Поддержка модуля

В коммутативной алгебре носителем . модуля M R над коммутативным кольцом является множество всех простых идеалов ${\mathfrak {p}}$ R что такой, $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ т.е. локализация М в ( ${\mathfrak {p}}$ не равно нулю). Это обозначается $\operatorname {Supp} M$. определению является подмножеством спектра R Носитель по .

Свойства

• $M=0$ тогда и только тогда, когда его поддержка пуста .
• Позволять $0\to M'\to M\to M''\to 0$ — короткая точная последовательность -модулей R . Затем

  $\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.$

Обратите внимание, что этот союз не может быть непересекающимся союзом .

• Если $M$ представляет собой сумму подмодулей $M_{\lambda }$, затем $\operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.$
• Если $M$ является конечно порожденным R -модулем, то $\operatorname {Supp} M$ — множество всех простых идеалов, аннулятор M содержащее . В частности, оно замкнуто в топологии Зарисского на R. Spec
• Если $M,N$ являются конечно порожденными R -модулями, то

  $\operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.$

• Если $M$ — конечно порожденный R -модуль и I — идеал R то , $\operatorname {Supp} (M/IM)$ есть множество всех простых идеалов, содержащих $I+\operatorname {Ann} M.$ Это $V(I)\cap \operatorname {Supp} M$.

Поддержка квазикогерентного пучка

Если F — квазикогерентный пучок на схеме X , то носителем F является множество всех точек x в X таких, что слой F _x ненулевой. Это определение аналогично определению носителя функции в пространстве X , и это является мотивацией использования слова «носитель». Большинство свойств носителя слово в слово обобщают модули с квазикогерентными пучками. Например, носитель когерентного пучка (или, в более общем смысле, пучка конечного типа) является замкнутым подпространством X .

Если M — модуль над кольцом R , то носитель M как модуля совпадает с носителем ассоциированного с ним квазикогерентного пучка ${\tilde {M}}$ по схеме Spec R. аффинной Более того, если $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ является аффинным накрытием схемы X , то носитель квазикогерентного пучка объединению носителей ассоциированных модулей Mα _F над каждым Rα _равен .

Примеры

Как отмечалось выше, простой идеал ${\mathfrak {p}}$ находится в носителе тогда и только тогда, когда он содержит аннулятор $M$. Например, более $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$, аннулятор модуля

$M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}$

это идеал $I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$. Это подразумевает, что $\operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)$, исчезающее множество многочлена f . Глядя на короткую точную последовательность

$0\to I\to R\to R/I\to 0$

мы могли бы ошибочно предположить, что носителем I = ( f ) является Spec( R _{( f )} ), который является дополнением исчезающего локуса многочлена f . Фактически, поскольку R — область целостности , идеал I = ( f ) = Rf изоморфен R как модуль, поэтому его опорой является все пространство: Supp( I ) = Spec( R ).

Носитель конечного модуля над нетеровым кольцом всегда замкнут относительно специализации.

Теперь, если мы возьмем два многочлена $f_{1},f_{2}\in R$ в области целостности, которые образуют полный идеал пересечения $(f_{1},f_{2})$, свойство тензора показывает нам, что

$\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).$

См. также

• Аннигилятор (теория колец)
• Ассоциированное простое число
• Поддержка (математика)

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Атья, М.Ф. и И.Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN   0-201-00361-9 МР 242802