Jump to content

Кручение (алгебра)

(Перенаправлено из модуля Torsion )

В математике , особенно в теории колец , элемент кручения элемент модуля , который дает ноль при умножении на некоторый ненулевой делитель кольца — это . Подмодуль кручения модуля — это подмодуль, образованный элементами кручения (в тех случаях, когда это действительно подмодуль, например, когда кольцо коммутативно ). Торсионный модуль – модуль, полностью состоящий из торсионных элементов. Модуль не имеет кручения, если его единственным элементом кручения является нулевой элемент.

Эта терминология чаще используется для модулей над областью определения , то есть когда регулярными элементами кольца являются все его ненулевые элементы.

Эта терминология применима к абелевым группам (где «модуль» и «подмодуль» заменены на « группа » и « подгруппа »). Это допускается тем фактом, что абелевы группы являются модулями над кольцом целых чисел (фактически отсюда и возникла терминология, которая была введена для абелевых групп до того, как была обобщена на модули).

В случае групп некоммутативных периодический элемент — это элемент конечного порядка . В отличие от коммутативного случая, элементы кручения, вообще говоря, не образуют подгруппу.

Определение [ править ]

Элемент m модуля ) , M над кольцом R называется периодическим элементом модуля, если существует регулярный элемент r кольца (элемент, который не является ни левым, ни правым делителем нуля аннулирующий m , т. е. r м = 0. В области целостности ( коммутативное кольцо без делителей нуля) каждый ненулевой элемент является регулярным, поэтому элемент кручения модуля над областью целостности - это элемент, аннулируемый ненулевым элементом области целостности. Некоторые авторы используют это определение торсионного элемента, но это определение не работает для более общих колец.

Модуль M над кольцом R называется периодическим, если все его элементы являются периодическими элементами, и без кручения, если единственным периодическим элементом является нуль. [1] Если кольцо R то множество всех элементов кручения образует подмодуль M , называемый подмодулем кручения M коммутативно , , иногда обозначаемый T( M ). Если R не коммутативен, T( M ) может быть или не быть подмодулем. показано В ( Lam 2007 ) , что R является правым кольцом Оре тогда и только тогда, когда T( M ) является подмодулем M для всех правых R -модулей. Поскольку правая нётерова область является Оре, это охватывает случай, когда R правой является нётеровой областью (которая может не быть коммутативной).

В более общем смысле, пусть M — модуль над кольцом R , а S мультипликативно замкнутое кольца R. подмножество Элемент m кольца M называется элементом S -кручения, если существует элемент s из S такой, что s аннулирует m , т. е. s m = 0. можно взять В частности, в качестве S множество регулярных элементов кольца R и восстановить определение выше.

Элемент g группы m G называется периодическим элементом группы, если он имеет конечный порядок, т. е. если существует целое положительное число такое , что g м = e , где e обозначает единичный элемент группы, а g м обозначает произведение m копий g . Группа называется периодической (или периодической) группой, если все ее элементы являются периодическими элементами, а группа без кручения, если ее единственным элементом кручения является единичный элемент. Любую абелеву группу можно рассматривать как модуль над кольцом целых чисел Z , и в этом случае два понятия кручения совпадают.

Примеры [ править ]

  1. Пусть M свободный модуль над любым R. кольцом Тогда из определений непосредственно следует, что M не имеет кручения (если кольцо R не является областью определения, то кручение рассматривается относительно множества S неделителей нуля кольца R ). В частности, любая свободная абелева группа не имеет кручения, и любое векторное пространство над полем K не имеет кручения, если рассматривать его как модуль над K .
  2. В отличие от примера 1, любая конечная группа (абелева или нет) периодична и конечно порождена . Проблема Бернсайда , наоборот, спрашивает, должна ли конечно порожденная периодическая группа быть конечной. В целом ответ «нет», даже если период фиксирован.
  3. Элементами кручения мультипликативной группы поля являются его корни из единицы .
  4. В модулярной группе , Γ полученной из группы SL(2, Z ) целочисленных матриц размера 2×2 с единичным определителем путем факторизации ее центра , любой нетривиальный элемент кручения либо имеет второй порядок и сопряжен с элементом S , либо имеет третий порядок. и сопряжен элементу ST . В этом случае элементы кручения не образуют подгруппу, например S · ST = T , имеющую бесконечный порядок.
  5. Абелева группа Q / Z , состоящая из рациональных чисел по модулю 1, является периодической, т. е. каждый элемент имеет конечный порядок. Аналогично, модуль K ( t )/ K [ t ] над кольцом R = K [ t ] многочленов от одной переменной является чистым кручением. Оба эти примера можно обобщить следующим образом: если R — область целостности и Q — ее поле частных , то Q / R — периодический R -модуль.
  6. Периодическая подгруппа группы ( R / Z , +) равна ( Q / Z , + ), а группы ( R , + ) и ( Z , +) не имеют кручения. Фактор абелевой группы без кручения по подгруппе не имеет кручения точно тогда, когда подгруппа является чистой подгруппой .
  7. Рассмотрим линейный оператор L, действующий в конечномерном векторном пространстве V над полем K . Если рассматривать V как K [ L ]-модуль естественным образом, то (в силу многих обстоятельств, либо просто в силу конечномерности, либо вследствие теоремы Кэли–Гамильтона ) V является кручением K [ L ]-модуль.

главного идеала Случай области

Предположим, что R — (коммутативная) область главных идеалов , а M конечно порожденный R -модуль . Тогда структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов дает детальное описание модуля M с точностью до изоморфизма . В частности, оно утверждает, что

где F — свободный R -модуль конечного ранга (зависящий только от M ), а T( M ) — периодический M. подмодуль Как следствие , любой конечно порожденный модуль без кручения над R свободен. Это следствие не справедливо для более общих коммутативных областей, даже для R = K [ x , y ], кольца многочленов от двух переменных.Для неконечно сгенерированных модулей указанное выше прямое разложение неверно. Круглая подгруппа абелевой группы не может быть прямым слагаемым ее .

Перекрут и локализация [ править ]

Предположим, что R — коммутативная область, а M R -модуль. Пусть Q поле частных кольца R . Тогда можно рассмотреть Q -модуль

полученное из M расширением скаляров . Поскольку Q — поле, модуль над Q — векторное пространство, возможно, бесконечномерное. Существует канонический гомоморфизм абелевых групп из M в MQ M , и ядром этого гомоморфизма является в точности подмодуль кручения T( ) . В более общем смысле, если мультипликативно замкнутое подмножество кольца R , то мы можем рассмотреть локализацию R S -модуля M ,

является модулем над локализацией RS который . Существует каноническое отображение M в MS - , ядром которого является в точности торсионный подмодуль M. S Таким образом, торсионный подмодуль М можно интерпретировать как совокупность элементов, «исчезающих в локализации». Та же интерпретация продолжает сохраняться в некоммутативной ситуации для колец, удовлетворяющих условию Оре для любого множества правого знаменателя S и правого R -модуля M. , или, в более общем смысле ,

в гомологической алгебре Кручение

Понятие кручения играет важную роль в гомологической алгебре . Если M и N — два модуля над коммутативной областью R (например, две абелевы группы, когда R = Z ), функторы Tor дают семейство R -модулей Tor i ( M , N ). -кручение S -модуля R M Tor канонически изоморфно Р 1 ( M , RS ) / R точной последовательностью Tor Р * : короткая точная последовательность R -модулей дает точную последовательность , и, следовательно, является ядром карты локализации M . Символ Tor, обозначающий функторы, отражает эту связь с алгебраическим кручением. Тот же результат справедлив для некоммутативных колец, а также до тех пор, пока множество S является множеством правого знаменателя .

Абелевы многообразия [ править ]

4-кручение подгруппы эллиптической кривой над комплексными числами.

Элементами кручения абелева многообразия являются точки кручения или, в более старой терминологии, точки деления . На эллиптических кривых они могут быть вычислены с помощью полиномов деления .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Роман 2008 , с. 115, §4

Источники [ править ]

  • Эрнст Кунц, « Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию », Биркхаузер 1985, ISBN   0-8176-3065-1
  • Ирвинг Каплански , « Бесконечные абелевы группы », Мичиганский университет, 1954.
  • Мишель Хазевинкель (2001) [1994], «Торсионный субмодуль» , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Лам, Цит Юэн (2007), Упражнения с модулями и кольцами , Сборники задач по математике, Нью-Йорк: Springer, стр. xviii+412, doi : 10.1007/978-0-387-48899-8 , ISBN  978-0-387-98850-4 , МР   2278849
  • Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, стр. 446, ISBN  978-0-387-72828-5 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2be5489b5349a9eab93fd83559f6f5ba__1715954040
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2b/ba/2be5489b5349a9eab93fd83559f6f5ba.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Torsion (algebra) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)