождествлено с 2 и так далее. Однако они однозначно определяются $n\mathbb {Z}$ с $\mathbb {Z}$ является аддитивной группой.

Аналогичную конструкцию можно построить в любом коммутативном кольце ⁠ $R$⁠ : начните с произвольного ⁠ $x\in R$⁠ , а затем отождествить с 0 все элементы идеала ⁠ $xR=\{xr\mid r\in R\}$⁠ . Оказывается, идеал $xR$ это наименьший идеал, содержащий ⁠ $x$⁠ , называемый идеалом порожденным , $x$. В более общем плане мы можем начать с произвольного подмножества ⁠ $S\subseteq R$⁠ , а затем отождествить с 0 все элементы идеала, порожденного ⁠ $S$⁠ : наименьший идеал $(S)$ такой, что ⁠ $S\subseteq (S)$⁠ . Кольцо, которое мы получим после отождествления, зависит только от идеала $(S)$ и не на съемочной площадке $S$ с чего мы начали. То есть, если ⁠ $(S)=(T)$⁠ , то полученные кольца будут одинаковыми.

Следовательно, идеал $I$ коммутативного кольца $R$ канонически захватывает информацию, необходимую для получения кольца элементов $R$ по модулю заданного подмножества ⁠ $S\subseteq R$⁠ . Элементы ⁠ $I$⁠ по определению — это те, которые конгруэнтны нулю, то есть отождествлены с нулем в полученном кольце. называется фактором Полученное кольцо $R$ к $I$ и обозначается ⁠ $R/I$⁠ . Интуитивно определение идеала постулирует два естественных условия, необходимых для $I$ содержать все элементы, обозначенные как «нули» ⁠ $R/I$⁠ :

1. $I$ является аддитивной подгруппой ⁠ $R$⁠ : ноль 0 $R$ это «ноль» ⁠ $0\in I$⁠ , и если $x_{1}\in I$ и $x_{2}\in I$ являются «нулями», то $x_{1}-x_{2}\in I$ тоже «ноль».
2. Любой $r\in R$ умноженный на «ноль» $x\in I$ это «ноль» ⁠ $rx\in I$⁠ .

Оказывается, приведенные выше условия достаточны и для $I$ содержать все необходимые «нули»: никакие другие элементы не должны обозначаться как «ноль», чтобы образовать ⁠ $R/I$⁠ . (На самом деле, никакие другие элементы не должны обозначаться как «нулевые», если мы хотим провести наименьшее количество идентификаций.)

Замечание. Приведенная выше конструкция по-прежнему работает с использованием двусторонних идеалов, даже если $R$ не обязательно коммутативен.

Примеры и свойства

(Для краткости некоторые результаты излагаются только для левых идеалов, но обычно справедливы и для правых идеалов с соответствующими изменениями обозначений.)

• В кольце R само множество R образует двусторонний идеал R, называемый единичным идеалом . Его часто также обозначают $(1)$ поскольку это именно двусторонний идеал, порожденный (см. ниже) единицей ⁠ $1_{R}$⁠ . А еще набор $\{0_{R}\}$ состоящий только из аддитивного тождества 0 _R, образует двусторонний идеал, называемый нулевым идеалом и обозначается ⁠ $(0)$⁠ . Каждый (левый, правый или двусторонний) идеал содержит нулевой идеал и содержится в единичном идеале.
• Идеал (левый, правый или двусторонний), который не является единичным идеалом, называется собственным идеалом (поскольку он является собственным подмножеством ). Примечание: левый идеал ${\mathfrak {a}}$ является правильным тогда и только тогда, когда оно не содержит единичного элемента, поскольку если $u\in {\mathfrak {a}}$ является единичным элементом, то $r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}$ за каждого ⁠ $r\in R$⁠ . Обычно существует множество правильных идеалов. В самом деле, если R — тело , то $(0),(1)$ являются его единственными идеалами, и наоборот: то есть ненулевое кольцо R является телом, если $(0),(1)$ являются единственными левыми (или правыми) идеалами. (Доказательство: если $x$ — ненулевой элемент, то главный левый идеал $Rx$ (см. ниже) не равно нулю и, следовательно, $Rx=(1)$; то есть, $yx=1$ для некоторого ненулевого ⁠ $y$⁠ . Так же, $zy=1$ для некоторого ненулевого $z$. Затем $z=z(yx)=(zy)x=x$.)
• Четные целые числа образуют идеал в кольце $\mathbb {Z}$ всех целых чисел, поскольку сумма любых двух четных целых чисел четна, и произведение любого целого числа на четное тоже четно; этот идеал обычно обозначается ⁠ $2\mathbb {Z}$⁠ . В более общем смысле, набор всех целых чисел, делящихся на фиксированное целое число. $n$ — идеал, обозначаемый ⁠ $n\mathbb {Z}$⁠ . Действительно, каждый ненулевой идеал кольца $\mathbb {Z}$ порождается своим наименьшим положительным элементом, как следствие евклидова деления , поэтому $\mathbb {Z}$ является областью главного идеала .
• Набор всех многочленов с действительными коэффициентами, делящимися на многочлен $x^{2}+1$ является идеалом в кольце всех многочленов с действительными коэффициентами ⁠ $\mathbb {R} [x]$⁠ .
• Возьми кольцо $R$ и положительное целое число ⁠ $n$⁠ . Для каждого ⁠ $1\leq i\leq n$⁠ , множество всех $n\times n$ матрицы с записями в $R$ чей $i$-я строка равна нулю – правый идеал в кольце $M_{n}(R)$ из всех $n\times n$ матрицы с записями в ⁠ $R$⁠ . Это не левый идеал. Аналогично для каждого ⁠ $1\leq j\leq n$⁠ , множество всех $n\times n$ матрицы, чьи $j$-й столбец равен нулю — это левый идеал, но не правый идеал.
• Кольцо $C(\mathbb {R} )$ всех непрерывных функций $f$ от $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ при поточечном умножении содержит идеал всех непрерывных функций $f$ такой, что ⁠ $f(1)=0$⁠ . Еще один идеал в $C(\mathbb {R} )$ задается теми функциями, которые обращаются в нуль при достаточно больших аргументах, т. е. теми непрерывными функциями $f$ для которого существует число $L>0$ такой, что $f(x)=0$ всякий раз , когда ⁠ $\vert x\vert >L$⁠ .
• Кольцо называется простым, если оно ненулевое и не имеет двусторонних идеалов, кроме ⁠. $(0),(1)$⁠ . Таким образом, тело является простым, а простое коммутативное кольцо является полем. над Кольцо матриц телом является простым кольцом.
• Если $f:R\to S$ является кольцевым гомоморфизмом , то ядро $\ker(f)=f^{-1}(0_{S})$ является двусторонним идеалом ⁠ $R$⁠ . По определению, ⁠ $f(1_{R})=1_{S}$⁠ , и, таким образом, если $S$ не является нулевым кольцом (поэтому ⁠ $1_{S}\neq 0_{S}$⁠ ), тогда $\ker(f)$ является правильным идеалом. В более общем смысле, для каждого левого идеала I из S прообраз $f^{-1}(I)$ является левым идеалом. Если I — левый идеал R , то $f(I)$ является левым идеалом подкольца $f(R)$ S не является : если f сюръективным, $f(I)$ не обязательно должен быть идеалом S ; см. также #Расширение и сокращение идеала ниже.
• Идеальное соответствие : учитывая сюръективный гомоморфизм колец ⁠ $f:R\to S$⁠ существует биективное, сохраняющее порядок соответствие между левыми (соответственно правыми, двусторонними) идеалами $R$ содержащий ядро $f$ и левые (соответственно правые, двусторонние) идеалы $S$: переписка предоставлена $I\mapsto f(I)$ и прообраз ⁠ $J\mapsto f^{-1}(J)$⁠ . Более того, для коммутативных колец это биективное соответствие ограничивается простыми идеалами, максимальными идеалами и радикальными идеалами ( Типы идеалов »). определения этих идеалов см. в разделе «
• (Для знающих модули) Если M — левый R -модуль и $S\subset M$ подмножество, то аннигилятор $\operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}$ группы S является левым идеалом. Данные идеалы ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ коммутативного кольца R , R -аннулятор кольца $({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}$ является идеалом R, называемым идеальным фактором ${\mathfrak {a}}$ к ${\mathfrak {b}}$ и обозначается ⁠ $({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})$⁠ ; это пример идеализатора в коммутативной алгебре.
• Позволять ${\mathfrak {a}}_{i},i\in S$ — возрастающая цепочка левых идеалов в кольце R ; то есть, $S$ представляет собой полностью упорядоченный набор и ${\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}$ за каждого ⁠ $i<j$⁠ . Тогда союз $\textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}$ является левым идеалом R . (Примечание: этот факт остается верным, даже если R не имеет единицы 1.)
• Приведенный выше факт вместе с леммой Цорна доказывает следующее: если $E\subset R$ является, возможно, пустым подмножеством и ${\mathfrak {a}}_{0}\subset R$ — левый идеал, не пересекающийся с E , то существует идеал, максимальный среди идеалов, содержащих ${\mathfrak {a}}_{0}$ и не пересекается с E . (Опять же, это справедливо и в том случае, если в кольце R отсутствует единица 1.) Когда $R\neq 0$, принимая ${\mathfrak {a}}_{0}=(0)$ и ⁠ $E=\{1\}$⁠ , в частности, существует левый идеал, который является максимальным среди собственных левых идеалов (часто называемый просто максимальным левым идеалом); см . в теореме Крулла . дополнительную информацию
• Произвольное объединение идеалов не обязательно должно быть идеалом, но справедливо следующее: учитывая, возможно, пустое подмножество X в R , существует наименьший левый идеал, содержащий X , который называется левым идеалом, порожденным X , и обозначается ⁠ $RX$⁠ . поскольку он является пересечением всех левых идеалов, содержащих X. Такой идеал существует , Эквивалентно, $RX$ есть множество всех (конечных) левых R -линейных комбинаций элементов X над R :

  $RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}.$

(поскольку такой промежуток является наименьшим левым идеалом, содержащим X .) правый (соответственно двусторонний) идеал, порожденный X. Аналогично определяется Для «двухстороннего» приходится использовать линейные комбинации с обеих сторон; то есть,

$RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.\,$

• Левый (соответственно правый, двусторонний) идеал, порожденный одним элементом x, называется главным левым (соответственно правым, двусторонним) идеалом, порожденным x , и обозначается $Rx$ (соответственно ⁠ $xR,RxR$⁠ ). Главный двусторонний идеал $RxR$ часто также обозначается ⁠ $(x)$⁠ . Если $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ конечное множество, то $RXR$ также пишется как ⁠ $(x_{1},\dots ,x_{n})$⁠ .
• (отношениями эквивалентности, соблюдающими кольцевую структуру) на кольце существует биективное соответствие Между идеалами и отношениями конгруэнтности : если задан идеал $I$ кольца ⁠ $R$⁠ , пусть $x\sim y$ если ⁠ $x-y\in I$⁠ . Затем $\sim$ является отношением конгруэнтности на ⁠ $R$⁠ . Обратно, учитывая отношение конгруэнтности $\sim$ на ⁠ $R$⁠ , пусть ⁠ $I=\{x\in R:x\sim 0\}$⁠ . Затем $I$ является идеалом ⁠ $R$⁠ .

Виды идеалов

Для упрощения описания все кольца считаются коммутативными. Некоммутативный случай подробно обсуждается в соответствующих статьях.

Идеалы важны, поскольку они появляются как ядра гомоморфизмов колец и позволяют определить факторкольца . Изучаются разные типы идеалов, поскольку их можно использовать для построения разных типов факторных колец.

• Максимальный идеал : Собственный идеал I называется максимальным идеалом, не существует другого собственного идеала J, в котором I является собственным подмножеством J. если Фактор-кольцо максимального идеала, является простым кольцом вообще говоря, и является полем для коммутативных колец.
• Минимальный идеал : Ненулевой идеал называется минимальным, если он не содержит других ненулевых идеалов.
• Главный идеал : Правильный идеал $I$ называется простым идеалом, если для любого $a$ и $b$ в ⁠ $R$⁠ , если $ab$ находится в ⁠ $I$⁠ , то хотя бы один из $a$ и $b$ находится в ⁠ $I$⁠ . Фактор-кольцо простого идеала является первичным кольцом вообще и областью целостности для коммутативных колец.
• Радикальный идеал или полупервичный идеал : Собственный идеал I называется радикальным или полупервичным , если для любого a в R , если a ^н в I для некоторого n , тогда a находится в I. находится Фактор-кольцо радикального идеала является полупервичным кольцом для общих колец и приведенным кольцом для коммутативных колец.
• Первичный идеал : Идеал I называется первичным идеалом , если для всех a и b в R , если ab находится в I , то хотя бы один из a и b ^н находится в I для некоторого натурального числа n . Каждый простой идеал первичен, но не наоборот. Полупервичный первичный идеал является простым.
• Главный идеал : Идеал, порожденный одним элементом.
• Конечно порожденный идеал : этот тип идеала конечно порождается как модуль.
• Примитивный идеал : Левый примитивный идеал аннулятором простого является левого модуля .
• Неприводимый идеал . Идеал называется неприводимым, если его нельзя записать как пересечение идеалов, которые его должным образом содержат.
• Комаксимальные идеалы : Два идеала I , J называются комаксимальными , если $x+y=1$ для некоторых $x\in I$ и ⁠ $y\in J$⁠ .
• Обычный идеал : этот термин имеет множество применений. Список см. в статье.
• Ниль-идеал : Идеал является нулевым идеалом, если каждый из его элементов нильпотентен.
• Нильпотентный идеал : некоторая его мощность равна нулю.
• Параметрический идеал : идеал, порожденный системой параметров .
• Совершенный идеал : Собственный идеал I в нётеровом кольце. $R$ называется совершенным идеалом, если его степень равна проективной размерности соответствующего факторкольца, ⁠ ${\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)$⁠ . Совершенный идеал несмешан .
• Несмешанный идеал : собственный идеал I в нётеровом кольце. $R$ называется несмешанным идеалом (по высоте), если высота I равна высоте каждого ассоциированного простого числа P из R / I . (Это сильнее, чем утверждение, что . См . также R/I равномерно равномерное кольцо .

Два других важных термина, использующих слово «идеал», не всегда являются идеалами своего круга. Подробности смотрите в соответствующих статьях:

• Дробный идеал : обычно определяется, когда является коммутативной областью с полем отношений K. R Несмотря на названия, дробные идеалы представляют собой R подмодулей модуля K с особым свойством. Если дробный идеал целиком содержится в R идеалом R. , то он действительно является
• Обратимый идеал : Обычно обратимый идеал A определяется как дробный идеал, для которого существует другой дробный идеал B, что AB = BA = R. такой Некоторые авторы могут также применять «обратимый идеал» к обычным кольцевым идеалам A и B с AB = BA = R в кольцах, отличных от областей.

Идеальные операции

Сумма и произведение идеалов определяются следующим образом. Для ${\mathfrak {a}}$ и ⁠ ${\mathfrak {b}}$⁠ , левые (соответственно правые) идеалы кольца R , их сумма равна

${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\}$,

который является левым (соответственно правым) идеалом,и, если ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ являются двусторонними,

${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},$

е. продукт является идеалом, порожденным всеми продуктами формы ab с in т . ${\mathfrak {a}}$ и б в ⁠ ${\mathfrak {b}}$⁠ .

Примечание ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ - наименьший левый (соответственно правый) идеал, содержащий оба ${\mathfrak {a}}$ и ${\mathfrak {b}}$ (или союз ⁠ ${\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}$⁠ ), а произведение ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ находится на пересечении ${\mathfrak {a}}$ и ⁠ ${\mathfrak {b}}$⁠ .

Дистрибутивный закон справедлив для двусторонних идеалов ⁠ ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}$⁠ ,

• ⁠ ${\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$⁠ ,
• ⁠ $({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$⁠ .

Если произведение заменяется пересечением, действует частичный распределительный закон:

${\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}$

где равенство имеет место, если ${\mathfrak {a}}$ содержит ${\mathfrak {b}}$ или ${\mathfrak {c}}$.

Примечание . Сумма и пересечение идеалов снова являются идеалом; с помощью этих двух операций соединения и встречи множество всех идеалов данного кольца образует полную модульную решетку . Решетка, вообще говоря, не является дистрибутивной решеткой . Три операции пересечения, суммы (или соединения) и произведения превращают множество идеалов коммутативного кольца в квантал .

Если ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ являются идеалами коммутативного кольца R , то ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ в следующих двух случаях (по крайней мере)

• ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)$
• ${\mathfrak {a}}$ генерируется элементами, образующими регулярную последовательность по модулю ⁠ ${\mathfrak {b}}$⁠ .

(В более общем плане разница между произведением и пересечением идеалов измеряется функтором Tor : ⁠ $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$⁠ . )

Область целостности называется дедекиндовой областью , если для каждой пары идеалов ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}$, есть идеал ${\mathfrak {c}}$ такой, что ⁠ ${\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}$⁠ . Затем можно показать, что каждый ненулевой идеал дедекиндовой области можно однозначно записать как произведение максимальных идеалов, что является обобщением фундаментальной теоремы арифметики .

Примеры идеальных операций

В $\mathbb {Z}$ у нас есть

$(n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z}$

с $(n)\cap (m)$ это набор целых чисел, которые делятся на оба $n$ и ⁠ $m$⁠ .

Позволять $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ и пусть ⁠ ${\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)$⁠ . Затем,

• ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)$ и ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)$
• ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})$
• ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})$
• ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}$ пока ${\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}$

В первом вычислении мы видим общую схему взятия суммы двух конечно порожденных идеалов. Это идеал, порожденный объединением их генераторов. В последних трех мы наблюдаем, что произведения и пересечения совпадают всякий раз, когда два идеала пересекаются в нулевом идеале. Эти вычисления можно проверить с помощью Macaulay2 .

Радикал кольца

Основная статья: Радикал кольца

Идеалы естественным образом появляются при изучении модулей, особенно в форме радикала.

Для простоты мы работаем с коммутативными кольцами, но с некоторыми изменениями результаты справедливы и для некоммутативных колец.

Пусть R — коммутативное кольцо. определению примитивный идеал R простого является аннулятором (ненулевого) -модуля R По . Джейкобсона Радикал $J=\operatorname {Jac} (R)$ R является пересечением всех примитивных идеалов. Эквивалентно,

$J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.$

Действительно, если $M$ — простой модуль и x — ненулевой элемент в M , то $Rx=M$ и $R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M$, значение $\operatorname {Ann} (M)$ является максимальным идеалом. И наоборот, если ${\mathfrak {m}}$ является максимальным идеалом, то ${\mathfrak {m}}$ является аннулятором простого R -модуля ⁠ $R/{\mathfrak {m}}$⁠ . Есть и другая характеристика (доказательство несложное):

$J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.$

Для необязательно коммутативного кольца общим фактом является то, что $1-yx$ является единичным элементом тогда и только тогда, когда $1-xy$ есть (см. ссылку), и поэтому эта последняя характеристика показывает, что радикал может быть определен как в терминах левых, так и правых примитивных идеалов.

Следующий простой, но важный факт ( лемма Накаямы ) встроен в определение радикала Джекобсона: если M — такой модуль, что ⁠ $JM=M$⁠ , то M не допускает максимального подмодуля , так как если существует максимальный подмодуль ⁠ $L\subsetneq M$⁠ , $J\cdot (M/L)=0$ и так ⁠ $M=JM\subset L\subsetneq M$⁠ , противоречие. Поскольку ненулевой конечно порожденный модуль допускает максимальный подмодуль, в частности, имеет место:

Если $JM=M$ и M конечно порождено, то ⁠ $M=0$⁠ .

Максимальный идеал является простым идеалом, поэтому имеет место

$\operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)$

пересечение слева называется нильрадикалом R . где Как оказалось, $\operatorname {nil} (R)$ является множеством нильпотентных элементов R также .

Если R — артиново кольцо , то $\operatorname {Jac} (R)$ нильпотентен и ⁠ $\operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)$⁠ . (Доказательство: во-первых, обратите внимание, что DCC подразумевает $J^{n}=J^{n+1}$ для некоторых н . Если (ДКК) ${\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})$ является идеалом, собственно минимальным над последним, то $J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0$. То есть ⁠ $J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0$⁠ , противоречие.)

Расширение и сжатие идеала

Пусть A и B — два коммутативных кольца , и пусть f : A → B — гомоморфизм колец . Если ${\mathfrak {a}}$ является идеалом в A , то $f({\mathfrak {a}})$ не обязательно должен быть идеалом в B (например, возьмем f как включение кольца целых чисел Z в поле рациональных чисел Q ). Расширение ​ ${\mathfrak {a}}^{e}$ из ${\mathfrak {a}}$ в B определяется как идеал в B, порожденный ⁠ $f({\mathfrak {a}})$⁠ . Явно,

${\mathfrak {a}}^{e}={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}$

Если ${\mathfrak {b}}$ является идеалом B , то $f^{-1}({\mathfrak {b}})$ всегда является идеалом A , называемым сжатием ${\mathfrak {b}}^{c}$ из ${\mathfrak {b}}$ к А. ​

Предполагая, что f : A → B — кольцевой гомоморфизм, ${\mathfrak {a}}$ является идеалом в A , ${\mathfrak {b}}$ является идеалом в B , то:

• ${\mathfrak {b}}$ является простым в B $\Rightarrow$ ${\mathfrak {b}}^{c}$ является простым в A .
• ${\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}}$
• ${\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}$

Неверно вообще то, что ${\mathfrak {a}}$ простота (или максимальная) в A означает, что ${\mathfrak {a}}^{e}$ является простым (или максимальным) в B . Многие классические примеры этого происходят из алгебраической теории чисел. Например, вложение ⁠ $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$⁠ . В $B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack$, фактор 2 как $2=(1+i)(1-i)$ где (можно показать) ни один из $1+i,1-i$ являются единицами в B . Так $(2)^{e}$ не является простым в B (а значит, и не максимальным). Действительно, $(1\pm i)^{2}=\pm 2i$ показывает, что ⁠ $(1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})$⁠ , ⁠ $(1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})$⁠ , и, следовательно , ⁠ $(2)^{e}=(1+i)^{2}$⁠ .

другой стороны, если f сюръективно С и ${\mathfrak {a}}\supseteq \ker f$ затем:

• ${\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}$ и ⁠ ${\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}}$⁠ .
• ${\mathfrak {a}}$ является простым идеалом в A $\Leftrightarrow$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ является простым идеалом в B .
• ${\mathfrak {a}}$ является максимальным идеалом в A $\Leftrightarrow$ ${\mathfrak {a}}^{e}$ является максимальным идеалом в B .

Замечание : Пусть K — поля L B , а и A — кольца целых чисел K расширение и L соответственно. Тогда B — интегральное расширение A и пусть f — отображение включения из A в B. , Поведение простого идеала ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}$ расширения A является одной из центральных проблем алгебраической теории чисел .

Иногда полезно следующее: главный идеал ${\mathfrak {p}}$ является сжатием простого идеала тогда и только тогда, когда ⁠ ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}$⁠ . (Доказательство: предполагая последнее, обратите внимание ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}$ пересекается ⁠ $A-{\mathfrak {p}}$⁠ , противоречие. Теперь главные идеалы $B_{\mathfrak {p}}$ соответствуют тем в B, которые не пересекаются с ⁠ $A-{\mathfrak {p}}$⁠ . Следовательно, существует простой идеал ${\mathfrak {q}}$ из B , не пересекающийся с ⁠ $A-{\mathfrak {p}}$⁠ , такой, что ${\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}$ — максимальный идеал, содержащий ⁠ ${\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}$⁠ . Затем это проверяется ${\mathfrak {q}}$ лежит над ⁠ ${\mathfrak {p}}$⁠ . Обратное очевидно.)

Обобщения

Идеалы можно обобщить на любой моноидный объект ⁠ $(R,\otimes )$⁠ , где $R$ Это объект, в котором моноида забыта структура . Левый идеал ​ $R$ является подобъектом $I$ который «поглощает умножение слева на элементы ⁠ $R$⁠ "; то есть, $I$ является левым идеалом, если он удовлетворяет следующим двум условиям:

1. $I$ является подобъектом ​ $R$
2. Для каждого $r\in (R,\otimes )$ и каждый ⁠ $x\in (I,\otimes )$⁠ , продукт $r\otimes x$ находится в ⁠ $(I,\otimes )$⁠ .

Правый идеал определяется условием " ⁠ $r\otimes x\in (I,\otimes )$⁠ " заменено на "' ⁠ $x\otimes r\in (I,\otimes )$⁠ ". Двусторонний идеал - это левый идеал, который также является правым идеалом, и иногда его называют просто идеалом. Когда $R$ является коммутативным моноидным объектом соответственно, определения левого, правого и двустороннего идеала совпадают, и термин идеал используется отдельно.

Идеал также можно рассматривать как особый тип R -модуля . Если мы рассмотрим $R$ как левый $R$-модуль (умножением слева), то левый идеал $I$ просто левый подмодуль ⁠ на самом деле это $R$⁠ . Другими словами, $I$ является левым (правым) идеалом $R$ тогда и только тогда, когда это левый (правый) $R$-модуль, являющийся подмножеством ⁠ $R$⁠ . $I$ является двусторонним идеалом, если он является под- $R$-бимодуль ⁠ $R$⁠ .

Пример: если мы позволим ⁠ $R=\mathbb {Z}$⁠ , идеал $\mathbb {Z}$ — абелева группа, являющаяся подмножеством ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ , т.е. $m\mathbb {Z}$ для некоторых ⁠ $m\in \mathbb {Z}$⁠ . Итак, они отражают все идеалы ⁠ $\mathbb {Z}$⁠ .

См. также

• Модульная арифметика
• Теорема Нётер об изоморфизме
• Булева теорема о простых идеалах
• Идеальная теория
• Идеал (теория порядка)
• Идеальная норма
• Расщепление простых идеалов в расширениях Галуа
• Идеальная связка

Ссылки

• Атья, Майкл Ф .; Макдональд, Ян Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Книги Персея. ISBN  0-201-00361-9 .
• Черт возьми, Дэвид Стивен; Фут, Ричард Мартин (2004). Абстрактная алгебра (Третье изд.). John Wiley & Sons, Inc. Хобокен, Нью-Джерси: ISBN  9780471433347 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Ланг, Серж (2005). Бакалавриат по алгебре (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-22025-3 .
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules . Vol. 1. Springer. ISBN  1-4020-2690-0 .
• Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  9780691081014 . МР   0349811 . Збл   0237.18005 .

Внешние ссылки

• Левинсон, Джейк (14 июля 2014 г.). «Геометрическая интерпретация расширения идеалов?» . Обмен стеками .