Полные и точные функторы

В теории категорий — точный функтор это функтор на , инъективный hom -множествах , а полный функтор сюръективен на hom-множествах. Функтор, обладающий обоими свойствами, называется вполне точным функтором .

Формальные определения

Явно, пусть C и D — ( локально малые ) категории и пусть : C → D — функтор из C в D. F Функтор F индуцирует функцию

$F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))$

каждой пары объектов X и Y в C. для функтор F Говорят, что

• верен если F _{X , Y} инъективен ,
• полный если F _{X , Y} сюръективен ,
• полностью верный (= полный и верный если F _{X , Y} биективен ) ,

для каждого X и Y в C .

Свойства

Точный функтор не обязательно должен быть инъективным относительно объектов или морфизмов. То есть два объекта X и X ′ могут отображаться в один и тот же объект в D (именно поэтому образ полного и точного функтора не обязательно изоморфен C ), а два морфизма f : X → Y и f ′ : X ′ → Y ′ (с разными доменами/кодеменами) может отображаться в один и тот же морфизм в D . Аналогично, полный функтор не обязательно должен быть сюръективным относительно объектов или морфизмов. могут существовать объекты В D формы FX для некоторого X в C. не Морфизмы между такими объектами явно не могут возникнуть из морфизмов C. в

Полный и точный функтор обязательно инъективен на объектах с точностью до изоморфизма. То есть, если F : C → D — полный и точный функтор и $F(X)\cong F(Y)$ затем $X\cong Y$.

Примеры

• Функтор забывания U : Grp → Set отображает группы в их базовый набор, «забывая» групповую операцию. U является точным, потому что два групповых гомоморфизма с одинаковыми областями и ко-областями равны, если они задаются одними и теми же функциями на базовых множествах. Этот функтор не является полным, поскольку между базовыми множествами групп существуют функции, которые не являются гомоморфизмами групп. Категория с точным функтором для Set является (по определению) конкретной категорией ; вообще говоря, этот функтор забывчивости не полон.
• Функтор включения Ab → Grp вполне строгий, поскольку Ab ( категория абелевых групп ) по определению является полной подкатегорией Grp , индуцированной абелевыми группами.

Обобщение на (∞, 1)-категории

Понятие «полного» или «достоверного» функтора не переводится в понятие (∞, 1)-категории. В (∞, 1)-категории отображения между любыми двумя объектами задаются пространством только с точностью до гомотопии. Поскольку понятия инъекции и сюръекции не являются гомотопически-инвариантными понятиями (рассмотрим интервал, вложенный в действительные числа, а не интервал, отображаемый в точку), у нас нет понятия «полного» или «точного» функтора. Однако мы можем определить функтор квазикатегорий как полностью точный , если для каждых X и Y в C отображение $F_{X,Y}$является слабой эквивалентностью.

См. также

• Полная подкатегория
• Эквивалентность категорий

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для работающего математика (второе изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98403-8 .
• Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-47187-7 .