Делимость (теория колец)

Чтобы узнать о делимости целых чисел, см. раздел Делитель . О делимости на полиномы см. Полином § Делимость .

В математике понятие делителя первоначально возникло в контексте арифметики целых чисел. С развитием абстрактных колец которых целые числа являются , архетипом , первоначальное понятие делителя нашло естественное расширение.

Делимость — полезное понятие для анализа структуры коммутативных колец из-за ее связи с идеальной структурой таких колец.

Определение

Пусть R — кольцо, и пусть a и b — элементы R . существует элемент x Если в R с ax = b , говорят, что левый делитель b и a что b — правый кратный a — . существует элемент y, если в R для которого ya = b , говорят, что a является правым делителем b Аналогично , и что b является кратным слева от a . Говорят, что a является двусторонним делителем b , если оно является одновременно левым и правым делителем b ; и указанные выше x y не обязательно должны быть равны.

Когда R коммутативно, понятия левого делителя, правого делителя и двустороннего делителя совпадают, поэтому говорят просто, что делителем b или что является b кратно a , a и пишут $a\mid b$. Элементы a и b области целостности являются ассоциированными, если оба $a\mid b$ и $b\mid a$. Отношение ассоциирования является отношением эквивалентности на R , поэтому оно делит R на непересекающиеся классы эквивалентности .

Примечание. Хотя эти определения имеют смысл для любой магмы , они используются в первую очередь, когда эта магма является мультипликативным моноидом кольца.

Свойства

Утверждения о делимости в коммутативном кольце $R$ можно перевести в утверждения о главных идеалах . Например,

• У одного есть $a\mid b$ тогда и только тогда, когда $(b)\subseteq (a)$.
• Элементы a и b являются ассоциированными тогда и только тогда, когда $(a)=(b)$.
• Элемент u является единицей тогда и только тогда, когда u является делителем каждого элемента R .
• Элемент u является единицей тогда и только тогда, когда $(u)=R$.
• Если $a=bu$ для некоторой единицы u тогда a и b являются ассоциированными. Если R — область целостности , то верно обратное.
• Пусть R — область целостности. Если элементы в R полностью упорядочены по делимости, то R называется кольцом нормирования .

В приведенном выше $(a)$ обозначает главный идеал $R$ сгенерированный элементом $a$.

Ноль как делитель

• Если интерпретировать определение делителя буквально, каждое a является делителем 0, поскольку можно принять x = 0 . Из-за этого традиционно злоупотребляют терминологией, делая исключение для делителей нуля: элемент a в коммутативном кольце называют делителем нуля , если существует ненулевой x такой, что ax = 0 .
• В некоторых текстах термин «делитель нуля» применяется к ненулевому элементу x множитель a , где дополнительно требуется, чтобы был ненулевым, где x решает выражение ax = 0 , но такое определение более сложное и лишено некоторых из вышеперечисленных свойств.

См. также

• Делитель – делимость на целые числа
• Полином § Делимость - делимость на полиномы
• Квазигруппа - в остальном обычная магма с делимостью.
• Делитель нуля
• домен GCD

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1989) [1970], Алгебра I, главы 1–3 , Springer-Verlag , ISBN  9783540642435

Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium « Делимость (теория колец) », которая распространяется под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License , но не под GFDL .