Янко группа J 3
| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Янко J 3 или группа Хигмана-Янко-Маккея представляет собой спорадическую простую группу порядка HJM
- 2 7 · 3 5 · 5 · 17 · 19 = 50232960.
История и свойства [ править ]
J 3 — одна из 26 спорадических групп . Она была предсказана Звонимиром Янко в 1969 году как одна из двух новых простых групп, имеющих 2 1+4 :A 5 как централизатор инволюции (второй — группа Янко J 2 ). J 3 Существование было показано Грэмом Хигманом и Джоном Маккеем ( 1969 ).
В 1982 году Р. Л. Грисс показал, что J 3 не может быть подчастным группы монстров . [1] Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .
J 3 имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 2 и мультипликатор Шура порядка 3, а его тройное накрытие имеет унитарное 9-мерное представление над конечным полем с 4 элементами. Вайс (1982) построил его на основе базовой геометрии. Он имеет модульное представление восемнадцатой размерности над конечным полем с 9 элементами.Он имеет сложное проективное представление восемнадцатого измерения.
Конструкции [ править ]
Использование матриц [ править ]
J3 может быть построен с помощью множества различных генераторов . [2] Две из списка ATLAS представляют собой матрицы размером 18х18 над конечным полем порядка 9, умножение которых осуществляется с помощью арифметики конечных полей :
и
Использование подгруппы PSL(2,16) [ править ]
Группу автоморфизмов J 3 :2 можно построить, начав с подгруппы PSL(2,16):4 и присоединив к ней 120 инволюций, которые отождествляются с силовскими 17-подгруппами. Обратите внимание, что эти 120 инволюций являются внешними элементами J 3 :2. Затем определяется следующее соотношение:
где является автоморфизмом Фробениуса или порядка 4, а это уникальный 17-цикл, который отправляет
Кертис показал с помощью компьютера, что этого соотношения достаточно для определения J 3 :2. [3]
Использование презентации [ править ]
В терминах генераторов a, b, c и d ее группа автоморфизмов J 3 :2 может быть представлена как
![{\displaystyle a^{17}=b^{8}=a^{b}a^{-2}=c^{2}=b^{c}b^{3}=(abc)^{4 }=(ac)^{17}=d^{2}=[d,a]=[d,b]=(a^{3}b^{-3}cd)^{5}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d1b22df8960eecb0fa0cb95e013899c64d4e30)
Представление J 3 в терминах (разных) генераторов a, b, c, d таково:
Максимальные подгруппы [ править ]
Финкельштейн и Рудвалис (1974) нашли 9 классов сопряженности максимальных подгрупп J 3 следующим образом:
- PSL(2,16):2, порядок 8160
- ПСЛ(2,19), заказ 3420
- PSL(2,19), сопряженный с предыдущим классом в J 3 :2
- 2 4 : (3 х А5 ) , заказ 2880
- ПСЛ(2,17), заказ 2448
- (3 × A 6 ):2 2 , порядок 2160 - нормализатор подгруппы порядка 3
- 3 2+1+2 :8, приказ 1944 г. - нормализатор силовской 3-подгруппы.
- 2 1+4 :А 5 , приказ 1920 г. - централизатор инволюции.
- 2 2+4 : (3 × S 3 ), порядок 1152
Ссылки [ править ]
- ^ Грисс (1982): с. 93: доказательство того, что J 3 — изгой.
- ^ Страница ATLAS на J3
- ^ Брэдли, доктор юридических наук; Кертис, RT (2006), «Симметричное порождение и существование J 3 :2, группы автоморфизмов третьей группы Янко», Journal of Algebra , 304 (1): 256–270, doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.09. 046
- Финкельштейн, Л.; Рудвалис, А. (1974), «Максимальные подгруппы простой группы Янко порядка 50 232 960», Journal of Algebra , 30 (1–3): 122–143, doi : 10.1016/0021-8693(74)90196-3 , ISSN 0021-8693 , МР 0354846
- Р. Л. Грисс -младший, Дружелюбный гигант , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102. п. 93: доказательство того, что J 3 — изгой.
- Хигман, Грэм ; Маккей, Джон (1969), «О простой группе Янко порядка 50 232 960», Bull. Лондонская математика. Соц. , 1 : 89–94, исправление с. 219, номер документа : 10.1112/blms/1.1.89 , MR 0246955
- З. Янко, Некоторые новые конечные простые группы конечного порядка , 1969 Symposia Mathematica (INDAM, Рим, 1967/68), Vol. 1 стр. 25–64 Academic Press, Лондон, и в книге «Теория конечных групп» (под редакцией Брауэра и Саха), стр. 1. 63–64, Бенджамин, 1969 г. МР. 0244371
- Вайс, Ричард (1982). «Геометрическая конструкция группы Янко J 3 ». Математический журнал . 179 (179): 91–95. дои : 10.1007/BF01173917 .