Янко группа J ₄

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Янко J ₄ представляет собой спорадическую простую порядка группу

86,775,571,046,077,562,880

= 2 ²¹ · 3 ³ · 5 · 7 · 11 ³ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43

≈ 9 × 10 ¹⁹.

История [ править ]

J ₄ — одна из 26 спорадических групп . Звонимир Янко нашел J ₄ в 1975 году, изучая группы с инволюционным централизатором формы 2. ^{1 + 12}.3.(М ₂₂ :2). Его существование и уникальность были показаны с помощью компьютерных вычислений Саймоном П. Нортоном и другими в 1980 году. Он имеет модульное представление размерности 112 над конечным полем с двумя элементами и является стабилизатором определенного 4995-мерного подпространства внешнего квадрата, факт, который Нортон использовал для его создания и который является самым простым способом справиться с ним в вычислительном отношении. Ашбахер и Сегев (1991) и Иванов (1992) предоставили доказательства уникальности без использования компьютера. Иванов и Мейерфранкенфельд (1999) и Иванов (2004) дали безкомпьютерное доказательство существования, построив его как объединение групп 2. ¹⁰:SL ₅ (2) и (2 ¹⁰:2 ⁴:A ₈ ):2 над группой 2 ¹⁰:2 ⁴:А ₈ .

Мультипликатор Шура и автоморфизмов тривиальны . внешняя группа

Поскольку 37 и 43 не являются суперсингулярными простыми числами, J ₄ не может быть подчастным группы монстров . Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .

Представления [ править ]

Наименьшее точное комплексное представление имеет размерность 1333; существует два комплексно-сопряженных представления этого измерения. Наименьшее точное представление над любым полем — это 112-мерное представление над полем из двух элементов.

Наименьшее представление перестановки имеет 173067389 точек и имеет ранг 20, со стабилизатором точки вида 2. ¹¹:М ₂₄ . Точки можно идентифицировать с определенными «специальными векторами» в 112-мерном представлении.

Презентация [ править ]

Он имеет представление в виде трех образующих a, b и c как

{\begin{aligned}a^{2}&=b^{3}=c^{2}=(ab)^{23}=[a,b]^{12}=[a,bab]^{5}=[c,a]=\left((ab)^{2}ab^{-1}\right)^{3}\left(ab(ab^{-1})^{2}\right)^{3}=\left(ab\left(abab^{-1}\right)^{3}\right)^{4}\\&=\left[c,(ba)^{2}b^{-1}ab^{-1}(ab)^{3}\right]=\left(bc^{(bab^{-1}a)^{2}}\right)^{3}=\left((bababab)^{3}cc^{(ab)^{3}b(ab)^{6}b}\right)^{2}=1.\end{aligned}}

Альтернативно можно начать с подгруппы М ₂₄ и присоединить к ней 3975 инволюций, которые отождествляются с тройками . Добавляя определенное соотношение, некоторые произведения коммутирующих инволюций порождают двоичный кокод Голея , который продолжается до максимальной подгруппы 2 ¹¹:М ₂₄ . Болт, Брей и Кертис с помощью компьютера показали, что добавления всего лишь одного отношения достаточно для определения J ₄ .

Максимальные подгруппы [ править ]

Клейдман и Уилсон (1988) нашли 13 классов сопряженности максимальных подгрупп J ₄ , которые перечислены в таблице ниже.

Максимальные подгруппы J ₄
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	2 ¹¹:М ₂₄	501,397,585,920 = 2 ²¹·3 ³·5·7·11·23	содержит силовскую 2-подгруппу и силовскую 3-подгруппу; содержит центратор 2 ¹¹:(M ₂₂ :2) инволюции класса 2В
2	2 ¹⁺¹² ₊^·3.(М ₂₂ :2)	21,799,895,040 = 2 ²¹·3 ³·5·7·11	централизатор инволюции класса 2А; содержит силовскую 2-подгруппу и силовскую 3-подгруппу
3	2 ¹⁰:Л ₅ (2)	10,239,344,640 = 2 ²⁰·3 ²·5·7·31
4	2 ^3+12·(S ₅ x L ₃ (2))	660,602,880 = 2 ²¹·3 ²·5·7	содержит силовскую 2-подгруппу
5	Ю ₃ (11):2	141,831,360 = 2 ⁶·3 ²·5·11 ³·37
6	М ₂₂ :2	887,040 = 2 ⁸·3 ²·5·7·11
7	11 ¹⁺² ₊ :(5 × GL(2,3))	319,440 = 2 ⁴·3·5·11 ³	нормализатор силовской 11-подгруппы
8	Л ₂ (32):5	163,680 = 2 ⁵·3·5·11·31
9	ПГЛ(2,23)	12,144 = 2 ⁴·3·11·23
10	У ₃ (3)	6,048 = 2 ⁵·3 ³·7	содержит силовскую 3-подгруппу
11	29:28	812 = 2 ²·7·29	группа Фробениуса; нормализатор силовской 29-подгруппы
12	43:14	602 = 2·7·43	группа Фробениуса; нормализатор силовской 43-подгруппы
13	37:12	444 = 2 ²·3·37	группа Фробениуса; нормализатор силовской 37-подгруппы

Силовская 3-подгруппа группы J ₄ — это группа Гейзенберга : порядок 27, неабелева, все нетривиальные элементы порядка 3.

Ссылки [ править ]

Ашбахер, Майкл ; Сегев, Йоав (1991), «Единственность групп типа J ₄ », Inventiones Mathematicae , 105 (3): 589–607, doi : 10.1007/BF01232280 , ISSN 0020-9910 , MR 1117152 , S2CID 121529060
DJ Benson Простая группа J ₄ , докторская диссертация, Кембридж, 1981, https://web.archive.org/web/20110610013308/http://www.maths.abdn.ac.uk/~bensondj/papers/b/benson /the-simple-group-J4.pdf
Болт, Шон В.; Брей, Джон Р.; Кертис, Роберт Т. (2007), «Симметричное представление группы Янко J ₄ », Журнал Лондонского математического общества , 76 (3): 683–701, doi : 10.1112/jlms/jdm086
Иванов, А.А. (1992), «Презентация для J ₄ », Труды Лондонского математического общества , третья серия, 64 (2): 369–396, doi : 10.1112/plms/s3-64.2.369 , ISSN 0024-6115 , МР 1143229
Иванов А.А.; Мейерфранкенфельд, Ульрих (1999), «Безкомпьютерная конструкция J ₄ », Journal of Algebra , 219 (1): 113–172, doi : 10.1006/jabr.1999.7851 , ISSN 0021-8693 , MR 1707666
Иванов, А.А. (2004). Четвертая группа Янко . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-852759-4 . МИСТЕР 2124803
З. Янко, Новая конечная простая группа порядка 86 775 570 046 077 562 880, которая обладает M ₂₄ и полной накрывающей группой M ₂₂ в качестве подгрупп , J. Algebra 42 (1976) 564-596. doi : 10.1016/0021-8693(76)90115-0 (Название этой статьи неверно, поскольку позже выяснилось, что полная покрывающая группа M ₂₂ больше: центр порядка 12, а не 6.)
Клейдман, Питер Б.; Уилсон, Роберт А. (1988), «Максимальные подгруппы J ₄ », Труды Лондонского математического общества , третья серия, 56 (3): 484–510, doi : 10.1112/plms/s3-56.3.484 , ISSN 0024-6115 , МР 0931511
С. П. Нортон. Построение J ₄ на конференции в Санта-Крузе по конечным группам (ред. Куперштейн, Мейсон), Amer. Математика. Сок 1980 года.

Внешние ссылки [ править ]

MathWorld: Группы Янко
Атлас представлений конечных групп: J ₄ версия 2
Атлас представлений конечных групп: J ₄ версия 3