Прайм кольцо
В абстрактной алгебре ненулевое следует , кольцо R является первичным кольцом если для любых двух элементов a и b из R , из arb = 0 для всех r в R что либо a = 0, либо b = 0. Это определение можно рассматривать как одновременное обобщение как областей целостности , так и простых колец .
приведенное выше определение, простое кольцо может также относиться к минимальному ненулевому подкольцу поля Хотя в этой статье обсуждается , которое порождается его единичным элементом 1 и определяется его характеристикой . Для поля характеристики 0 простым кольцом являются целые числа , а для поля характеристики p (где p — простое число ) первичным кольцом является конечное поле порядка p (см. «Простое поле» ). [1]
Эквивалентные определения
[ редактировать ]Кольцо R является простым тогда и только тогда, когда нулевой идеал {0} является простым идеалом в некоммутативном смысле .
В этом случае эквивалентные условия для простых идеалов приводят к следующим эквивалентным условиям для того, чтобы R было первичным кольцом:
- Для любых двух идеалов A и B из R из AB = {0} следует A = {0} или B = {0}.
- Для любых двух правых идеалов A и B из R кольца AB = {0} следует A = {0} или B = {0}.
- Для любых двух левых идеалов A и B из R кольца AB = {0} следует A = {0} или B = {0}.
Используя эти условия, можно проверить, что следующие условия эквивалентны тому, что R является простым кольцом:
- Все ненулевые правые идеалы точны как правые R -модули.
- Все ненулевые левые идеалы точны как левые R -модули.
Примеры
[ редактировать ]- Любой домен является простым кольцом.
- Любое простое кольцо является первичным кольцом, и в более общем плане: каждое левое или правое примитивное кольцо является первичным кольцом.
- Любое кольцо матриц над областью целостности является простым кольцом. В частности, кольцо целочисленных матриц размера 2 × 2 является простым кольцом.
Характеристики
[ редактировать ]- является Коммутативное кольцо первичным тогда и только тогда, когда оно является областью целостности .
- Ненулевое кольцо является простым тогда и только тогда, когда моноид его идеалов не имеет делителей нуля .
- Кольцо матриц над первичным кольцом снова является первичным кольцом.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Страница 90 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001
Ссылки
[ редактировать ]- Лам, Цит-Юэн (2001), Первый курс некоммутативных колец (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95325-0 , МР 1838439