Абелева группа без кручения

В математике , особенно в абстрактной алгебре , абелева группа без кручения — это абелева группа , не имеющая нетривиальных периодических элементов; то есть группа , в которой групповая операция коммутативна , а единичный элемент является единственным элементом с конечным порядком .

Хотя конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, о бесконечно порожденных абелевых группах известно немного, даже в счетном случае без кручения. ^[1]

Определения [ править ]

Абелева группа $\langle G,+,0\rangle$ называется без кручения, если ни один элемент, кроме тождественного $e$ имеет конечный порядок . ^[2]^[3]^[4] Явно для любого $n>0$ , единственный элемент $x\in G$ для чего $nx=0$ является $x=0$ .

Естественным примером группы без кручения является $\langle \mathbb {Z} ,+,0\rangle$ , поскольку только целое число 0 можно добавить к себе конечное число раз, чтобы получить 0. В более общем смысле, свободная абелева группа $\mathbb {Z} ^{r}$ не имеет кручения для любого $r\in \mathbb {N}$ . Важным шагом в доказательстве классификации конечно порожденных абелевых групп является то, что каждая такая группа без кручения изоморфна $\mathbb {Z} ^{r}$ .

Неконечно порожденный счетный пример даёт аддитивная группа кольца полиномов. $\mathbb {Z} [X]$ (свободная абелева группа счетного ранга).

Более сложные примеры - аддитивная группа рационального поля. $\mathbb {Q}$ или его подгруппы, такие как $\mathbb {Z} [p^{-1}]$ (рациональные числа, знаменатель которых является степенью $p$ ). Еще более сложные примеры дают группы более высокого ранга .

Группы 1 ранга [ править ]

Ранг [ править ]

Ранг группы абелевой $A$ это размерность $\mathbb {Q}$ -векторное пространство $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A$ . Эквивалентно, это максимальная мощность линейно независимого (над $\mathbb {Z}$ ) подмножество $A$ .

Если $A$ не имеет кручения, то он впрыскивается в $\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A$ . Таким образом, абелевы группы без кручения ранга 1 являются в точности подгруппами аддитивной группы $\mathbb {Q}$ .

Классификация [ править ]

Абелевы группы без кручения ранга 1 полностью классифицированы. Для этого нужно присоединиться к группе $A$ подмножество $\tau (A)$ простых чисел следующим образом: выберите любое $x\in A\setminus \{0\}$ , для простого числа $p$ мы говорим это $p\in \tau (A)$ тогда и только тогда, когда $x\in p^{k}A$ для каждого $k\in \mathbb {N}$ . Это не зависит от выбора $x$ так как для другого $y\in A\setminus \{0\}$ существует $n,m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ такой, что $ny=mx$ . Бэр доказал ^[5]^[6] что $\tau (A)$ является полным изоморфизмом, инвариантным для абелевых групп без кручения ранга 1.

Проблема классификации в целом [ править ]

Сложность задачи классификации для определенного типа структур на счетном множестве можно определить количественно с помощью теории моделей и дескриптивной теории множеств . В этом смысле доказано, что задача классификации счетных абелевых групп без кручения является максимально сложной. ^[7]

Примечания [ править ]

^ См., например, введение в Томас, Саймон (2003), «Проблема классификации абелевых групп без кручения конечного ранга», J. Am. Математика. Соц. , 16 (1): 233–258, doi : 10.1090/S0894-0347-02-00409-5 , Збл 1021.03043
^ Фрэли (1976 , стр. 78)
^ Ланг (2002 , стр. 42)
^ Хангерфорд (1974 , стр. 78)
^ Рейнхольд Баер (1937). «Абелевы группы без элементов конечного порядка» . Математический журнал Дьюка . 3 (1): 68–122. дои : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .
^ Филип А. Гриффит (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7 . Глава VII.
^ Паолини, Джанлука; Шела, Сахарон (2021). «Абелевы группы без кручения полны по Борелю». arXiv : 2102.12371 [ math.LO ].

Ссылки [ править ]

Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Херштейн, Индиана (1964), Темы алгебры , Уолтем: издательство Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Хангерфорд, Томас В. (1974), Алгебра , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-90518-9 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра (пересмотренное 3-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-95385-Х .
Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN 68-15225

[1] См., например, введение в Томас, Саймон (2003), «Проблема классификации абелевых групп без кручения конечного ранга», J. Am. Математика. Соц. , 16 (1): 233–258, doi : 10.1090/S0894-0347-02-00409-5 , Збл 1021.03043

[2] Фрэли (1976 , стр. 78)

[3] Ланг (2002 , стр. 42)

[4] Хангерфорд (1974 , стр. 78)

[5] Рейнхольд Баер (1937). «Абелевы группы без элементов конечного порядка» . Математический журнал Дьюка . 3 (1): 68–122. дои : 10.1215/S0012-7094-37-00308-9 .

[6] Филип А. Гриффит (1970). Теория бесконечной абелевой группы . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7 . Глава VII.

[7] Паолини, Джанлука; Шела, Сахарон (2021). «Абелевы группы без кручения полны по Борелю». arXiv : 2102.12371 [ math.LO ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Группы
Basic notions	Subgroup Normal subgroup Commutator subgroup Quotient group Group homomorphism (Semi-) direct product direct sum
Types of groups	Finite groups Abelian groups Cyclic groups Infinite group Simple groups Solvable groups Symmetry group Space group Point group Wallpaper group Trivial group
Discrete groups	Classification of finite simple groups Cyclic group Z_n Alternating group A_n Sporadic groups Mathieu group M_11..12,M_22..24 Conway group Co_1..3 Janko groups J₁, J₂, J₃, J₄ Fischer group F_22..24 Baby monster group B Monster group M Other finite groups Symmetric group S_n Dihedral group D_n Rubik's Cube group
Lie groups	General linear group GL(n) Special linear group SL(n) Orthogonal group O(n) Special orthogonal group SO(n) Unitary group U(n) Special unitary group SU(n) Symplectic group Sp(n) Exceptional Lie groups G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Circle group Lorentz group Poincaré group Quaternion group
Infinite dimensional groups	Conformal group Diffeomorphism group Loop group Quantum group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
History Applications Abstract algebra