Изоморфизм категорий

В теории категорий две категории C и D изоморфны FG , если существуют функторы F : C → D и G : D → C , взаимно обратные друг другу, т. е. = 1 _D (тождественный функтор на D ) и GF = 1. _С. ​ Это означает, что и D находятся во взаимно однозначном объекты, и морфизмы C и соответствии друг другу . Две изоморфные категории обладают всеми свойствами, которые определяются исключительно с точки зрения теории категорий; для всех практических целей они идентичны и различаются только обозначениями своих объектов и морфизмов.

Изоморфизм категорий — очень сильное условие, которое на практике редко выполняется. Гораздо более важным является понятие эквивалентности категорий ; грубо говоря, для эквивалентности категорий мы не требуем, чтобы $FG$ быть равным ​ $1_{D}$, но только естественно изоморфен $1_{D}$, и аналогично этому $GF$ быть естественно изоморфным $1_{C}$.

Свойства

Как и для любого понятия изоморфизма , мы имеем следующие общие свойства, формально аналогичные отношению эквивалентности :

• любая категория C изоморфна сама себе
• если C изоморфен D , то D изоморфен C
• если C изоморфен D и D изоморфен E то C изоморфен E. ,

Функтор F : C → D дает изоморфизм категорий тогда и только тогда, когда он биективен на объектах и ​​на множествах морфизмов . поскольку позволяет избежать необходимости построения обратного функтора G. Этот критерий может быть удобен ,

Примеры

• Рассмотрим конечную группу G , поле k и групповую алгебру kG . Категория k -линейных групповых представлений группы G изоморфна категории левых модулей над kG . Изоморфизм можно описать следующим образом: дано групповое представление ρ: G → GL( V ), где V — векторное пространство над k , GL( V ) — группа его k -линейных автоморфизмов , а ρ — групповой гомоморфизм. , мы превратим V в левый модуль kG , определив
  $$\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)$$
  для каждого v в V и каждого элемента Σ a _g g в kG .
  И наоборот, если задан левый kG модуль M , то M является векторным пространством k , а умножение на элемент g из G дает k -линейный автоморфизм M (поскольку g обратим в kG ), который описывает групповой гомоморфизм G → GL. ( М ). (Еще нужно проверить несколько вещей: оба эти присваивания являются функторами, т. е. их можно применять к отображениям между представлениями групп, соответственно модулями kG , и они обратны друг другу как для объектов, так и для морфизмов). См. также Теорию представлений конечных групп § Представления, модули и алгебру свертки .
• Каждое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Категория функторов всех аддитивных функторов из этой категории в категорию абелевых групп изоморфна категории левых модулей над кольцом.
• Другой изоморфизм категорий возникает в теории булевых алгебр : категория булевых алгебр изоморфна категории булевых колец . Учитывая булеву алгебру B , мы превращаем B в булево кольцо, используя симметричную разность в качестве сложения и операцию встречи. $\land$ как умножение. И наоборот, для булевого кольца R мы определяем операцию соединения с помощью $\lor$b = a + b + ab , а операция встречи — умножение. Опять же, оба этих присваивания можно расширить до морфизмов, чтобы получить функторы, и эти функторы обратны друг другу.
• Если C — категория с начальным объектом s, то категория среза ( s ↓ C изоморфна C. ) Двойственным образом , если t является терминальным объектом в C , категория функтора ( C ↓ t изоморфна C. ) Аналогично, если 1 — категория с одним объектом и только его тождественным морфизмом (на самом деле 1 — терминальная категория ), а C — любая категория, то функторная категория C ¹ , с функторами объектов c : 1 → C , выбирая объект c ∈Ob( C ) и естественными преобразованиями стрелок f : c → d между этими функторами, выбирая морфизм f : c → d в C , снова изоморфен C .

См. также

• Эквивалентность категорий