Поле дробей

«Поле частного» перенаправляется сюда. Не путать с частным кольцом .

В абстрактной алгебре поле дробей области целости — это наименьшее поле , в которое оно может быть вложено . Построение поля дробей моделируется на основе связи между областью целых чисел и полем рациональных чисел . Интуитивно он состоит из отношений между целочисленными элементами области.

Поле дробей области целостности $R$ иногда обозначается $\operatorname {Frac} (R)$ или $\operatorname {Quot} (R)$, а конструкцию иногда еще называют полем дробей , полем частных или частных полем $R$. Все четыре широко используются, но их не следует путать с фактором кольца по идеалу , который представляет собой совершенно другую концепцию. Для коммутативного кольца , не являющегося областью целостности, аналогичная конструкция называется локализацией или кольцом частных.

Определение

Учитывая целую область $R$ и позволяя $R^{*}=R\setminus \{0\}$, мы определяем отношение эквивалентности на $R\times R^{*}$ позволяя $(n,d)\sim (m,b)$ в любое время $nb=md$. Обозначим класс эквивалентности $(n,d)$ к ${\frac {n}{d}}$. Это понятие эквивалентности мотивировано рациональными числами $\mathbb {Q}$, которые обладают тем же свойством по отношению к основному кольцу $\mathbb {Z}$ целых чисел.

Тогда полем дробей является множество ${\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim$ с дополнением, данным

${\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}$

и умножение, заданное

${\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.$

Можно проверить, что эти операции корректно определены и что для любой области целостности $R$, ${\text{Frac}}(R)$ действительно поле. В частности, для $n,d\neq 0$, мультипликативный обратный ${\frac {n}{d}}$ как и ожидалось: ${\frac {d}{n}}\cdot {\frac {n}{d}}=1$.

Встраивание $R$ в $\operatorname {Frac} (R)$ карты каждый $n$ в $R$ к дроби ${\frac {en}{e}}$ для любого ненулевого $e\in R$ (класс эквивалентности не зависит от выбора $e$). Это смоделировано на тождестве ${\frac {n}{1}}=n$.

Поле дробей $R$ характеризуется следующим универсальным свойством :

если $h:R\to F$ является инъективным гомоморфизмом колец из $R$ в поле $F$, то существует единственный кольцевой гомоморфизм $g:\operatorname {Frac} (R)\to F$ который простирается $h$.

Существует категоричная трактовка этой конструкции. Позволять $\mathbf {C}$ — категория областей целостности и инъективных отображений колец. Функтор ​ из $\mathbf {C}$ к категории полей , которая переводит каждую область целостности в ее поле частных, а каждый гомоморфизм индуцированного отображения полей (существующего по универсальному свойству) является левым сопряженным функтору включения из категории полей в $\mathbf {C}$. Таким образом, категория полей (которая является полной подкатегорией) является отражающей подкатегорией $\mathbf {C}$.

Мультипликативное тождество не требуется для роли области целостности; эту конструкцию можно применить к любой ненулевой коммутативной градусе $R$ без ненулевых делителей нуля . Вложение определяется выражением $r\mapsto {\frac {rs}{s}}$ для любого ненулевого $s\in R$.

Примеры

• Поле дробей кольца целых чисел является полем рациональных чисел : $\mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )$.
• Позволять $R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ — кольцо гауссовских целых чисел . Затем $\operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}$, поле гауссовых рациональных чисел .
• Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю.
• Учитывая поле $K$, поле частных кольца многочленов в одной неопределенной $K[X]$ (которая является областью целостности), называется поле рациональных функций , поле рациональных дробей или поле рациональных выражений и обозначается $K(X)$.
• Поле частных кольца свертки полупрямых функций дает пространство операторов , включая дельта-функцию Дирака , дифференциальный оператор и интегральный оператор . Эта конструкция дает альтернативное представление преобразования Лапласа , которое не зависит явно от интегрального преобразования.

Обобщения

Локализация

Основная статья: Локализация (коммутативная алгебра)

Для любого коммутативного кольца $R$ и любое мультипликативное множество $S$ в $R$, локализация $S^{-1}R$ – коммутативное кольцо, состоящее из дробей

${\frac {r}{s}}$

с $r\in R$ и $s\in S$, где сейчас $(r,s)$ эквивалентно $(r',s')$ тогда и только тогда, когда существует $t\in S$ такой, что $t(rs'-r's)=0$.

Примечательны два особых случая:

• Если $S$ является дополнением простого идеала $P$, затем $S^{-1}R$ также обозначается $R_{P}$.
  Когда $R$ является целостной областью и $P$ нулевой идеал, $R_{P}$ это поле дробей $R$.
• Если $S$ – это множество неделителей нуля в $R$, затем $S^{-1}R$ называется полным факторкольцом .
  Полное факторкольцо области целостности — это ее поле частных, но полное факторкольцо определяется для любого коммутативного кольца .

Обратите внимание, что это разрешено для $S$ содержать 0, но в этом случае $S^{-1}R$ будет тривиальное кольцо .

Полуполе дробей

Полуполе частных коммутативного полукольца без делителей нуля — наименьшее полуполе , в которое оно может быть вложено .

Элементы полуполя дробей коммутативного полукольца $R$ являются классами эквивалентности, записанными как

${\frac {a}{b}}$

с $a$ и $b$ в $R$.

См. также

• Состояние руды ; условие, связанное с построением дробей в некоммутативном случае.
• Общее кольцо дробей