Мультипликативно замкнутое множество

В абстрактной алгебре ( мультипликативно замкнутое множество или мультипликативное множество ) — это подмножество S кольца : R такое, что выполняются следующие два условия

• $1\in S$,
• $xy\in S$ для всех $x,y\in S$.

Другими словами, S замкнуто относительно принятия конечных произведений, включая пустое произведение 1. Эквивалентно, мультипликативное множество является субмоноидом мультипликативного моноида кольца.

Мультипликативные множества особенно важны в коммутативной алгебре , где они используются для построения локализаций коммутативных колец.

Подмножество S кольца R называется насыщенным, если оно замкнуто относительно взятия делителей : т. е. всякий раз, когда произведение xy находится в S , элементы x и y находятся в S. тоже

Примеры

Примеры мультипликативных наборов включают в себя:

• теоретико -множественное дополнение простого идеала ; в коммутативном кольце
• набор {1, x , x ² , х ³ , ...} , где x — элемент кольца;
• набор узлов кольца;
• множество неделителей нуля в кольце;
• 1 + I для идеального I ;
• числа Жордана–Пойа , мультипликативное замыкание факториалов .

Характеристики

• Идеал P коммутативного кольца R первичен тогда и только тогда, когда его дополнение R \ P мультипликативно замкнуто.
• Подмножество S является одновременно насыщенным и мультипликативно замкнутым тогда и только тогда, когда S является дополнением объединения простых идеалов. В частности, дополнение к простому идеалу одновременно насыщено и мультипликативно замкнуто.
• Пересечение семейства мультипликативных множеств является мультипликативным множеством.
• Пересечение семейства насыщенных множеств является насыщенным.

См. также

• Локализация кольца
• Набор правых знаменателей

Ссылки

• М. Ф. Атья и И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Аддисон-Уэсли, 1969.
• Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Springer, 1995.
• Капланский, Ирвинг (1974), Коммутативные кольца (пересмотренная редакция), University of Chicago Press , MR   0345945
• Серж Ланг , Алгебра, 3-е изд., Springer, 2002.