Теорема Коши (теория групп)

В математике , особенно в теории групп , теорема Коши утверждает, что если $G$ — конечная группа , а $p$ — простое число делящее порядок G $,$ (количество элементов в $G$ ), то $G$ содержит элемент порядка $p$ . существует $такой x$ То есть в $G$ , что $p$ — наименьшее целое положительное число с $x$ ^$п$ = $e$ где $e$ — элемент G. $единичный$ , Он назван в честь Огюстена-Луи Коши , открывшего его в 1845 году. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Теорема является частичным обращением к теореме Лагранжа что порядок любой подгруппы конечной группы $G$ делит порядок $G.$ , которая утверждает , Вообще говоря, не всякий делитель $|G|$ возникает как порядок подгруппы $G$ . ^{[ 3 ]} Теорема Коши утверждает, что для любого простого делителя $p$ порядка $G$ существует подгруппа $G$ , порядок которой равен $p$ — циклическая группа , порожденная элементом в теореме Коши.

Теорема Коши обобщается первой теоремой Силова , из которой следует, что если $p$ ^$н$ — максимальная степень $p,$ делящая порядок $G$ , то $G$ имеет подгруппу порядка $p$ ^$н$ (а используя тот факт, что $p$ -группа разрешима , можно показать, что $в G$ есть подгруппы порядка $p$ ^$р$ для любого $r$ меньшего или равного $n$ ).

Заявление и доказательство

Во многих текстах теорема доказывается с использованием сильной индукции и уравнения классов , хотя для доказательства теоремы в абелевом случае требуется значительно меньше техники. можно также вызвать групповые действия . Для доказательства ^{[ 4 ]}

Теорема Коши . Пусть $G$ — конечная группа , а $p$ — простое число . Если $p$ делит порядок G $G$ , то $p$ имеет элемент $порядка$ .

Доказательство 1

Сначала мы докажем частный случай, когда $,$ а G абелева затем общий случай; оба доказательства проводятся индукцией по $n$ = | $G$ |, и в качестве начального случая $n$ = $p$ , что тривиально, поскольку любой неединичный элемент теперь имеет порядок $p$ . Предположим сначала, что $G$ абелева. Возьмите любой неединичный элемент $a$ и пусть $H$ — циклическая группа, которую он порождает. Если $p$ делит | $H$ |, $то$ ^{| $Ч$ |/ $р$} является элементом порядка $p$ . Если $p$ не делит | $H$ |, то он делит порядок [ $G$ : $H$ ] факторгруппы G $/$ H $,$ которая, следовательно, содержит элемент порядка $p$ по предположению индукции. Этот элемент является классом $xH$ для некоторого $x$ в $G$ , и если $m$ — порядок $x$ в $G$ , то $x$ ^$м$ = $e$ в $G$ дает ( $xH$ ) ^$м$ = $eH$ в $G$ / $H$ , поэтому $p$ делит $m$ ; как и раньше $х$ ^{$м$ / $п$} теперь является элементом порядка $p$ в $G$ , завершая доказательство абелева случая.

В общем случае пусть $Z$ — центр G $,$ которая является абелевой подгруппой. Если $p$ делит | $Z$ |, то $Z$ содержит элемент порядка $p$ в случае абелевых групп $для G.$ , и этот элемент работает и Поэтому мы можем предположить, что $p$ не делит порядок $Z$ . Поскольку $p$ действительно делит | $G$ | и $G$ — дизъюнктное объединение $Z$ и классов сопряженности нецентральных элементов, существует класс сопряженности нецентрального элемента $a,$ размер которого не делится на $p$ . Но уравнение класса a $)$ ] $,$ _{$показывает , что размер равен [G: CG$} поэтому $p$ делит $порядок$ централизатора CG $($ _$($ a $)$ группы $a$ в $G$ , который является собственной подгруппой, поскольку $a$ не является центральной. По предположению индукции эта подгруппа содержит элемент порядка $p$ , и все готово.

Доказательство 2

В этом доказательстве используется тот факт, что для любого действия (циклической) группы простого порядка $p$ единственными возможными размерами орбит являются 1 и $p$ , что непосредственно следует из теоремы о стабилизаторе орбиты .

Множество, на котором будет действовать наша циклическая группа, — это множество

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\}

- наборов $p$ элементов $G$ , произведение которых (по порядку) дает тождество. Такой $p$ -кортеж однозначно определяется всеми его компонентами, кроме последнего, поскольку последний элемент должен быть обратным произведению этих предыдущих элементов. Также видно, что эти $p$ − 1 элементов можно выбирать свободно, поэтому $X$ имеет | $г$ | ^{$р$ -1} элементов, который делится на $p$ .

Теперь из того, что в группе, если $ab$ = $e$ то и $ba$ = $e$ , следует, что любая циклическая перестановка компонентов элемента $X$ снова дает элемент $X.$ , Поэтому можно определить действие циклической группы $Cp$ _{$генератор$} порядка $p$ на $X$ перестановок компонентов, другими словами, когда выбранный $Cp$ _{$посредством циклических$} отправляет

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

.

Как было отмечено, орбиты в $X$ под действием этого действия имеют либо размер 1, либо размер $p$ . Первое происходит именно для этих кортежей $(x,x,\ldots ,x)$ для чего $x^{p}=e$ . Подсчитав элементы $X$ по орбитам и сократив по модулю $p$ , можно увидеть, что количество элементов, удовлетворяющих $x^{p}=e$ делится на $п$ . Но $x$ = $e$ должно быть как минимум $p$ − 1 других решений $— один из таких элементов, поэтому для x$ , и эти решения являются элементами порядка $p$ . Это завершает доказательство.

Приложения

Теорема Коши подразумевает грубую классификацию всех элементарных абелевых групп (групп, все неединичные элементы которых имеют одинаковый конечный порядок). Если $G$ есть такая группа, и $x\in G$ имеет порядок $p$ , затем $p$ должен быть простым, так как в противном случае теорема Коши применяется к (конечной) подгруппе, порожденной $x$ производит элемент порядка меньше, чем $p$ . Более того, каждая конечная подгруппа из $G$ имеет порядок силы $p$ (включая $G$ себя, если оно конечно). Этот аргумент в равной степени применим и к $p$ -группам , где порядок каждого элемента является степенью $p$ (но не обязательно все заказы одинаковы).

Можно использовать абелев случай теоремы Коши в индуктивном доказательстве. ^{[ 5 ]} первой из теорем Силова, аналогично первому доказательству выше, хотя есть также доказательства, которые не рассматривают этот частный случай отдельно.

Примечания

^ Коши 1845 .
^ Коши 1932 .
^ Брей, Генри Г. (1968). «Заметка о группах CLT» (PDF) . Тихоокеанский математический журнал . 27 (2): 229 – через проект Евклид.
^ Маккей 1959 .
^ Джейкобсон 2009 , с. 80.

Ссылки

Коши, Огюстен-Луи (1845), «Память о сочетаниях, которые могут быть образованы данными буквами, и о перестановках или заменах, с помощью которых мы переходим от одного расположения к другому» , Упражнения по анализу и математической физике , 3 , Париж: 151–252.
Коши, Огюстен-Луи (1932), «Полное собрание сочинений» (PDF) , Лиллиада - Университет Лилля - науки и технологии , вторая серия, 13 (переиздание), Париж: Готье-Виллар: 171–282
Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основная алгебра , Dover Books on Mathematics, vol. I (Второе изд.), Dover Publications , с. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
Маккей, Джеймс Х. (1959), «Другое доказательство групповой теоремы Коши», American Mathematical Monthly , 66 (2): 119, CiteSeerX 10.1.1.434.3544 , doi : 10.2307/2310010 , JSTOR 2310010 , MR 0098777 , Збл 0082.02601
Мео, М. (2004), «Математическая жизнь групповой теоремы Коши» , Historia Mathematica , 31 (2): 196–221, doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X

Внешние ссылки

[FOOTNOTECauchy1845-1] Коши 1845 .

[FOOTNOTECauchy1932-2] Коши 1932 .

[3] Брей, Генри Г. (1968). «Заметка о группах CLT» (PDF) . Тихоокеанский математический журнал . 27 (2): 229 – через проект Евклид.

[FOOTNOTEMcKay1959-4] Маккей 1959 .

[FOOTNOTEJacobson200980-5] Джейкобсон 2009 , с. 80.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]