Ранг абелевой группы

В математике ранг абелевой , ранг Прюфера или ранг без кручения группы — A это мощность максимального линейно независимого подмножества. Ранг A определяет размер наибольшей свободной абелевой группы, в A. содержащейся Если A не имеет кручения , то он вкладывается в векторное пространство над рациональными числами размерного ранга A . Для конечно порожденных абелевых групп ранг является сильным инвариантом, и каждая такая группа определяется с точностью до изоморфизма своим рангом и периодической подгруппой . Абелевы группы без кручения ранга 1 полностью классифицированы. Однако теория абелевых групп более высокого ранга более сложна.

Термин ранг имеет другое значение в контексте элементарных абелевых групп .

Определение

Подмножество { aα _если } абелевой группы A является линейно независимым (над Z ), если единственная линейная комбинация этих элементов, равная нулю, тривиальна:

$\sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,$

где все коэффициенты n _α, кроме конечного числа , равны нулю (так что сумма фактически конечна), то все коэффициенты равны нулю. Любые два максимальных линейно независимых множества из одинаковую мощность , называемую рангом A. имеют A

Ранг абелевой группы аналогичен размерности векторного пространства . Основное отличие от случая векторного пространства — наличие кручения . Элемент абелевой группы A называется периодическим, если его порядок конечен. Множество всех периодических элементов представляет собой подгруппу, называемую периодической подгруппой и обозначаемую T ( A ). Группа называется без кручения, если в ней нет нетривиальных элементов кручения. Фактор-группа A / T ( A ) является единственным максимальным фактором без кручения A и ее ранг совпадает с рангом A. ,

Понятие ранга с аналогичными свойствами может быть определено для модулей над любой областью целостности (случай абелевых групп соответствует модулям над Z) . Информацию об этом см. в разделе конечно сгенерированный модуль#Generic Rank .

Свойства

• Ранг абелевой группы A совпадает с размерностью Q -векторного пространства A ⊗ Q . Если A не имеет кручения, то каноническое отображение A → A ⊗ Q инъективно как и ранг A является минимальной размерностью Q -векторного пространства, содержащего A абелеву подгруппу. В частности, любая промежуточная группа Z ^н < А < К ^н имеет ранг n .
• Абелевы группы ранга 0 — это в точности периодические абелевы группы .
• Группа Q рациональных чисел имеет ранг 1. Абелевы группы без кручения ранга 1 реализуются как подгруппы группы Q и существует удовлетворительная их классификация с точностью до изоморфизма. Напротив, не существует удовлетворительной классификации абелевых групп без кручения ранга 2.
• Ранг аддитивен для коротких точных последовательностей : если

$0\to A\to B\to C\to 0\;$

является короткой точной последовательностью абелевых групп, то rk B = rk A + rk C . Это следует из плоскостности Q и соответствующего факта для векторных пространств.

• Ранг аддитивен по произвольным прямым суммам :

$\operatorname {rank} \left(\bigoplus _{j\in J}A_{j}\right)=\sum _{j\in J}\operatorname {rank} (A_{j}),$

где сумма в правой части использует кардинальную арифметику .

Группы более высокого ранга

Абелевы группы ранга больше 1 являются источником интересных примеров. Например, для каждого кардинала d существуют абелевы группы без кручения ранга d , которые неразложимы , т. е. не могут быть выражены в виде прямой суммы пары их собственных подгрупп. Эти примеры показывают, что абелева группа без кручения ранга больше 1 не может быть просто построена путем прямых сумм из абелевых групп без кручения ранга 1, теория которых хорошо изучена. Более того, для любого целого числа $n\geq 3$, существует абелева группа без кручения ранга $2n-2$ это одновременно сумма двух неразложимых групп и сумма n неразложимых групп. Следовательно, даже число неразложимых слагаемых группы четного ранга, большего или равного 4, не является четко определенным.

Другой результат о неединственности разложения в прямую сумму принадлежит ALS Corner: данные целые числа $n\geq k\geq 1$, существует абелева группа без кручения A ранга n такая, что для любого разбиения $n=r_{1}+\cdots +r_{k}$ на k натуральных слагаемых, группа A является прямой суммой k неразложимых подгрупп рангов $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{k}$. Таким образом, последовательность рангов неразложимых слагаемых в некотором разложении в прямую сумму абелевой группы без кручения конечного ранга очень далека от того, чтобы быть инвариантом A .

Другие удивительные примеры включают группы без кручения ранга 2 An _{что , m} и B _{n , m} такие, A ^н изоморфен B ^н тогда и только тогда, когда n делится на m .

Для абелевых групп бесконечного ранга существует пример группы K и подгруппы G таких, что

• К неразложима;
• K генерируется G и еще одним элементом; и
• Каждое ненулевое прямое слагаемое группы G разложимо.

Обобщение

Понятие ранга можно обобщить для любого модуля M над областью целостности R как размерность над R ₀ , полем факторов , тензорного произведения модуля с полем:

$\operatorname {rank} (M)=\dim _{R_{0}}M\otimes _{R}R_{0}$

Это имеет смысл, поскольку R ₀ — поле, и, следовательно, любой модуль (или, точнее, векторное пространство ) над ним свободен.

Это обобщение, поскольку каждая абелева группа является модулем над целыми числами. что размерность произведения над Q равна мощности максимального линейно независимого подмножества, поскольку для любого элемента кручения x и любого рационального q Отсюда легко следует ,

$x\otimes _{\mathbf {Z} }q=0.$

См. также

• Ранг группы