Поддержка модуля

В коммутативной алгебре носителем . модуля M R над коммутативным кольцом является множество всех простых идеалов ${\mathfrak {p}}$ такой R , что $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ т.е. локализация М в ( ${\mathfrak {p}}$ не равно нулю). ^[1] Это обозначается $\operatorname {Supp} M$ . подмножеством спектра R . Носитель по определению является

Свойства [ править ]

$M=0$ тогда и только тогда, когда его поддержка пуста .
Позволять $0\to M'\to M\to M''\to 0$ — короткая точная последовательность R -модулей . Затем
$\operatorname {Supp} M=\operatorname {Supp} M'\cup \operatorname {Supp} M''.$

Обратите внимание, что этот союз не может быть непересекающимся союзом .

Если $M$ представляет собой сумму подмодулей $M_{\lambda }$ , затем $\operatorname {Supp} M=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} M_{\lambda }.$
Если $M$ является конечно порожденным R -модулем, то $\operatorname {Supp} M$ — множество всех простых идеалов, аннулятор M содержащее . В частности, оно замкнуто в топологии Зарисского на R. Spec
Если $M,N$ являются конечно порожденными R -модулями, то
$\operatorname {Supp} (M\otimes _{R}N)=\operatorname {Supp} M\cap \operatorname {Supp} N.$
Если $M$ — конечно порожденный R -модуль и I — идеал R то , $\operatorname {Supp} (M/IM)$ есть множество всех простых идеалов, содержащих $I+\operatorname {Ann} M.$ Это $V(I)\cap \operatorname {Supp} M$ .

Поддержка квазикогерентного пучка [ править ]

Если F — квазикогерентный пучок на схеме X , то носителем F является множество всех точек x в X таких, что слой F _x ненулевой. Это определение аналогично определению носителя функции в пространстве X , и это является мотивацией использования слова «носитель». Большинство свойств носителя слово в слово обобщают модули с квазикогерентными пучками. Например, носитель когерентного пучка (или, в более общем смысле, пучка конечного типа) является замкнутым подпространством X . ^[2]

Если M — модуль над кольцом R , то носитель M как модуля совпадает с носителем ассоциированного с ним квазикогерентного пучка ${\tilde {M}}$ по схеме Spec R. аффинной Более того, если $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ аффинным накрытием схемы X , то носитель квазикогерентного пучка F равен объединению носителей ассоциированных модулей над _Mα каждым Rα _{является} . ^[3]

Примеры [ править ]

Как отмечалось выше, простой идеал ${\mathfrak {p}}$ находится в носителе тогда и только тогда, когда он содержит аннулятор $M$ . ^[4] Например, более $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ , аннулятор модуля

M=R/I={\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}

это идеал $I=(f)=(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})$ . Это означает, что $\operatorname {Supp} M\cong \operatorname {Spec} (R/I)$ , исчезающее множество многочлена f . Глядя на короткую точную последовательность

0\to I\to R\to R/I\to 0

мы могли бы ошибочно предположить, что носителем I = ( f ) является Spec( R _{( f )} ), который является дополнением исчезающего локуса многочлена f . Фактически, поскольку R — область целостности , идеал I = ( f ) = Rf изоморфен R как модуль, поэтому его опорой является все пространство: Supp( I ) = Spec( R ).

Носитель конечного модуля над нетеровым кольцом всегда замкнут относительно специализации. ^{[ нужна цитата ]}

Теперь, если мы возьмем два многочлена $f_{1},f_{2}\in R$ в области целостности, которые образуют полный идеал пересечения $(f_{1},f_{2})$ , свойство тензора показывает нам, что

\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}R/(f_{2})\right)=\,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{1})\right)\cap \,\operatorname {Supp} \left(R/(f_{2})\right)\cong \,\operatorname {Spec} (R/(f_{1},f_{2})).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Элементы алгебраической геометрии 0 _I , 1.7.1.
^ Авторы проекта Stacks (2017). Проект Stacks, тег 01B4 .
^ Авторы проекта Stacks (2017). Проект Stacks, тег 01AS .
^ Эйзенбуд, Дэвид . Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Следствие 2.7. п. 67. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
Атья, М.Ф. и И.Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 МР 242802

[1] Элементы алгебраической геометрии 0 _I , 1.7.1.

[2] Авторы проекта Stacks (2017). Проект Stacks, тег 01B4 .

[3] Авторы проекта Stacks (2017). Проект Stacks, тег 01AS .

[4] Эйзенбуд, Дэвид . Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Следствие 2.7. п. 67. {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]