Гауссово рациональное

В математике число гауссово рациональное — это комплексное число формы p + qi , где p и q — рациональные числа . Множество всех гауссовских рациональных чисел образует гауссово рациональное поле , обозначаемое Q ( i ), полученное присоединением мнимого числа i полю рациональных чисел Q. к

Свойства поля [ править ]

Поле гауссовских рациональных чисел представляет собой пример поля алгебраических чисел , которое является одновременно квадратичным и круговым полем (поскольку i является корнем четвертой степени из единицы ). это расширение Галуа Q , и, таким образом , с группой Галуа циклической второго порядка, в данном случае порожденной комплексным сопряжением является абелевым расширением Q Как и все квадратичные поля , с проводником 4. ^[1]

Как и в случае с круговыми полями в более общем смысле, поле гауссовых рациональных чисел не является ни упорядоченным , ни полным (как метрическое пространство). Гауссовы целые числа Z [ i ] образуют кольцо целых чисел Q ( i ) . Множество всех гауссовских рациональных чисел счетно бесконечно .

Поле гауссовских рациональных чисел также является двумерным векторным пространством над Q с естественным базисом . $\{1,i\}$ .

Сферы Форда [ править ]

Понятие кругов Форда можно обобщить от рациональных чисел до гауссовых рациональных чисел, получив сферы Форда. В этой конструкции комплексные числа вложены в виде плоскости в трехмерное евклидово пространство , и для каждой гауссовской рациональной точки в этой плоскости строится сфера, касающаяся плоскости в этой точке. Для гауссовского рационального рационала, представленного в самых простых терминах как $p/q$ , радиус этой сферы должен быть $1/q{\bar {q}}$ где ${\bar {q}}$ представляет собой сопряжение комплексное $q$ . Полученные сферы касаются пар гауссовских рациональных чисел. $P/Q$ и $p/q$ с $|Pq-pQ|=1$ , а в остальном они не пересекаются друг с другом. ^[2]^[3]