Аннигилятор (теория колец)

В математике аннулятор подмножества S , каждый модуля на над кольцом — это идеал образованный элементами кольца, которые всегда дают ноль при умножении S. элемент

В области целостности модуль, имеющий ненулевой аннулятор, является периодическим модулем , а конечно порожденный периодический модуль имеет ненулевой аннулятор.

Приведенное выше определение применимо также в случае некоммутативных колец , где левый аннулятор левого модуля является левым идеалом, а правый аннулятор правого модуля является правым идеалом.

Определения

Пусть R — и кольцо M — левый R - модуль . Выберите непустое подмножество S из M . Аннулятор rs S r , обозначаемый Ann _R ( S собой набор всех элементов в R таких , что для всех s в S ), представляет 0 = . В заданных обозначениях

$\mathrm {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0$ для всех $s\in S\}$

Это набор всех элементов R , которые «уничтожают» S (элементы, для которых S является торсионным множеством). Также можно использовать подмножества правых модулей после изменения « sr = 0 » в определении.

Аннулятор одного элемента x обычно пишется Ann _R ( x ) вместо Ann _R ({ x }). Если кольцо R можно понять из контекста, индекс R можно опустить.

Поскольку R является модулем над самим собой, S можно рассматривать как подмножество самого R , а поскольку R является одновременно правым и левым R -модулем, обозначения необходимо немного изменить, чтобы указать левую или правую сторону. Обычно $\ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,$ и $r.\!\mathrm {Ann} _{R}(S)\,$ или какая-либо аналогичная схема индексов используется для различения левого и правого аннигиляторов, если это необходимо.

Если M — R -модуль и Ann _R ( M ) = 0 , то M называется точным модулем .

Свойства

Если S подмножество левого R -модуля M , то Ann( S левый идеал R. — ) —

Если S — подмодуль M s , то Ann _R ( S четный двусторонний идеал: ( ac ) = cs a ( cs ) = 0, поскольку — другой элемент S. ) —

Если S — подмножество M , а N — подмодуль M , порожденный S , то, вообще говоря, Ann _R ( N ) — подмножество Ann _R ( S ), но они не обязательно равны. Если R коммутативен . , то равенство имеет место

M также можно рассматривать как R /Ann _R ( M )-модуль, используя действие ${\overline {r}}m:=rm\,$. -модуль таким способом не всегда возможно Кстати, превратить R -модуль в R / I , но если идеал I является подмножеством аннулятора М , то это действие корректно определено. Рассматриваемый как R /Ann _R ( M )-модуль, M автоматически является точным модулем.

Для коммутативных колец

На протяжении всего этого раздела пусть $R$ быть коммутативным кольцом и $M$ сгенерированный конечно $R$-модуль.

Отношение к поддержке

Напомним, что поддержка модуля определяется как

$\operatorname {Supp} M=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} R\mid M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.$

Тогда, когда модуль конечно порожден, существует соотношение

$V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Supp} M$,

где $V(\cdot )$ — множество простых идеалов, содержащее подмножество.

Короткие точные последовательности

Учитывая короткую точную последовательность модулей,

$0\to M'\to M\to M''\to 0,$

свойство поддержки

$\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M'',$

вместе с отношением с аннулятором подразумевает

$V(\operatorname {Ann} _{R}(M))=V(\operatorname {Ann} _{R}(M'))\cup V(\operatorname {Ann} _{R}(M'')).$

Точнее, у нас есть отношения

$\operatorname {Ann} _{R}(M')\cap \operatorname {Ann} _{R}(M'')\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M)\supseteq \operatorname {Ann} _{R}(M')\operatorname {Ann} _{R}(M'').$

Если последовательность распадается, то неравенство слева всегда является равенством. Фактически это справедливо для произвольных прямых сумм модулей, так как

$\operatorname {Ann} _{R}\left(\bigoplus _{i\in I}M_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}\operatorname {Ann} _{R}(M_{i}).$

Фактормодули и аннигиляторы

Учитывая идеал $I\subseteq R$ и пусть $M$ — конечно порожденный модуль, то существует соотношение

${\text{Supp}}(M/IM)=\operatorname {Supp} M\cap V(I)$

на поддержке. Используя отношение к поддержке, это дает отношение к аннигилятору

$V({\text{Ann}}_{R}(M/IM))=V({\text{Ann}}_{R}(M))\cap V(I).$

Примеры

Над целыми числами

Над $\mathbb {Z}$ любой конечно порожденный модуль полностью классифицируется как прямая сумма его свободной части и его крученой части из фундаментальной теоремы об абелевых группах. Тогда аннулятор конечно порожденного модуля нетривиален только в том случае, если он вполне крученый. Это потому, что

${\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} ^{\oplus k})=\{0\}=(0)$

поскольку единственный элемент, убивающий каждого из $\mathbb {Z}$ является $0$. Например, уничтожитель $\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3$ является

${\text{Ann}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\oplus \mathbb {Z} /3)=(6)=({\text{lcm}}(2,3)),$

идеал, порожденный $(6)$. По сути аннигилятор торсионного модуля

$M\cong \bigoplus _{i=1}^{n}(\mathbb {Z} /a_{i})^{\oplus k_{i}}$

изоморфен наименьшим идеалу, порожденному их общим кратным , $(\operatorname {lcm} (a_{1},\ldots ,a_{n}))$. Это показывает, что аннигиляторы можно легко классифицировать по целым числам.

Над коммутативным кольцом R

Фактически, аналогичное вычисление можно выполнить для любого конечного модуля над коммутативным кольцом. $R$. Напомним, что определение конечной представленности $M$ подразумевает, что существует точная последовательность, называемая представлением, заданная формулой

$R^{\oplus l}\xrightarrow {\phi } R^{\oplus k}\to M\to 0$

где $\phi$ находится в ${\text{Mat}}_{k,l}(R)$. Письмо $\phi$ явно как матрица дает это как

$\phi ={\begin{bmatrix}\phi _{1,1}&\cdots &\phi _{1,l}\\\vdots &&\vdots \\\phi _{k,1}&\cdots &\phi _{k,l}\end{bmatrix}};$

следовательно $M$ имеет разложение в прямую сумму

$M=\bigoplus _{i=1}^{k}{\frac {R}{(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))}}$

Если мы запишем каждый из этих идеалов как

$I_{i}=(\phi _{i,1}(1),\ldots ,\phi _{i,l}(1))$

тогда идеал $I$ данный

$V(I)=\bigcup _{i=1}^{k}V(I_{i})$

представляет аннигилятор.

Более k [ x , y ]

Над коммутативным кольцом $k[x,y]$ для поля $k$, аннулятор модуля

$M={\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y)}}\oplus {\frac {k[x,y]}{(y-3)}}$

задается идеалом

${\text{Ann}}_{k[x,y]}(M)=((x^{2}-y)(y-3)).$

на

Решетка идеалов вида $\ell .\!\mathrm {Ann} _{R}(S)$ где S — подмножество R , образующее полную решетку при частичном упорядочении по включению . Интересно изучить кольца, для которых эта решетка (или ее правый аналог) удовлетворяет условию восходящей цепи или условию нисходящей цепи .

Обозначим решетку левых аннуляторных идеалов кольца R как ${\mathcal {LA}}\,$ и решетку правых аннуляторных идеалов R как ${\mathcal {RA}}\,$. Известно, что ${\mathcal {LA}}\,$ удовлетворяет условию возрастающей цепи тогда и только тогда, когда ${\mathcal {RA}}\,$ удовлетворяет условию нисходящей цепи и симметрично ${\mathcal {RA}}\,$ удовлетворяет условию возрастающей цепи тогда и только тогда, когда ${\mathcal {LA}}\,$ удовлетворяет условию нисходящей цепи. Если какая-либо решетка имеет любое из этих цепных условий, то R не имеет бесконечных попарно ортогональных наборов идемпотентов .

Если R — кольцо, для которого ${\mathcal {LA}}\,$ удовлетворяет ACC и _R R имеет конечную равномерную размерность , то R называется левым кольцом Голди .

колец

Когда R коммутативен и M является R -модулем, мы можем описать Ann _R ( M ) как ядро ​​карты действия R → End _R ( M ), M → M определяемой присоединенным отображением идентичности вдоль Hom - тензора . дополнение .

В более общем смысле, учитывая билинейную карту модулей $F\colon M\times N\to P$, аннулятор подмножества $S\subseteq M$ представляет собой совокупность всех элементов $N$ что уничтожает $S$:

$\operatorname {Ann} (S):=\{n\in N\mid \forall s\in S:F(s,n)=0\}.$

И наоборот, учитывая $T\subseteq N$, можно определить аннулятор как подмножество $M$.

Аннулятор дает связь Галуа между подмножествами $M$ и $N$, а соответствующий оператор замыкания сильнее, чем диапазон.В частности:

• аннигиляторы - это подмодули
• $\operatorname {Span} S\leq \operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S))$
• $\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (\operatorname {Ann} (S)))=\operatorname {Ann} (S)$

Важным частным случаем является наличие невырожденной формы в векторном пространстве , особенно скалярного произведения : тогда аннулятор, связанный с отображением $V\times V\to K$ называется ортогональным дополнением .

Связь с другими свойствами колец

Для модуля M над нетеровым коммутативным кольцом R простой идеал кольца R , который является аннулятором ненулевого элемента кольца M называется ассоциированным простым числом кольца M. ,

• Аннигиляторы используются для определения левых колец Рикарта и колец Бэра .
• Набор (левых) делителей нуля D _S числа S можно записать как

$D_{S}=\bigcup _{x\in S\setminus \{0\}}{\mathrm {Ann} _{R}(x)}.$

(Здесь мы допускаем, что ноль может быть делителем нуля.)

В частности, D _R — это набор (левых) делителей нуля R, принимающих S = R и R, действующих на себя как левый R -модуль.

• Когда R коммутативно и нётерово , множество $D_{R}$ точности равно объединению ассоциированных чисел простых -модуля R в R .

См. также

• База
• Поддержка модуля
• Теорема Фальтингса об аннуляторе

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN  0-387-97845-3 , МР   1245487
• Израиль Натан Херштейн (1968) Некоммутативные кольца , Математические монографии Каруса № 15, Математическая ассоциация Америки , страница 3.
• Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 228–232, doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN.  978-0-387-98428-5 , МР   1653294
• Ричард С. Пирс. Ассоциативные алгебры . Тексты для аспирантов по математике, Vol. 88, Шпрингер-Верлаг, 1982 г., ISBN   978-0-387-90693-5