Подкатегория

В математике , особенно в теории категорий , подкатегорией категории , C является категория S которой объекты являются объектами в C и чьи морфизмы являются морфизмами в C с теми же тождествами и составом морфизмов. Интуитивно понятно, что подкатегория C — это категория, полученная из C путем «удаления» некоторых его объектов и стрелок.

Формальное определение [ править ]

Пусть C — категория. Подкатегория категории S C выражением определяется

подколлекция объектов C , обозначаемая ob( S ),
подколлекция морфизмов C , обозначаемая hom( S ).

такой, что

для каждого X в ob( S ) тождественный морфизм id _X находится в hom( S ),
для каждого морфизма f : X → Y в hom( S ) и источник X , и целевой Y находятся в ob( S ),
для каждой пары морфизмов f и g из hom( S ) композиция fog находится ) , в hom( S когда бы она ни была определена.

Эти условия гарантируют, что S является самостоятельной категорией: ее коллекция объектов — ob( S ), ее коллекция морфизмов — hom( S ), а ее тождества и композиция такие же, как C. в Существует очевидный точный функтор I : S → C , называемый функтором включения , который переводит объекты и морфизмы в себя.

Пусть S подкатегория категории C. — Мы говорим, что S является полной подкатегорией C если для каждой пары объектов X и Y из S ,

\mathrm {Hom} _{\mathcal {S}}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y).

Полная подкатегория — это та, которая включает морфизмы в C между объектами S. все Для любого набора объектов A в C существует уникальная полная подкатегория C объекты которой являются объектами из A. ,

Примеры [ править ]

Категория конечных множеств образует полную подкатегорию категории множеств .
Категория, объектами которой являются множества, а морфизмы которых являются биекциями, образует неполную подкатегорию категории множеств.
Категория абелевых групп образует полную подкатегорию категории групп .
Категория колец (морфизмы которых являются единицу , сохраняющими гомоморфизмами колец ) образует неполную подкатегорию категории rng .
Для поля K категория K - векторных пространств образует полную подкатегорию категории (левых или правых) K - модулей .

Вложения [ править ]

Для подкатегории S в C функтор включения I : S → C является одновременно точным функтором и инъективным на объектах. Она полна тогда и только тогда, когда S является полной подкатегорией.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор . Такой функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма . Например, вложение Йонеды является вложением в этом смысле.

Некоторые авторы определяют вложение как полный и точный функтор, инъективный для объектов. ^[1]

Другие авторы определяют функтор как вложение , если он верный и инъективный по предметам. Эквивалентно, F является вложением, если оно инъективно относительно морфизмов. Функтор F тогда называется полным вложением , если он является полным функтором и вложением.

Согласно определениям предыдущего абзаца, для любого (полного) вложения : B → C образ F ( является категории полной) подкатегорией S C , а F индуцирует изоморфизм категорий между B и S. F Если F образ F эквивалентен не инъективен относительно объектов , B то .

В некоторых категориях можно также говорить о морфизмах категории, являющихся вложениями .

Типы подкатегорий [ править ]

Подкатегория S в C называется изоморфно-замкнутой или полной , если каждый изоморфизм k : X → Y в C такой, что Y находится в S, также принадлежит S . Полная подкатегория, замкнутая изоморфизмом, называется строго полной .

Подкатегория C — широкая или lluf (термин, впервые предложенный Питером Фрейдом). ^[2]), если он содержит все объекты C . ^[3] Широкая подкатегория обычно не является полной: единственной широкой полной подкатегорией категории является сама эта категория.

Подкатегория Серра — это непустая полная подкатегория S абелевой категории C такая, что для всех коротких точных последовательностей

0\to M'\to M\to M''\to 0

в C M тогда и только тогда , принадлежит S когда оба $M'$ и $M''$ делать. Это понятие возникает из С-теории Серра .

См. также [ править ]

Светоотражающая подкатегория
Точная категория , полная подкатегория, закрытая под расширения.

Ссылки [ править ]

^ Яап ван Остен. «Базовая теория категорий» (PDF) .
^ Фрейд, Питер (1991). «Алгебраически полные категории». Материалы Международной конференции по теории категорий, Комо, Италия (CT 1990) . Конспект лекций по математике. Том. 1488. Спрингер. стр. 95–104. дои : 10.1007/BFb0084215 . ISBN 978-3-540-54706-8 .
^ Широкая подкатегория в n Lab.

[1] Яап ван Остен. «Базовая теория категорий» (PDF) .

[2] Фрейд, Питер (1991). «Алгебраически полные категории». Материалы Международной конференции по теории категорий, Комо, Италия (CT 1990) . Конспект лекций по математике. Том. 1488. Спрингер. стр. 95–104. дои : 10.1007/BFb0084215 . ISBN 978-3-540-54706-8 .

[3] Широкая подкатегория в n Lab.

[1]

[2]

[3]