Группа (математика)

В математике группа набор — это с операцией , которая удовлетворяет следующим ограничениям: операция ассоциативна и имеет единичный элемент , и каждый элемент набора имеет обратный элемент .

Многие математические структуры представляют собой группы, наделенные другими свойствами. Например, целые числа с помощью операции сложения образуют бесконечную группу, которая генерируется одним элементом, называемым $1$ ( эти свойства уникальным образом характеризуют целые числа). (these properties characterize the integers in a unique way).

Концепция группы была разработана для унифицированной обработки многих математических структур, таких как числа, геометрические фигуры и корни многочленов . Поскольку концепция групп широко распространена во многих областях как внутри, так и за пределами математики, некоторые авторы считают ее центральным организующим принципом современной математики. ^[1]^[2]

В геометрии группы естественным образом возникают при изучении симметрий и геометрических преобразований : симметрии объекта образуют группу, называемую группой симметрии объекта, а преобразования данного типа образуют общую группу. Группы Ли появляются в группах симметрии в геометрии, а также в Стандартной модели физики элементарных частиц . Группа Пуанкаре — это группа Ли, состоящая из симметрий пространства-времени в специальной теории относительности . Точечные группы описывают симметрию в молекулярной химии .

Понятие группы возникло при изучении полиномиальных уравнений , начиная с Эвариста Галуа в 1830-х годах, который ввел термин группа (французский: groupe ) для группы симметрии корней уравнения , теперь называемой группой Галуа . После вклада других областей, таких как теория чисел и геометрия, понятие группы было обобщено и прочно утвердилось примерно в 1870 году. Современная теория групп — активная математическая дисциплина — изучает группы сами по себе. Чтобы исследовать группы, математики разработали различные понятия, позволяющие разбить группы на более мелкие, более понятные части, такие как подгруппы , факторгруппы и простые группы . В дополнение к их абстрактным свойствам теоретики групп также изучают различные способы, которыми группа может быть выражена конкретно, как с точки зрения теории представлений (то есть через представления группы ), так и с точки зрения вычислительной теории групп . Была развита теория конечных групп , кульминацией которой стала классификация конечных простых групп. , завершенный в 2004 году. С середины 1980-х годов геометрическая теория групп , изучающая конечно порожденные группы как геометрические объекты, стала активной областью теории групп.

Определение и иллюстрация [ править ]

Первый пример: целые числа [ править ]

Одна из наиболее знакомых групп — это набор целых чисел. $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$ вместе с дополнением . ^[3] Для любых двух целых чисел $a$ and и $b$ ‍, сумма $a+b$ также является целым числом; это свойство замыкания говорит, что $+$ это бинарная операция над $\mathbb {Z}$ . Следующие свойства сложения целых чисел служат моделью для аксиом группы в приведенном ниже определении. . The following properties of integer addition serve as a model for the group axioms in the definition below.

For all integers Для всех целых чисел $a$ ‍ , $b$ and и $c$ , , one has есть $(a+b)+c=a+(b+c)$ . Выразить словами, добавив . Expressed in words, adding $a$ к $b$ сначала, а затем добавить результат в $c$ дает тот же окончательный результат, что и добавление $a$ на сумму $b$ and и $c$ . . This property is known as Это свойство известно как ассоциативность .
Если $a$ любое целое число, тогда $0+a=a$ and и $a+0=a$ ‍. Ноль называется единичным элементом сложения, поскольку добавление его к любому целому числу возвращает то же самое целое число.
For every integer Для каждого целого числа $a$ , существует целое число , there is an integer $b$ такой, что $a+b=0$ and и $b+a=0$ . Целое число . The integer $b$ называется обратным элементом целого числа $a$ and is denoted и обозначается $-a$ ‍ .

The integers, together with the operation Целые числа вместе с операцией $+$ образуют математический объект , принадлежащий к широкому классу, имеющему схожие структурные аспекты. Чтобы правильно понять эти структуры как коллектив, разработано следующее определение. , form a mathematical object belonging to a broad class sharing similar structural aspects. To appropriately understand these structures as a collective, the following definition is developed.

Определение [ править ]

Аксиомы группы кратки и естественны... Однако за этими аксиомами каким-то образом скрывается чудовищная простая группа , огромный и необычный математический объект, существование которого, по-видимому, основано на многочисленных причудливых совпадениях. Аксиомы групп не дают очевидного намека на существование чего-либо подобного.

Ричард Борчердс , Математики: внешний взгляд на внутренний мир ^[4]

Группа – это непустое множество $G$ вместе с бинарной операцией над $G$ , , here denoted " здесь обозначено " $\cdot$ " ", that combines any two , который объединяет любые два элемента $a$ и $b$ из $G$ to form an element of образовать элемент $G$ , , denoted обозначается $a\cdot b$ следующие три требования, известные как групповые аксиомы : , такие, что выполняются ^[5]^[6]^[7]^[а]

Ассоциативность: For all Для всех $a$ ‍ , ‍ $b$ ‍ , ‍ $c$ ‍ in в $G$ , , one has есть $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ‍ .
Элемент идентификации: Существует элемент $e$ в $G$ такой, что для каждого $a$ in в $G$ , , one has есть $e\cdot a=a$ ‍ and и $a\cdot e=a$ ‍ .; Такой элемент уникален ( см. ниже ). Его называют идентификационным элементом (или иногда нейтральным элементом ) группы.
Обратный элемент: Для каждого $a$ in в $G$ существует элемент , there exists an element $b$ в $G$ такой, что $a\cdot b=e$ and и $b\cdot a=e$ ‍где $e$ является элементом идентичности.; For each Для каждого $a$ , элемент , the element $b$ уникален ( см. ниже ); называется обратным это $a$ and is commonly denoted и обычно обозначается $a^{-1}$ ‍ .

Обозначения и терминология [ править ]

Формально группа — это упорядоченная пара множества и бинарной операции над этим множеством, удовлетворяющая аксиомам группы . Набор называется базовым набором группы, а операция называется групповой операцией или групповым законом .

Таким образом, группа и ее базовое множество представляют собой два разных математических объекта . Чтобы избежать громоздких обозначений, часто злоупотребляют обозначениями , используя один и тот же символ для обозначения обоих. Это также отражает неформальный образ мышления: группа аналогична набору, за исключением того, что она обогащена дополнительной структурой, обеспечиваемой операцией.

Например, рассмотрим набор действительных чисел $\mathbb {R}$ , который имеет операции сложения , which has the operations of addition $a+b$ и умножение $ab$ . Формально, . Formally, $\mathbb {R}$ это набор, $(\mathbb {R} ,+)$ это группа, и $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ это поле . Но принято писать $\mathbb {R}$ для обозначения любого из этих трех объектов.

Аддитивная группа поля $\mathbb {R}$ это группа, базовым набором которой является $\mathbb {R}$ и чьим действием является сложение. Мультипликативная группа поля $\mathbb {R}$ это группа $\mathbb {R} ^{\times }$ базовым набором которого является набор ненулевых действительных чисел $\mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$ и чьим действием является умножение.

В более общем смысле, говорят об аддитивной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как сложение; в этом случае личность обычно обозначается $0$ и обратный элемент , and the inverse of an element $x$ is denoted обозначается $-x$ . . Similarly, one speaks of a Точно так же говорят о мультипликативной группе всякий раз, когда групповая операция обозначается как умножение; в этом случае личность обычно обозначается $1$ и обратный элемент , and the inverse of an element $x$ is denoted обозначается $x^{-1}$ . В мультипликативной группе символ операции обычно полностью опускается, так что операция обозначается сопоставлением, . In a multiplicative group, the operation symbol is usually omitted entirely, so that the operation is denoted by juxtaposition, $ab$ instead of вместо $a\cdot b$ ‍ .

Определение группы не требует, чтобы $a\cdot b=b\cdot a$ для всех элементов $a$ и $b$ in в $G$ . . If this additional condition holds, then the operation is said to be Если это дополнительное условие выполнено, то операция называется коммутативной , а группа называется абелевой группой . Общепринято считать, что для абелевой группы можно использовать аддитивную или мультипликативную запись, но для неабелевой группы используется только мультипликативная запись.

Для групп, элементы которых не являются числами, обычно используются несколько других обозначений. Для группы, элементы которой являются функциями , операция часто представляет собой композицию функций. $f\circ g$ ; ; then the identity may be denoted id. In the more specific cases of тогда личность может обозначаться id. В более конкретных случаях групп геометрических преобразований , симметрии групп , групп перестановок и групп автоморфизмов символ $\circ$ часто опускается, как и для мультипликативных групп. Можно встретить множество других вариантов обозначений.

Второй пример: группа симметрии [ править ]

Две фигуры на плоскости называются конгруэнтными, если одну можно превратить в другую, используя комбинацию вращений , отражений и перемещений . Любая фигура конгруэнтна сама себе. Однако некоторые фигуры конгруэнтны сами себе более чем в одном отношении, и эти дополнительные конгруэнтности называются симметриями . Квадрат . имеет восемь симметрий Это:

The elements of the symmetry group of the square, Элементы группы симметрии квадрата , $\mathrm {D} _{4}$ . Вершины идентифицируются по цвету или номеру. . Vertices are identified by color or number.
$\mathrm {id}$ (оставив всё как есть)	$r_{1}$ (поворот на 90° по часовой стрелке)	$r_{2}$ (поворот на 180°)	$r_{3}$ (поворот на 270° по часовой стрелке)
$f_{\mathrm {v} }$ (вертикальное отражение)	$f_{\mathrm {h} }$ (горизонтальное отражение)	$f_{\mathrm {d} }$ (диагональное отражение)	$f_{\mathrm {c} }$ (противодиагональное отражение)

операция идентификации, оставляющая все без изменений, обозначаемая id;
rotations of the square around its center by 90°, 180°, and 270° clockwise, denoted by повороты квадрата вокруг его центра на 90°, 180° и 270° по часовой стрелке, обозначаемые $r_{1}$ ‍ , $r_{2}$ and и $r_{3}$ соответственно ; , respectively;
reflections about the horizontal and vertical middle line (размышления о горизонтальной и вертикальной средней линии ( $f_{\mathrm {v} }$ ‍ and и $f_{\mathrm {h} }$ ) ), or through the two , или через две диагонали ( $f_{\mathrm {d} }$ ‍ and и $f_{\mathrm {c} }$ ‍ ).

Эти симметрии являются функциями. Каждый отправляет точку квадрата в соответствующую точку симметрии. Например, $r_{1}$ отправляет точку на поворот на 90° по часовой стрелке вокруг центра квадрата, и $f_{\mathrm {h} }$ отправляет точку на свое отражение через вертикальную среднюю линию квадрата. Соединение двух из этих симметрий дает еще одну симметрию. Эти симметрии определяют группу, называемую группой диэдра четвертой степени, обозначаемую $\mathrm {D} _{4}$ . Базовым набором группы является вышеуказанный набор симметрий, а групповая операция — это композиция функций. . The underlying set of the group is the above set of symmetries, and the group operation is function composition.^[8] Две симметрии объединяются путем составления их как функций, то есть применения первой к квадрату, а второй – к результату первого применения. Результат выполнения в первую очередь $a$ а потом $b$ записывается символически справа налево как $b\circ a$ («применить симметрию $b$ after performing the symmetry после выполнения симметрии $a$ " ). Это обычное обозначение композиции функций. "). This is the usual notation for composition of functions.

В таблице Кэли перечислены результаты всех возможных таких композиций. Например, поворот на 270° по часовой стрелке ( $r_{3}$ ), ) and then reflecting horizontally ( а затем отражая горизонтально ( $f_{\mathrm {h} }$ ) ) is the same as performing a reflection along the diagonal ( аналогично выполнению отражения по диагонали ( $f_{\mathrm {d} }$ ) . Используя приведенные выше символы, выделенные синим цветом в таблице Кэли: ). Using the above symbols, highlighted in blue in the Cayley table: $f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.$

Кэли Таблица $\mathrm {D} _{4}$
$\circ$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$
$\mathrm {id}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$
$r_{1}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {h} }$
$r_{2}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {d} }$
$r_{3}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {v} }$
$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$	$r_{1}$	$r_{3}$
$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$	$r_{3}$	$r_{1}$
$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$r_{3}$	$r_{1}$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$
$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {c} }$	$f_{\mathrm {v} }$	$f_{\mathrm {d} }$	$f_{\mathrm {h} }$	$r_{1}$	$r_{3}$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$
The elements Элементы $\mathrm {id}$ ‍ , ‍ $r_{1}$ ‍ , ‍ $r_{2}$ и , and $r_{3}$ ‍сформировать подгруппу , таблица Кэли которой выделена на красный (верхняя левая область). Левый и правый смежный класс этой подгруппы выделены на рисунке. зеленый (в последнем ряду) и yellow (last column), respectively. The result of the composition желтый (последний столбец) соответственно. Результат композиции $f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}$ , , the symmetry симметрия $f_{\mathrm {d} }$ , выделено , is highlighted in синий (ниже центра таблицы).

Учитывая этот набор симметрий и описанную операцию, аксиомы группы можно понять следующим образом.

Бинарная операция : композиция — это бинарная операция. То есть, $a\circ b$ является симметрией для любых двух симметрий $a$ and и $b$ . Например, . For example, $r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },$ that is, rotating 270° clockwise after reflecting horizontally equals reflecting along the counter-diagonal (то есть поворот на 270° по часовой стрелке после отражения по горизонтали равен отражению по противодиагонали ( $f_{\mathrm {c} }$ ) . Действительно, любая другая комбинация двух симметрий по-прежнему дает симметрию, что можно проверить с помощью таблицы Кэли. ). Indeed, every other combination of two symmetries still gives a symmetry, as can be checked using the Cayley table.

Ассоциативность : аксиома ассоциативности касается составления более чем двух симметрий: начиная с трех элементов $a$ ‍ , ‍ $b$ ‍ and и $c$ ‍ of из $\mathrm {D} _{4}$ существует два возможных способа использования этих трех симметрий в указанном порядке для определения симметрии квадрата. Один из таких способов — сначала составить , there are two possible ways of using these three symmetries in this order to determine a symmetry of the square. One of these ways is to first compose $a$ и $b$ into a single symmetry, then to compose that symmetry with в единую симметрию, а затем составить эту симметрию с помощью $c$ . Другой способ — сначала составить . The other way is to first compose $b$ and и $c$ , , then to compose the resulting symmetry with затем скомпоновать полученную симметрию с помощью $a$ . Эти два пути должны всегда давать один и тот же результат, т. е. . These two ways must give always the same result, that is, $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),$ Например, $(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})$ можно проверить с помощью таблицы Кэли: ${\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}$

Элемент идентичности : Элемент идентичности — $\mathrm {id}$ , поскольку это не меняет никакой симметрии , as it does not change any symmetry $a$ при составлении с ним либо слева, либо справа.

Обратный элемент : Каждая симметрия имеет обратную : $\mathrm {id}$ , , the reflections размышления $f_{\mathrm {h} }$ ‍ , ‍ $f_{\mathrm {v} }$ ‍ , ‍ $f_{\mathrm {d} }$ ‍ , ‍ $f_{\mathrm {c} }$ и вращение на 180° and the 180° rotation $r_{2}$ являются их собственными обратными, поскольку выполнение их дважды возвращает квадрат в исходную ориентацию. Ротации $r_{3}$ и $r_{1}$ являются обратными друг другу, поскольку поворот на 90°, а затем поворот на 270° (или наоборот) приводит к повороту более чем на 360°, что оставляет квадрат неизменным. Это легко проверить по таблице.

In contrast to the group of integers above, where the order of the operation is immaterial, it does matter in В отличие от группы целых чисел, приведенной выше, где порядок операции неважен, в ‍ он имеет значение. $\mathrm {D} _{4}$ , как, например, , as, for example, $f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }$ but но $r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }$ . Другими словами, . In other words, $\mathrm {D} _{4}$ не является абелевым.

История [ править ]

Современная концепция абстрактной группы развилась на основе нескольких областей математики. ^[9]^[10]^[11] Первоначальной мотивацией для теории групп был поиск решений полиномиальных уравнений степени выше 4. Французский математик XIX века Эварист Галуа , расширяя предыдущие работы Паоло Руффини и Жозефа-Луи Лагранжа , дал критерий разрешимости конкретного уравнения. полиномиальное уравнение в терминах группы симметрии его корней (решений). Элементы такой группы Галуа соответствуют определенным перестановкам корней. Поначалу идеи Галуа были отвергнуты его современниками и опубликованы лишь посмертно. ^[12]^[13] Более общие группы перестановок исследовались, в частности, Огюстеном Луи Коши . Артур Кэли « К теории групп в зависимости от символического уравнения». $\theta ^{n}=1$ (1854) дает первое абстрактное определение конечной группы . ^[14]

Геометрия была второй областью, в которой группы использовались систематически, особенно группы симметрии как часть Феликса Кляйна 1872 года Эрлангенской программы . ^[15] После того, как появились новые геометрии, такие как гиперболическая и проективная геометрия , Кляйн использовал теорию групп, чтобы организовать их более последовательным образом. Продолжая развивать эти идеи, Софус Ли в 1884 году основал исследование групп Ли . ^[16]

Третьей областью, внесшей вклад в теорию групп, была теория чисел . Определенные абелевы групповые структуры неявно использовались в Карла Фридриха Гаусса теоретико-числовой работе Disquisitiones Arithmeticae (1798) и более явно Леопольдом Кронекером . ^[17] В 1847 году Эрнст Куммер предпринял первые попытки доказать Великую теорему Ферма , разработав группы, описывающие факторизацию в простые числа . ^[18]

Объединение этих различных источников в единую теорию групп началось с Камиллы Джордана ( «Трактата о подстановках и алгебраических уравнениях» 1870 г.). ^[19] Вальтер фон Дейк (1882) ввел идею определения группы посредством образующих и отношений, а также первым дал аксиоматическое определение «абстрактной группы» в терминологии того времени. ^[20] В 20-м веке группы получили широкое признание благодаря новаторским работам Фердинанда Георга Фробениуса и Уильяма Бернсайда (которые работали над теорией представлений конечных групп), Рихарда Брауэра и модульной теории представлений статьям . Иссая Шура ^[21] Теорию групп Ли и, в более общем плане, локально компактных групп изучали Герман Вейль , Эли Картан и многие другие. ^[22] Ее алгебраический аналог, теория алгебраических групп , была сначала сформирована Клодом Шевалле (с конца 1930-х годов), а затем работами Армана Бореля и Жака Титса . ^[23]

в Год теории групп в Чикагском университете 1960–61 годах собрал таких теоретиков групп, как Дэниел Горенштейн , Джон Г. Томпсон и Уолтер Фейт , заложив основу сотрудничества, которое при участии многих других математиков привело к классификации конечных чисел. простые группы , а последний шаг был сделан Ашбахером и Смитом в 2004 году. Этот проект превзошел предыдущие математические начинания по своим размерам, как по длине доказательства, так и по количеству исследователей. Исследования, касающиеся этого доказательства классификации, продолжаются. ^[24] Теория групп остается весьма активной математической отраслью. ^[б] оказывая влияние на многие другие области, как иллюстрируют приведенные ниже примеры .

Элементарные следствия групповых аксиом [ править ]

Основные факты обо всех группах, которые могут быть получены непосредственно из аксиом групп, обычно относят к элементарной теории групп . ^[25] Например, неоднократное применение аксиомы ассоциативности показывает, что однозначность $a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ обобщается на более чем три фактора. Поскольку это подразумевает, что круглые скобки могут быть вставлены в любом месте такого ряда терминов, скобки обычно опускаются. ^[26]

Уникальность элемента идентификации [ править ]

Аксиомы группы подразумевают, что единичный элемент уникален; то есть существует только один идентификационный элемент: любые два идентификационных элемента $e$ и $f$ of a group are equal, because the group axioms imply группы равны, потому что аксиомы группы предполагают $e=e\cdot f=f$ . . It is thus customary to speak of Поэтому принято говорить об идентичном элементе группы. ^[27]

Уникальность обратных чисел [ править ]

Аксиомы группы также подразумевают, что обратный каждому элементу уникален: пусть элемент группы $a$ иметь оба $b$ и $c$ как инверсии. Затем

{\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ is an inverse)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\end{aligned}}

Поэтому принято говорить об обратном элементе. ^[27]

Дивизия [ править ]

Данные элементы $a$ и $b$ of a group группы $G$ , есть единственное решение , there is a unique solution $x$ в $G$ to the equation к уравнению $a\cdot x=b$ , , namely а именно $a^{-1}\cdot b$ ‍ . ^[с]^[28] Отсюда следует, что для каждого $a$ в $G$ , функция $G\to G$ который отображает каждый $x$ к $a\cdot x$ является биекцией ; это называется левым умножением на $a$ или оставил перевод $a$ ‍ .

Аналогично, учитывая $a$ and и $b$ , уникальное решение , the unique solution to $x\cdot a=b$ is является $b\cdot a^{-1}$ . . For each Для каждого $a$ , функция , the function $G\to G$ который отображает каждый $x$ к $x\cdot a$ является биекцией, называемой правым умножением на $a$ или правильный перевод $a$ ‍ .

определение с ослабленными Эквивалентное аксиомами

Групповые аксиомы для тождества и инверсий могут быть «ослаблены», чтобы утверждать только существование левой идентичности и левых инверсий . Из этих односторонних аксиом можно доказать, что левое тождество также является правым тождеством, а левое обратное также является правым обратным для одного и того же элемента. Поскольку они определяют точно такие же структуры, что и группы, в совокупности аксиомы не слабее. ^[29]

В частности, предполагая ассоциативность и существование левого тождества $e$ (that is, (то есть $e\cdot f=f$ ) и левый обратный ) and a left inverse $f^{-1}$ для каждого элемента $f$ (that is, (то есть $f^{-1}\cdot f=e$ ) , можно показать, что каждый левый обратный элемент также является правым обратным тому же элементу следующим образом. ), one can show that every left inverse is also a right inverse of the same element as follows.^[29]Действительно, у человека есть

{\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}

Точно так же левое тождество также является правым тождеством: ^[29]

{\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}

Эти доказательства требуют всех трех аксиом (ассоциативности, существования левой единицы и существования левой обратной). для структуры с более свободным определением (например, полугруппы Например, ) левая идентичность не обязательно является правой идентичностью.

Тот же результат можно получить, только предположив существование правого тождества и правого обратного.

Однако только предположение о существовании левой идентичности и правой обратной (или наоборот) недостаточно для определения группы. Например, рассмотрим набор $G=\{e,f\}$ с оператором $\cdot$ удовлетворяющий $e\cdot e=f\cdot e=e$ and и $e\cdot f=f\cdot f=f$ . . This structure does have a left identity (namely, Эта структура имеет левую идентичность (а именно , $e$ ) , и каждый элемент имеет правый обратный (то есть ), and each element has a right inverse (which is $e$ для обоих элементов). Более того, эта операция ассоциативна (поскольку произведение любого количества элементов всегда равно самому правому элементу этого произведения, независимо от порядка выполнения этих операций). Однако, $(G,\cdot )$ не является группой, поскольку у нее отсутствует правильная идентичность.

Основные понятия [ править ]

При изучении множеств используются такие понятия, как подмножество , функция и фактор по отношению эквивалентности . При изучении групп вместо них используются подгруппы , гомоморфизмы и факторгруппы . Это аналоги, учитывающие групповую структуру. ^[д]

Групповые гомоморфизмы

Групповые гомоморфизмы ^[и] являются функциями, которые учитывают структуру группы; их можно использовать для связи двух групп. Гомоморфизм группы $(G,\cdot )$ в группу $(H,*)$ это функция $\varphi :G\to H$ такой, что

\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)

для всех элементов

a

и

b

in в

G

‍ .

Было бы естественно потребовать также, чтобы $\varphi$ respect identities, уважать личность , $\varphi (1_{G})=1_{H}$ и обратные , , and inverses, $\varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}$ для всех $a$ in в $G$ . Однако эти дополнительные требования не обязательно включать в определение гомоморфизмов, поскольку они уже вытекают из требования соблюдения групповой операции. . However, these additional requirements need not be included in the definition of homomorphisms, because they are already implied by the requirement of respecting the group operation.^[30]

Тождественный гомоморфизм группы $G$ является гомоморфизмом $\iota _{G}:G\to G$ который отображает каждый элемент $G$ самому себе. Обратный гомоморфизм гомоморфизма $\varphi :G\to H$ является гомоморфизмом $\psi :H\to G$ такой, что $\psi \circ \varphi =\iota _{G}$ and и $\varphi \circ \psi =\iota _{H}$ , то есть такой, что , that is, such that $\psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g$ для всех $g$ в $G$ и такое, что $\varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h$ для всех $h$ in в $H$ . . An ; Изоморфизм — это гомоморфизм, имеющий обратный гомоморфизм эквивалентно, это биективный гомоморфизм. Группы $G$ и $H$ называются изоморфными, если существует изоморфизм $\varphi :G\to H$ . В этом случае, . In this case, $H$ можно получить из $G$ simply by renaming its elements according to the function просто переименовав его элементы в соответствии с функцией $\varphi$ ; тогда любое утверждение верно для ; then any statement true for $G$ is true for верно для $H$ при условии , что любые конкретные элементы, упомянутые в заявлении, также будут переименованы. , provided that any specific elements mentioned in the statement are also renamed.

Совокупность всех групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию — категорию групп . ^[31]

Инъективный гомоморфизм $\phi :G'\to G$ канонически факторизуется как изоморфизм, за которым следует включение, $G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G$ for some subgroup для некоторой подгруппы $H$ ‍ of из $G$ . .Injective homomorphisms are the Инъективные гомоморфизмы — это мономорфизмы в категории групп.

Подгруппы [ править ]

Неформально подгруппа – это группа $H$ contained within a bigger one, содержится внутри большего , $G$ : : it has a subset of the elements of имеет подмножество элементов $G$ , с той же операцией. , with the same operation.^[32] Конкретно это означает, что идентификационный элемент $G$ must be contained in должен содержаться в $H$ и всякий раз , когда , and whenever $h_{1}$ и $h_{2}$ are both in оба в $H$ , то и так , then so are $h_{1}\cdot h_{2}$ and и $h_{1}^{-1}$ , , so the elements of поэтому элементы $H$ , оснащен групповым режимом работы , equipped with the group operation on $G$ restricted to ограничено $H$ , действительно образуют группу. В этом случае карта включения , indeed form a group. In this case, the inclusion map $H\to G$ является гомоморфизмом.

In the example of symmetries of a square, the identity and the rotations constitute a subgroup В примере симметрии квадрата тождество и вращения составляют подгруппу $R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}$ , , highlighted in red in the Cayley table of the example: any two rotations composed are still a rotation, and a rotation can be undone by (i.e., is inverse to) the complementary rotations 270° for 90°, 180° for 180°, and 90° for 270°. The выделено красным в таблице Кэли в примере: любые два составленных вращения по-прежнему являются вращением, и вращение может быть отменено (т. е. является обратным) дополнительными вращениями на 270° для 90°, 180° для 180° и 90° для 270°. Тест подгруппы обеспечивает необходимое и достаточное условие непустого подмножества $H$ группы of a group $G$ быть подгруппой: достаточно проверить, что to be a subgroup: it is sufficient to check that $g^{-1}\cdot h\in H$ для всех элементов $g$ и $h$ in в $H$ ‍. группы Знание подгрупп важно для понимания группы в целом. ^[ф]

Учитывая любое подмножество $S$ of a group группы $G$ , , the subgroup созданная подгруппа , $S$ состоит из всех произведений элементов $S$ и их обратные. Это самая маленькая подгруппа $G$ containing содержащий $S$ ‍ . ^[33] В примере симметрии квадрата подгруппа, порожденная $r_{2}$ и $f_{\mathrm {v} }$ consists of these two elements, the identity element состоит из этих двух элементов, элемент идентичности $\mathrm {id}$ и , and the element элемент $f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}$ . Опять же, это подгруппа, потому что объединение любых двух из этих четырех элементов или их обратных (которые в данном конкретном случае являются теми же самыми элементами) дает элемент этой подгруппы. . Again, this is a subgroup, because combining any two of these four elements or their inverses (which are, in this particular case, these same elements) yields an element of this subgroup.

Сосеты [ править ]

Во многих ситуациях желательно считать два элемента группы одинаковыми, если они отличаются элементом данной подгруппы. Например, в группе симметрии квадрата, как только происходит какое-либо отражение, одни только вращения не могут вернуть квадрат в исходное положение, поэтому можно думать об отраженных положениях квадрата как об эквивалентных друг другу и неэквивалентных. на неотраженные позиции; операции вращения не имеют отношения к вопросу, было ли выполнено отражение. Для формализации этого понимания используются смежные классы: подгруппа $H$ определяет левый и правый смежные классы, которые можно рассматривать как переводы $H$ by an arbitrary group element произвольным элементом группы $g$ . . In symbolic terms, the Символически, левый и правый классы $H$ , , containing an element содержащий элемент $g$ являются , are

gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}

and и

Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}

соответственно . , respectively.^[34]

Левые классы любой подгруппы $H$ образовать раздел из $G$ ; ; that is, the то есть объединение всех левых смежных классов равно $G$ и два левых смежных класса либо равны, либо имеют пустое пересечение . ^[35] Первый случай $g_{1}H=g_{2}H$ происходит именно тогда, когда $g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H$ , , i.e., when the two elements differ by an element of т. е. когда два элемента отличаются на элемент $H$ . . Similar considerations apply to the right cosets of Аналогичные соображения применимы и к правым классам $H$ . Левые классы . The left cosets of $H$ может совпадать, а может и не совпадать со своими правыми смежными классами. Если они есть (то есть если все $g$ в $G$ satisfy удовлетворить $gH=Hg$ ‍затем $H$ называется нормальной подгруппой .

In В $\mathrm {D} _{4}$ , группа симметрий квадрата с ее подгруппой , the group of symmetries of a square, with its subgroup $R$ вращений, левые классы $gR$ are either equal to либо равны $R$ ‍если $g$ является элементом $R$ сам по себе или иным образом равный $U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}$ (highlighted in green in the Cayley table of (выделено зеленым в таблице Кэли $\mathrm {D} _{4}$ ) . Подгруппа ). The subgroup $R$ это нормально, потому что $f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }$ and similarly for the other elements of the group. (In fact, in the case of и аналогично для остальных элементов группы. (На самом деле, в случае $\mathrm {D} _{4}$ все смежные классы , , the cosets generated by reflections are all equal: генерируемые отражениями, равны : $f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R$ ‍ .)

Группы коэффициентов [ править ]

Предположим, что $N$ is a normal subgroup of a group является нормальной подгруппой группы $G$ и , and $G/N=\{gN\mid g\in G\}$ обозначает его набор смежных классов.Тогда существует единственный групповой закон $G/N$ для чего карта $G\to G/N$ отправка каждого элемента $g$ к $gN$ является гомоморфизмом.Явно произведение двух смежных классов $gN$ и $hN$ is является $(gh)N$ , смежный класс , the coset $eN=N$ serves as the identity of служит идентификацией $G/N$ и обратное , and the inverse of $gN$ in the quotient group is в факторгруппе есть $(gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N$ . .The group Группа $G/N$ , , read as " читать как " $G$ ‍ modulo модуль $N$ " , ",^[36] называется фактор-группой или фактор-группой .Факторгруппа альтернативно может быть охарактеризована универсальным свойством .

Таблица Кэли факторгруппы $\mathrm {D} _{4}/R$
$\cdot$	$R$	$U$
$R$	$R$	$U$
$U$	$U$	$R$

Элементы факторгруппы $\mathrm {D} _{4}/R$ являются $R$ and и $U=f_{\mathrm {v} }R$ . . The group operation on the quotient is shown in the table. For example, Групповая операция над частным представлена в таблице. Например $U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R$ . Обе подгруппы . Both the subgroup $R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}$ и частное $\mathrm {D} _{4}/R$ абелевы, но $\mathrm {D} _{4}$ нет. Иногда группу можно восстановить из подгруппы и фактора (плюс некоторых дополнительных данных) с помощью полупрямого произведения ; построения $\mathrm {D} _{4}$ это пример.

Из первой теоремы об изоморфизме следует, что любой сюръективный гомоморфизм $\phi :G\to H$ factors canonically as a quotient homomorphism followed by an isomorphism: канонически факторизуется как факторгомоморфизм, за которым следует изоморфизм : $G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H$ . .Surjective homomorphisms are the Сюръективные гомоморфизмы — это эпиморфизмы в категории групп.

Презентации [ править ]

изоморфна фактору свободной группы Каждая группа во многих отношениях .

Например, группа диэдра $\mathrm {D} _{4}$ генерируется правым вращением $r_{1}$ и отражение $f_{\mathrm {v} }$ по вертикальной линии (каждый элемент $\mathrm {D} _{4}$ is a finite product of copies of these and their inverses).Hence there is a surjective homomorphism является конечным произведением их копий и их обратных).Следовательно, существует сюръективный гомоморфизм $\phi$ из свободной группы from the free group $\langle r,f\rangle$ на двух генераторах $\mathrm {D} _{4}$ отправка $r$ к $r_{1}$ и $f$ to к $f_{1}$ .Элементы в .Elements in $\ker \phi$ называются отношениями ; примеры включают $r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}$ .На самом деле оказывается, что .In fact, it turns out that $\ker \phi$ является наименьшей нормальной подгруппой $\langle r,f\rangle$ containing these three elements; in other words, all relations are consequences of these three.The quotient of the free group by this normal subgroup is denoted содержащий эти три элемента; иными словами, все отношения являются следствием этих трех.Фактор свободной группы по этой нормальной подгруппе обозначается $\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle$ . называется презентация Это $\mathrm {D} _{4}$ by generators and relations, because the first isomorphism theorem for генераторами и соотношениями, поскольку первая теорема об изоморфизме для $\phi$ дает yields an isomorphism изоморфизм $\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}$ ‍ . ^[37]

Представление группы может быть использовано для построения графа Кэли , графического изображения дискретной группы . ^[38]

Примеры и приложения [ править ]

Примеров и применений групп имеется множество. Отправная точка – группа $\mathbb {Z}$ целых чисел со сложением как групповой операцией, представленной выше. Если вместо сложения рассматривать умножение, то получаются мультипликативные группы . Эти группы являются предшественниками важных конструкций абстрактной алгебры .

Группы также применяются во многих других математических областях. Математические объекты часто исследуют путем сопоставления им групп и изучения свойств соответствующих групп. Например, Анри Пуанкаре основал то, что сейчас называется алгебраической топологией , введя фундаментальную группу . ^[39] Посредством этой связи топологические свойства, такие как близость и непрерывность, преобразуются в свойства групп. ^[г]

Элементами фундаментальной группы топологического пространства являются классы эквивалентности петель, где петли считаются эквивалентными, если одну можно плавно деформировать в другую, а групповая операция - это «конкатенация» (отслеживание одной петли, а затем другой). Например, как показано на рисунке, если топологическое пространство представляет собой плоскость с удаленной одной точкой, то петли, которые не охватывают недостающую точку (синяя), могут плавно сжиматься до одной точки и являются единичным элементом фундаментальной точки. группа. Цикл, охватывающий недостающую точку $k$ времена не могут быть деформированы в цикл, который заворачивает $m$ times (with раз ( с $m\neq k$ ) ), because the loop cannot be smoothly deformed across the hole, so each class of loops is characterized by its , поскольку петля не может плавно деформироваться поперек отверстия, поэтому каждый класс петель характеризуется своим номером намотки вокруг недостающей точки. Полученная группа изоморфна суммируемым целым числам.

В более поздних приложениях влияние также было обращено вспять, чтобы мотивировать геометрические конструкции теоретико-групповым фоном. ^[час] Подобным же образом геометрическая теория групп использует геометрические концепции, например, при изучении гиперболических групп . ^[40] Другие отрасли, критически применяющие группы, включают алгебраическую геометрию и теорию чисел. ^[41]

Помимо вышеупомянутых теоретических приложений, существует множество практических приложений групп. Криптография опирается на сочетание подхода абстрактной теории групп с алгоритмическими знаниями, полученными в вычислительной теории групп , особенно при реализации для конечных групп. ^[42] Приложения теории групп не ограничиваются математикой; Такие науки, как физика , химия и информатика, извлекают выгоду из этой концепции.

Числа [ править ]

Многие системы счисления, такие как целые и рациональные числа , имеют естественно заданную групповую структуру. В некоторых случаях, например, в случае с рациональными числами, операции сложения и умножения приводят к образованию групповых структур. Такие системы счисления являются предшественниками более общих алгебраических структур, известных как кольца и поля. Другие абстрактные алгебраические понятия, такие как модули , векторные пространства и алгебры, также образуют группы.

Целые числа [ править ]

Группа целых чисел $\mathbb {Z}$ under addition, denoted дополнительно обозначено $\left(\mathbb {Z} ,+\right)$ , описано выше. Целые числа, в которых вместо сложения используется операция умножения, , has been described above. The integers, with the operation of multiplication instead of addition, $\left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)$ не формируйте группу. Аксиомы ассоциативности и тождественности выполняются, но обратные не существуют: например, $a=2$ целое число, но единственное решение уравнения $a\cdot b=1$ in this case is в данном случае это $b={\tfrac {1}{2}}$ , которое является рациональным числом, но не целым. Следовательно, не каждый элемент , which is a rational number, but not an integer. Hence not every element of $\mathbb {Z}$ имеет (мультипликативную) обратную. ^[я]

Рациональное мышление [ править ]

Стремление к существованию мультипликативных обратных наводит на мысль рассматривать дроби ${\frac {a}{b}}.$

Дроби целых чисел (с $b$ ненулевые) известны как рациональные числа . ^[Дж] The set of all such irreducible fractions is commonly denoted Множество всех таких несократимых дробей обычно обозначается $\mathbb {Q}$ . . There is still a minor obstacle for Есть еще небольшое препятствие для $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$ , рациональные числа с умножением являются группой: поскольку ноль не имеет мультипликативного обратного (т. е. не существует , the rationals with multiplication, being a group: because zero does not have a multiplicative inverse (i.e., there is no $x$ such that такой , что $x\cdot 0=1$ ‍ ), $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$ это еще не группа.

Однако множество всех ненулевых рациональных чисел $\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}$ does form an abelian group under multiplication, also denoted образует абелеву группу при умножении, также обозначаемую $\mathbb {Q} ^{\times }$ ‍ . ^[к] Аксиомы ассоциативности и единичного элемента следуют из свойств целых чисел. Требование замыкания остается в силе после удаления нуля, поскольку произведение двух ненулевых рациональных чисел никогда не равно нулю. Наконец, обратное $a/b$ is является $b/a$ , следовательно, аксиома обратного элемента удовлетворена. , therefore the axiom of the inverse element is satisfied.

Рациональные числа (включая ноль) также образуют группу при сложении. Переплетение операций сложения и умножения приводит к более сложным структурам, называемым кольцами, и – если возможно деление на величину, отличную от нуля, например, в $\mathbb {Q}$ – поля, занимающие центральное место в абстрактной алгебре. Таким образом, аргументы теории групп лежат в основе некоторых частей теории этих сущностей. ^[л]

Модульная арифметика [ править ]

Модульная арифметика для модуля $n$ определяет любые два элемента $a$ и $b$ которые отличаются в несколько раз $n$ to be equivalent, denoted by быть эквивалентным, обозначается $a\equiv b{\pmod {n}}$ . Каждое целое число эквивалентно одному из целых чисел из . Every integer is equivalent to one of the integers from $0$ to к $n-1$ , , and the operations of modular arithmetic modify normal arithmetic by replacing the result of any operation by its equivalent а операции модульной арифметики модифицируют обычную арифметику, заменяя результат любой операции ее эквивалентным представителем . Модульное сложение, определенное таким образом для целых чисел из $0$ to к $n-1$ образует группу, обозначаемую как , forms a group, denoted as $\mathrm {Z} _{n}$ or или $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$ ‍с $0$ как элемент идентичности и $n-a$ as the inverse element of как обратный элемент $a$ ‍ .

Знакомый пример — добавление часов на циферблате , где в качестве представителя идентичности выбрано 12, а не 0. Если часовая стрелка включена $9$ и является продвинутым $4$ hours, it ends up on часов, в итоге включается $1$ , как показано на рисунке. Это выражается в том, что , as shown in the illustration. This is expressed by saying that $9+4$ соответствует $1$ "modulo " по модулю $12$ " или, в символах, " or, in symbols, $9+4\equiv 1{\pmod {12}}.$

For any prime number Для любого простого числа $p$ , , there is also the существует также мультипликативная группа целых чисел по модулю $p$ ‍ . ^[43] Его элементы могут быть представлены $1$ to к $p-1$ . . The group operation, multiplication modulo Групповая операция, умножение по модулю $p$ , , replaces the usual product by its representative, the заменяет обычный товар на его представителя, остаток от деления на $p$ . . For example, for Например, для $p=5$ четыре элемента , the four group elements can be represented by группы могут быть представлены как $1,2,3,4$ . . In this group, В этой группе $4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}$ , потому что обычный товар , because the usual product $16$ is equivalent to эквивалентно $1$ : при делении на : when divided by $5$ it yields a remainder of это дает остаток $1$ . Первичность . The primality of $p$ ensures that the usual product of two representatives is not divisible by гарантирует, что обычное произведение двух представителей не делится на $p$ и , следовательно, модульное произведение не равно нулю. , and therefore that the modular product is nonzero.^[м] The identity element is represented by Элемент идентификации представлен $1$ , а ассоциативность следует из соответствующего свойства целых чисел. Наконец, аксиома обратного элемента требует, чтобы данное целое число , and associativity follows from the corresponding property of the integers. Finally, the inverse element axiom requires that given an integer $a$ not divisible by не делится на $p$ существует целое число , there exists an integer $b$ такой, что $a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},$ то есть такой, что $p$ evenly divides поровну делит $a\cdot b-1$ . Обратное . The inverse $b$ можно найти, используя тождество Безу и тот факт, что наибольший общий делитель $\gcd(a,p)$ equals равно $1$ ‍ . ^[44] В случае $p=5$ выше, обратный элемент, представленный $4$ is that represented by это то, что представлено $4$ и обратный элемент, представленный , and the inverse of the element represented by $3$ is represented by представлен $2$ как , as $3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}$ . Следовательно, все аксиомы группы выполнены. Этот пример похож на . Hence all group axioms are fulfilled. This example is similar to $\left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)$ выше: он состоит именно из тех элементов кольца $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ которые имеют мультипликативную обратную. ^[45] These groups, denoted Эти группы, обозначенные $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ имеют решающее значение для , are crucial to криптографии с открытым ключом . ^[н]

Циклические группы [ править ]

Циклическая группа — это группа, все элементы которой являются степенями определенного элемента. $a$ . ^[46] В мультипликативной записи элементами группы являются $\dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,$ где $a^{2}$ means означает $a\cdot a$ ‍ , $a^{-3}$ stands for означает $a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}$ и т. д. , etc.^[the] Такой элемент $a$ называется генератором или примитивным элементом группы. В аддитивной записи требование, чтобы элемент был примитивным, состоит в том, что каждый элемент группы может быть записан как $\dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .$

В группах $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$ введенный выше элемент $1$ is primitive, so these groups are cyclic. Indeed, each element is expressible as a sum all of whose terms are примитивна, поэтому эти группы цикличны. Действительно, каждый элемент выражается в виде суммы, все члены которой равны $1$ . Любая циклическая группа с . Any cyclic group with $n$ elements is isomorphic to this group. A second example for cyclic groups is the group of элементы изоморфны этой группе. Вторым примером циклических групп является группа $n$ ‍-ые комплексные корни из единицы , заданные комплексными числами $z$ satisfying удовлетворительно $z^{n}=1$ . . These numbers can be visualized as the Эти числа можно представить как вершины регулярного $n$ -gon, as shown in blue in the image for -gon, как показано синим цветом на изображении для $n=6$ . Групповая операция — умножение комплексных чисел. На картинке умножение на . The group operation is multiplication of complex numbers. In the picture, multiplying with $z$ соответствует повороту против часовой стрелки на 60°. ^[47] Из теории поля группа $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ является циклическим для простого числа $p$ : for example, if : например, если $p=5$ ‍ , $3$ is a generator since является генератором, поскольку $3^{1}=3$ ‍ , ‍ $3^{2}=9\equiv 4$ ‍ , ‍ $3^{3}\equiv 2$ и , and $3^{4}\equiv 1$ ‍ .

Some cyclic groups have an infinite number of elements. In these groups, for every non-zero element Некоторые циклические группы имеют бесконечное число элементов. В этих группах для каждого ненулевого элемента $a$ , все силы , all the powers of $a$ are distinct; despite the name "cyclic group", the powers of the elements do not cycle. An infinite cyclic group is isomorphic to различимы; несмотря на название «циклическая группа», силы элементов не цикличны. Бесконечная циклическая группа изоморфна $(\mathbb {Z} ,+)$ , группа целых чисел при сложении, введенная выше. , the group of integers under addition introduced above.^[48] Поскольку оба этих прототипа абелевы, то и все циклические группы являются абелевыми.

Исследование конечно порожденных абелевых групп вполне зрело, включая фундаментальную теорему о конечно порожденных абелевых группах ; и, отражая такое положение дел, многие понятия, связанные с группой, такие как центр и коммутатор , описывают степень, в которой данная группа не является абелевой. ^[49]

Группы симметрии [ править ]

Группы симметрии — это группы, состоящие из симметрий данных математических объектов, в основном геометрических объектов, таких как группа симметрии квадрата, приведенная в качестве вводного примера выше, хотя они также возникают в алгебре, например, симметрии между корнями полиномиальных уравнений, рассматриваемых в Теория Галуа (см. ниже). ^[51] Концептуально теорию групп можно рассматривать как исследование симметрии. ^[п] Симметрии в математике значительно упрощают изучение геометрических или аналитических объектов. Говорят, что группа действует на другой математический объект $X$ если if every group element can be associated to some operation on каждый элемент группы может быть связан с некоторой операцией над $X$ и and the composition of these operations follows the group law. For example, an element of the состав этих операций подчиняется групповому закону. Например, элемент группы треугольников (2,3,7) действует на треугольное замощение гиперболической плоскости, переставляя треугольники. ^[50] При групповом действии групповой паттерн связан со структурой объекта, на который воздействуют.

В химии точечные группы описывают молекулярную симметрию , а пространственные группы описывают кристаллическую симметрию в кристаллографии . Эти симметрии лежат в основе химического и физического поведения этих систем, а теория групп позволяет упростить квантовомеханический анализ этих свойств. ^[52] Например, теория групп используется, чтобы показать, что оптические переходы между определенными квантовыми уровнями не могут происходить просто из-за симметрии участвующих состояний. ^[53]

Теория групп помогает предсказать изменения физических свойств, которые происходят, когда материал претерпевает фазовый переход , например, из кубической кристаллической формы в тетраэдрическую. Примером могут служить сегнетоэлектрические материалы, у которых переход из параэлектрического состояния в сегнетоэлектрическое состояние происходит при температуре Кюри и связан с переходом от высокосимметричного параэлектрического состояния к сегнетоэлектрическому состоянию с более низкой симметрией, сопровождаемому так называемой мягкой фононной модой. , колебательная мода решетки, которая при переходе переходит к нулевой частоте. ^[54]

Такое спонтанное нарушение симметрии нашло дальнейшее применение в физике элементарных частиц, где его появление связано с появлением голдстоуновских бозонов . ^[55]


Бакминстерфуллереновые дисплеи икосаэдрическая симметрия ^[56]	Аммиак , _NH3 . Его группа симметрии имеет порядок 6 и возникает в результате поворота на 120 ° и отражения. ^[57]	Cubane C ₈ H ₈Особенности октаэдрическая симметрия . ^[58]	Ион тетрахлорплатината (II) , [PtCl ₄ ] ²⁻ демонстрирует плоско-квадратную геометрию

Группы конечной симметрии, такие как группы Матье, используются в теории кодирования , которая, в свою очередь, применяется для исправления ошибок передаваемых данных, а также в проигрывателях компакт-дисков . ^[59] Другое применение — дифференциальная теория Галуа , которая характеризует функции, имеющие первообразные заданной формы, давая теоретико-групповые критерии того, когда решения некоторых дифференциальных уравнений ведут себя хорошо. ^[д] Геометрические свойства, сохраняющие устойчивость при групповых действиях, исследуются в (геометрической) теории инвариантов . ^[60]

групп и представлений Общая линейная теория

Группы матриц состоят из матриц вместе с умножением матриц . Общая линейная группа $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ состоит из всех обратимых $n$ ‍-by-к $n$ матрицы с реальными элементами. matrices with real entries.^[61] Ее подгруппы называются матричными группами или линейными группами . Упомянутый выше пример группы диэдра можно рассматривать как (очень маленькую) матричную группу. Другая важная матричная группа — это специальная ортогональная группа. $\mathrm {SO} (n)$ . Он описывает все возможные вращения в . It describes all possible rotations in $n$ размеры. Матрицы вращения этой группы используются в компьютерной графике . ^[62]

Теория представлений является одновременно применением концепции группы и важна для более глубокого понимания групп. ^[63]^[64] Он изучает группу посредством ее групповых действий на других пространствах. Широкий класс представлений групп — это линейные представления, в которых группа действует в векторном пространстве, таком как трехмерное евклидово пространство. $\mathbb {R} ^{3}$ . Представительство группы . A representation of a group $G$ на $n$ - размерное действительное векторное пространство - это просто групповой гомоморфизм $\rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ из группы в общую линейную группу. Таким образом, групповая операция, которая может быть задана абстрактно, преобразуется в умножение матриц, что делает ее доступной для явных вычислений. ^[р]

Групповое действие дает дополнительные средства для изучения объекта, на который воздействуют. ^[с] С другой стороны, это также дает информацию о группе. Представления групп являются организующим принципом в теории конечных групп, групп Ли, алгебраических групп и топологических групп , особенно (локально) компактных групп . ^[63]^[65]

Группы Галуа [ править ]

Группы Галуа были разработаны для решения полиномиальных уравнений путем учета их особенностей симметрии. ^[66]^[67] Например, решения квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ даны $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ Каждое решение можно получить заменой $\pm$ подписать $+$ или $-$ ; аналогичные формулы известны для кубической и уравнений четвертой степени , но не существуют вообще для степени 5 и выше. ^[68] В квадратичной формуле смену знака (перестановку двух полученных решений) можно рассматривать как (очень простую) групповую операцию. Аналогичные группы Галуа действуют на решения полиномиальных уравнений более высокой степени и тесно связаны с существованием формул их решения. Абстрактные свойства этих групп (в частности, их разрешимость ) дают критерий возможности выражать решения этих многочленов, используя только сложение, умножение и корни, аналогичные приведенной выше формуле. ^[69]

Современная теория Галуа обобщает вышеупомянутый тип групп Галуа, переходя к теории поля и рассматривая расширения полей, образуемые как поле расщепления многочлена. Эта теория устанавливает — посредством фундаментальной теоремы теории Галуа — точную связь между полями и группами, еще раз подчеркивая повсеместное распространение групп в математике. ^[70]

Конечные группы [ править ]

Группа называется конечной, если она имеет конечное число элементов . Количество элементов называется порядком группы. ^[71] Важным классом являются симметрические группы $\mathrm {S} _{N}$ , группы перестановок , the groups of permutations of $N$ объекты. Например, симметричная группа из 3 букв. $\mathrm {S} _{3}$ — это группа всех возможных переупорядочений объектов. Три буквы ABC можно переупорядочить в ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, образуя в общей сложности 6 элементов ( факториал из 3). Групповая операция представляет собой композицию этих переупорядочений, а элемент идентификации — это операция переупорядочения, которая оставляет порядок неизменным. Этот класс является фундаментальным, поскольку любая конечная группа может быть выражена как подгруппа симметрической группы. $\mathrm {S} _{N}$ for a suitable integer для подходящего целого числа $N$ , , according to согласно теореме Кэли . Параллельно группе симметрий квадрата выше, $\mathrm {S} _{3}$ также можно интерпретировать как группу симметрий равностороннего треугольника .

Порядок элемента $a$ в группе $G$ наименьшее положительное целое число $n$ such that такой , что $a^{n}=e$ ‍где $a^{n}$ представляет $\underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},$ that is, application of the operation "то есть применение операции " $\cdot$ ‍к $n$ copies of копии $a$ . . (If " ( Если $\cdot$ " представляет собой умножение, тогда " represents multiplication, then $a^{n}$ corresponds to the соответствует $n$ -я th power of степень $a$ . ) В бесконечных группах такой .) In infinite groups, such an $n$ может не существовать, и в этом случае порядок $a$ говорят, что это бесконечность. Порядок элемента равен порядку циклической подгруппы, порожденной этим элементом.

Более сложные методы подсчета, например подсчет смежных классов, дают более точные утверждения о конечных группах: теорема Лагранжа утверждает, что для конечной группы $G$ порядок любой конечной подгруппы $H$ делит порядок $G$ . . The Теоремы Силова дают частичное обратное.

Группа диэдра $\mathrm {D} _{4}$ симметрий квадрата является конечной группой порядка 8. В этой группе порядок $r_{1}$ равно 4, как и порядок подгруппы $R$ что этот элемент генерирует. Порядок отражающих элементов $f_{\mathrm {v} }$ и т. д. равно 2. Оба порядка делят 8, как и предсказывает теорема Лагранжа. Группы $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ умножения по модулю простого числа $p$ have order есть порядок $p-1$ ‍ .

группы абелевы Конечные

Любая конечная абелева группа изоморфна произведению конечных циклических групп; это утверждение является частью фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах .

Любая группа простого порядка $p$ изоморфна циклической группе $\mathrm {Z} _{p}$ (следствие теоремы Лагранжа ). Любая группа заказа $p^{2}$ абелева, изоморфна $\mathrm {Z} _{p^{2}}$ or или $\mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}$ .Но существуют неабелевы группы порядка .But there exist nonabelian groups of order $p^{3}$ ; группа диэдра $\mathrm {D} _{4}$ порядка $2^{3}$ выше приведен пример. ^[72]

Простые группы [ править ]

Когда группа $G$ есть нормальная подгруппа $N$ кроме $\{1\}$ и $G$ себя, вопросы о $G$ иногда можно свести к вопросам о $N$ and и $G/N$ . . A nontrivial group is called Нетривиальная группа называется простой , если она не имеет такой нормальной подгруппы. Конечные простые группы относятся к конечным группам так же, как простые числа относятся к положительным целым числам: они служат строительными блоками в смысле, уточненном теоремой Джордана-Гёльдера .

Классификация конечных простых групп [ править ]

Системы компьютерной алгебры использовались для перечисления всех групп порядка до 2000 . ^[т]Но классификация всех конечных групп — это проблема, которая считается слишком сложной, чтобы ее можно было решить.

Классификация всех конечных простых групп стала крупным достижением современной теории групп. Существует несколько бесконечных семейств таких групп, а также 26 « спорадических групп », не принадлежащих ни одному из семейств. Самая крупная спорадическая группа называется группой монстров . Чудовищные самогонные гипотезы, доказанные Ричардом Борчердсом , связывают группу монстров с определёнными модульными функциями . ^[73]

Разрыв между классификацией простых групп и классификацией всех групп лежит в проблеме расширения . ^[74]

Группы с дополнительной структурой [ править ]

Эквивалентное определение группы состоит в замене части аксиом группы «существует» операциями, результатом которых является элемент, который должен существовать. Итак, группа – это совокупность $G$ оснащен бинарной операцией $G\times G\rightarrow G$ (групповая операция), унарная операция $G\rightarrow G$ (которая обеспечивает обратную операцию) и нулевую операцию , которая не имеет операнда и приводит к созданию единичного элемента. В остальном аксиомы группы точно такие же. Этот вариант определения избегает кванторов существования и используется при групповых вычислениях и для компьютерных доказательств .

Этот способ определения групп допускает такие обобщения, как понятие группового объекта в категории. Короче говоря, это объект с морфизмами , имитирующими аксиомы группы. ^[75]

Топологические группы [ править ]

Некоторые топологические пространства могут быть наделены групповым законом. Чтобы групповой закон и топология хорошо переплетались, групповые операции должны быть непрерывными функциями; неофициально, $g\cdot h$ и $g^{-1}$ не должен сильно различаться, если $g$ и $h$ варьироваться лишь немного. Такие группы называются топологическими группами и являются групповыми объектами в категории топологических пространств . ^[76] Самыми простыми примерами являются группа действительных чисел при сложении и группа ненулевых действительных чисел при умножении. Подобные примеры можно составить из любого другого топологического поля , например поля комплексных чисел или поля $p$ -адических чисел . Эти примеры локально компактны , поэтому имеют меры Хаара и могут быть изучены с помощью гармонического анализа . Другие локально компактные топологические группы включают группу точек алгебраической группы над локальным полем или кольцом аделей ; это основы теории чисел ^[77] Группы Галуа бесконечных расширений алгебраических полей снабжены топологией Крулля , которая играет роль в бесконечной теории Галуа . ^[78] Обобщением, используемым в алгебраической геометрии, является этальная фундаментальная группа . ^[79]

Группы лжи [ править ]

Группа Ли — это группа, которая также имеет структуру дифференцируемого многообразия ; неформально это означает, что локально оно выглядит как евклидово пространство некоторой фиксированной размерности. ^[80] Опять же, определение требует, чтобы дополнительная структура, в данном случае структура многообразия, была совместима: умножение и обратные отображения должны быть гладкими .

Стандартным примером является введенная выше общая линейная группа: это открытое подмножество пространства всех $n$ -к- $n$ матриц, поскольку оно определяется неравенством $\det(A)\neq 0,$ где $A$ обозначает $n$ -к- $n$ матрица. ^[81]

Группы Ли имеют фундаментальное значение в современной физике: теорема Нётер связывает непрерывные симметрии с сохраняющимися величинами . ^[82] Вращение , как и перемещение в пространстве и времени , являются основными симметриями законов механики . Например, их можно использовать для построения простых моделей — наложение, скажем, осевой симметрии на ситуацию обычно приводит к значительному упрощению уравнений, которые необходимо решить, чтобы обеспечить физическое описание. ^[в] Другим примером является группа преобразований Лоренца , которые связывают измерения времени и скорости двух наблюдателей, движущихся относительно друг друга. Их можно вывести чисто теоретико-групповым способом, выражая преобразования как вращательную симметрию пространства Минковского . Последнее служит — в отсутствие значительной гравитации — моделью пространства-времени в специальной теории относительности . ^[83] Полная группа симметрии пространства Минковского, т. е. включая трансляции, известна как группа Пуанкаре . Согласно вышеизложенному, оно играет ключевую роль в специальной теории относительности и, как следствие, в квантовых теориях поля . ^[84] Симметрии, меняющиеся в зависимости от местоположения, занимают центральное место в современном описании физических взаимодействий с помощью калибровочной теории . Важным примером калибровочной теории является Стандартная модель , которая описывает три из четырех известных фундаментальных сил и классифицирует все известные элементарные частицы . ^[85]

Обобщения [ править ]

Групповые структуры
	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	коммутативный
Частичная магма	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Полугруппоид	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативная унитарная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный цикл	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Более общие структуры могут быть определены путем смягчения некоторых аксиом, определяющих группу. ^[31]^[86]^[87] В таблице приведен список нескольких структур, обобщающих группы.

Например, если исключить требование, чтобы каждый элемент имел обратный, полученная алгебраическая структура называется моноидом . Натуральные числа $\mathbb {N}$ (including zero) under addition form a monoid, as do the nonzero integers under multiplication (включая ноль) при сложении образуют моноид, как и ненулевые целые числа при умножении $(\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )$ . Присоединяющиеся инверсии всех элементов моноида . Adjoining inverses of all elements of the monoid $(\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )$ produces a group создает группу $(\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )$ , , and likewise adjoining inverses to any (abelian) monoid а также присоединенные обратные к любому (абелеву) моноиду $M$ производит produces a group known as the Гротендика группу, известную как группа $M$ ‍ .

Группу можно рассматривать как небольшую категорию с одним объектом. $x$ в котором каждый морфизм является изоморфизмом: для такой категории множество in which every morphism is an isomorphism: given such a category, the set $\operatorname {Hom} (x,x)$ is a group; conversely, given a group это группа; и наоборот, учитывая группу $G$ можно , one can build a small category with one object построить небольшую категорию из одного объекта $x$ в in which котором $\operatorname {Hom} (x,x)\simeq G$ . .More generally, a В более общем смысле, группоид — это любая небольшая категория, в которой каждый морфизм является изоморфизмом. В группоиде множество всех морфизмов категории обычно не является группой, поскольку композиция определена лишь частично : $fg$ определяется is defined only when the source of только тогда, когда источник $f$ соответствует matches the target of цели $g$ . .Groupoids arise in topology (for instance, the Группоиды возникают в топологии (например, фундаментальный группоид ) и в теории стопок .

Наконец, можно обобщить любую из этих концепций, заменив бинарную операцию $n$ -арной операцией (т. е. операцией, принимающей $n$ аргументов для некоторого неотрицательного целого числа $n$ ). При правильном обобщении аксиом группы это дает понятие $n$ -арной группы . ^[88]

Примеры
Набор	Natural numbers Натуральные числа $\mathbb {N}$ ‍		Integers Целые числа $\mathbb {Z}$ ‍		Rational numbers Рациональные числа $\mathbb {Q}$ ‍ Real numbers Реальные цифры $\mathbb {R}$ ‍ Complex numbers Комплексные числа $\mathbb {C}$ ‍				Целые числа по модулю 3 ‍ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,2\}$ ‍
Операция	+	×	+	×	+	−	×	÷	+	×
Закрыто	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Да
Личность	0	1	0	1	0	Н/Д	1	Н/Д	0	1
Обратный	Н/Д	Н/Д	‍ $-a$ ‍	Н/Д	‍ $-a$ ‍	Н/Д	‍ $1/a$ ‍ ( ‍ $a\neq 0$ ‍ )	Н/Д	0, 2, 1 соответственно	Н/Д, 1, 2 соответственно
Ассоциативный	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Да	Да
коммутативный	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Да	Да
Структура	моноид	моноид	абелева группа	моноид	абелева группа	квазигруппа	моноид	квазигруппа	абелева группа	моноид

См. также [ править ]

Список тем теории групп

Примечания [ править ]

^ Некоторые авторы включают дополнительную аксиому, называемую замыканием при операции « $\cdot$ », что означает, что $\cdot b является$ элементом $G$ для всех $a$ и $b$ в $G.$ a Это условие включается требованием, чтобы « $»$ была бинарной операцией над $G.$ ⋅ См. Ланг 2002 .
^ В MathSciNet базе данных математических публикаций перечислено 1779 исследовательских работ по теории групп и ее обобщениям, написанных только в 2020 году. См. MathSciNet 2021 .
^ Обычно избегают использования дробных обозначений. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b / a$ , если только $G$ не абелева, из-за неоднозначности того, означает ли это $a -1 \cdot б$ или $б \cdot а -1$ .)
^ См., например, Lang 2002 , Lang 2005 , Herstein 1996 и Herstein 1975 .
^ Слово гомоморфизм происходит от греческого ὁμός — тот же и μορφή — структура. См. Шварцман 1994 , с. 108.
^ Однако группа не определяется ее решеткой подгрупп. См. Сузуки 1951 года .
^ Пример см. в теореме Зейферта – Ван Кампена .
^ Примером являются групповые когомологии группы, которые равны сингулярным когомологиям ее классифицирующего пространства , см. Weibel 1994 , §8.2.
^ Элементы, которые имеют мультипликативные инверсии, называются единицами , см. Lang 2002 , p. 84, §II.1.
^ Переход от целых чисел к рациональным путем включения дробей обобщается полем дробей .
^ самое верно для любого поля $F$ вместо $Q.$ То же См. Ланг 2005 , с. 86, §III.1.
^ Например, конечная подгруппа мультипликативной группы поля обязательно циклическая. См. Ланг 2002 , Теорема IV.1.9. понятия кручения модуля Другими и простых алгебр . примерами этого принципа являются
^ Указанное свойство является возможным определением простых чисел. См. Основной элемент .
^ Например, протокол Диффи-Хеллмана использует дискретный логарифм . См. Gollmann 2011 , §15.3.2.
^ Аддитивное обозначение элементов циклической группы будет $\cdot a,$ где $t$ находится в $Z.$ t
^ Более строго, каждая группа является группой симметрии некоторого графа ; см. теорему Фрухта , Frucht 1939 .
^ Точнее, рассматривается действие монодромии на векторное пространство решений дифференциальных уравнений. См. Куга 1993 , стр. 105–113.
^ Это имело решающее значение, например, для классификации конечных простых групп. См. Ашбахер 2004 .
^ См., например, лемму Шура о влиянии группового действия на простые модули . Более сложный пример — действие абсолютной группы Галуа на этальных когомологиях .
^ С точностью до изоморфизма до 2000 года существует около 49 миллиардов групп порядка. См. Besche, Eick & O'Brien 2001 .
^ См. метрику Шварцшильда , где приведен пример, когда симметрия значительно снижает сложность анализа физических систем.

Цитаты [ править ]

^ Херштейн 1975 , с. 26, §2.
^ Холл 1967 , с. 1, §1.1: «Идея группы пронизывает всю математику, как чистую , так и прикладную ».
^ Ланг 2005 , с. 360, Приложение. 2.
^ Кук 2009 , с. 24.
^ Артин 2018 , с. 40, §2.2.
^ Ланг 2002 , с. 3, I.§1 и с. 7, I.§2.
^ Ланг 2005 , с. 16, II.§1.
^ Херштейн 1975 , с. 54, §2.6.
^ Вуссинг 2007 .
^ Кляйнер 1986 .
^ Смит 1906 .
^ Галуа 1908 .
^ Кляйнер 1986 , с. 202.
^ Кэли 1889 .
^ Вуссинг 2007 , §III.2.
^ Ложь 1973 .
^ Кляйнер 1986 , с. 204.
^ Вуссинг 2007 , §I.3.4.
^ Иордания 1870 г.
^ фон Дейк 1882 .
^ Кертис 2003 .
^ Макки 1976 .
^ Борель 2001 .
^ Соломон 2018 .
^ Ледерманн 1953 , стр. 4–5, §1.2.
^ Ледерманн 1973 , с. 3, §I.1.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ланг 2005 , с. 17, §II.1.
^ Артин 2018 , с. 40.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ланг 2002 , с. 7, §I.2.
^ Ланг 2005 , с. 34, §II.3.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мак Лейн 1998 .
^ Ланг 2005 , с. 19, §II.1.
^ Ледерманн 1973 , с. 39, §II.12.
^ Ланг 2005 , с. 41, §II.4.
^ Ланг 2002 , с. 12, §I.2.
^ Ланг 2005 , с. 45, §II.4.
^ Ланг 2002 , с. 9, §I.2.
^ Магнус, Каррасс и Солитар 2004 , стр. 56–67, §1.6.
^ Хэтчер 2002 , с. 30, глава I.
^ Коорнарт, Дельзант и Пападопулос 1990 .
^ Например, группы классов и группы Пикара ; см. Neukirch 1999 , в частности §§I.12 и I.13.
^ Сересс 1997 .
^ Ланг 2005 , Глава VII.
^ Розен 2000 , с. 54, (теорема 2.1).
^ Ланг 2005 , с. 292, §VIII.1.
^ Ланг 2005 , с. 22, §II.1.
^ Ланг 2005 , с. 26, §II.2.
^ Ланг 2005 , с. 22, §II.1 (пример 11).
^ Ланг 2002 , стр. 26, 29, §I.5.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эллис 2019 .
^ Вейль 1952 .
^ Конвей и др. 2001 . См. также Бишоп 1993.
^ Вейль 1950 , стр. 197–202.
^ Где 2003 год .
^ Зи 2010 , с. 228.
^ Ченси и О'Брайен, 2021 , стр. 15, 16.
^ Саймонс 2003 , §4.2.1.
^ Элиэль, Вилен и Мандер 1994 , стр. 82.
^ Валлийский 1989 .
^ Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994 .
^ Лей 2003 .
^ Койперс 1999 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фултон и Харрис 1991 .
^ Теплица 1977 .
^ Рудин 1990 .
^ Робинсон 1996 , с. viii.
^ Артин 1998 .
^ Lang 2002 , Глава VI (конкретные примеры см., в частности, на стр. 273).
^ Ланг 2002 , с. 292, (теорема VI.7.2).
^ Стюарт 2015 , §12.1.
^ Курцвейл и Штельмахер 2004 , с. 3.
^ Артин 2018 , Предложение 6.4.3. См. также Ланг 2002 , с. 77 для аналогичных результатов.
^ Ронан 2007 .
^ Ашбахер 2004 , с. 737.
^ Аводи 2010 , §4.1.
^ Хусейн 1966 .
^ Нойкирх 1999 .
^ Шац 1972 .
^ Милн 1980 .
^ Уорнер 1983 .
^ Борель 1991 .
^ Гольдштейн 1980 .
^ Вайнберг 1972 .
^ Сборник 2003 г.
^ Зи 2010 .
^ Денеке и Висмат 2002 .
^ Романовска и Смит 2002 .
^ Двадцать 2001 .

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

Артин, Майкл (2018), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-13-468960-9 Глава 2 содержит изложение понятий, рассматриваемых в этой статье, на уровне бакалавриата.
Кук, Мариана Р. (2009), Математики: внешний взгляд на внутренний мир , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13951-7
Холл, Г.Г. (1967), Прикладная теория групп , American Elsevier Publishing Co., Inc., Нью-Йорк, MR 0219593 , элементарное введение.
Херштейн, Израиль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7 , МР 1375019 .
Херштейн, Израиль Натан (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, MR 0356988 .
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
Ланг, Серж (2005), Бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3 .
Ледерманн, Уолтер (1953), Введение в теорию конечных групп , Оливер и Бойд, Эдинбург и Лондон, MR 0054593 .
Ледерманн, Уолтер (1973), Введение в теорию групп , Нью-Йорк: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6 .

Специальные ссылки [ править ]

Артин, Эмиль (1998), Теория Галуа , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-62342-9 .
Ашбахер, Майкл (2004), «Состояние классификации конечных простых групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (7): 736–740 .
Аводи, Стив (2010), Теория категорий , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-958736-0
Белер, Флориан; Викледер, Матиас С.; Кристоферс, Йенс (2014), «Бифенил и бимезитилтетрасульфоновая кислота – новые линкерные молекулы для координационных полимеров», Arkivoc , 2015 (2): 64–75, doi : 10.3998/ark.5550190.p008.911 , hdl : 2027/spo .5550190.p008.911
Берсукер, Исаак (2006), Эффект Яна-Теллера , издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-82212-2 .
Беше, Ганс Ульрих; Эйк, Беттина; О'Брайен, Э.А. (2001), «Группы порядка не более 2000» , Электронные объявления об исследованиях Американского математического общества , 7 : 1–4, doi : 10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR 1826989 .
Бишоп, Дэвид Х.Л. (1993), Теория групп и химия , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4 .
Борель, Арманд (1991), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 126 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8 , МР 1102012 .
Картер, Роджер В. (1989), Простые группы типа лжи , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6 .
Ченси, CC; О'Брайен, MCM (2021), Эффект Яна-Теллера в C60 и других икосаэдрических комплексах , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22534-0
Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Хьюсон, Дэниел Х.; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах», Вклад в алгебру и геометрию , 42 (2): 475–507, arXiv : math.MG/9911185 , MR 1865535 .
Коорнарт, М.; Дельзант, Т.; Пападопулос, А. (1990), Геометрия и теория групп , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 1441, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4 , МР 1075994 .
Денеке, Клаус; Висмат, Шелли Л. (2002), Универсальная алгебра и приложения в теоретической информатике , Лондон: CRC Press , ISBN 978-1-58488-254-1 .
Дав, Мартин Т. (2003), Структура и динамика: атомарный взгляд на материалы , Oxford University Press, стр. 265, ISBN 0-19-850678-3 .
Дудек, Веслав А. (2001), «О некоторых старых и новых проблемах в $n$ -арных группах» (PDF) , Квазигруппы и родственные системы , 8 : 15–36, MR 1876783 .
Элиэль, Эрнест; Вилен, Сэмюэл; Мандер, Льюис (1994), Стереохимия органических соединений , Wiley, ISBN 978-0-471-01670-0
Эллис, Грэм (2019), «6.4 группы треугольников», Приглашение к вычислительной гомотопии , Oxford University Press, стр. 441–444, doi : 10.1093/oso/9780198832973.001.0001 , ISBN 978-0-19-883298-0 , МР 3971587 .
Фрухт, Р. (1939), «Построение графов с заданной абстрактной группой» , Compositio Mathematica (на немецком языке), 6 : 239–50, заархивировано из оригинала 01 декабря 2008 г.
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений: первый курс , Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике , том. 129, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-97495-8 , МР 1153249
Гольдштейн, Герберт (1980), Классическая механика (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, стр. 588–596, ISBN 0-201-02918-9 .
Голлманн, Дитер (2011), Компьютерная безопасность (2-е изд.), Западный Суссекс, Англия: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0-470-74115-3
Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79540-1 .
Хусейн, Такдир (1966), Введение в топологические группы , Филадельфия: WB Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
Ян, Х .; Теллер, Э. (1937), «Стабильность многоатомных молекул в вырожденных электронных состояниях. I. Орбитальное вырождение», Proceedings of the Royal Society A , 161 (905): 220–235, Bibcode : 1937RSPSA.161..220J , doi : 10.1098/rspa.1937.0142 .
Койперс, Джек Б. (1999), Кватернионы и последовательности вращения: учебник по применению к орбитам, аэрокосмической отрасли и виртуальной реальности , Princeton University Press , Bibcode : 1999qrsp.book.....K , ISBN 978-0-691-05872-6 , МР 1670862 .
Куга, Мичио (1993), Мечта Галуа: теория групп и дифференциальные уравнения , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3 , МР 1199112 .
Курцвейл, Ганс; Штелмахер, Бернд (2004), Теория конечных групп , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0 , МР 2014408 .
Лэй, Дэвид (2003), Линейная алгебра и ее приложения , Аддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-70970-4 .
Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2 .
Магнус, Вильгельм ; Каррасс, Авраам; Солитар, Дональд (2004) [1966], Комбинаторная теория групп: представления групп с точки зрения генераторов и отношений , Курьер, ISBN 978-0-486-43830-6
MathSciNet (2021), Список рассмотренных на MathSciNet статей по «Теории групп и ее обобщениям» (код MSC 20), опубликованных в 2020 году , получено 14 мая 2021 года.
Михлер, Герхард (2006), Теория конечных простых групп , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-86625-5 .
Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
Мамфорд, Дэвид ; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. (1994), Геометрическая теория инвариантов , том. 34 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3 , МР 1304906 .
Набер, Грегори Л. (2003), Геометрия пространства-времени Минковского , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9 , МР 2044239 .
Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук , том. 322, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8 , МР 1697859 , Збл 0956.11021
Романовска, AB ; Смит, JDH (2002), Modes , World Scientific , ISBN 978-981-02-4942-7 .
Ронан, Марк (2007), Симметрия и чудовище: история одного из величайших поисков математики , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-280723-6 .
Розен, Кеннет Х. (2000), Элементарная теория чисел и ее приложения (4-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-87073-2 , МР 1739433 .
Рудин, Уолтер (1990), Анализ Фурье групп , Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-Х .
Сересс, Акос (1997), «Введение в вычислительную теорию групп» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 44 (6): 671–679, MR 1452069 .
Серр, Жан-Пьер (1977), Линейные представления конечных групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9 , МР 0450380 .
Шварцман, Стивен (1994), «Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке» , Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-511-9 .
Шац, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8 , МР 0347778
Саймонс, Джек (2003), Введение в теоретическую химию , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-53047-7
Соломон, Рональд (2018), «Классификация конечных простых групп: отчет о ходе работы», Уведомления AMS , 65 (6): 1, doi : 10.1090/noti1689
Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0
Судзуки, Мичио (1951), «О решетке подгрупп конечных групп», Труды Американского математического общества , 70 (2): 345–371, doi : 10.2307/1990375 , JSTOR 1990375 .
Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6 .
Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 38, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-55987-4 , МР 1269324 , OCLC 36131259
Вайнберг, Стивен (1972), Гравитация и космология , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5 .
Уэлш, Доминик (1989), Коды и криптография , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3 .
Вейль, Герман (1952), Симметрия , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8 .
Зи, А. (2010), Квантовая теория поля в двух словах (второе изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14034-6 , OCLC 768477138

Исторические справки [ править ]

Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0288-5
Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли , том. II (1851–1860), Издательство Кембриджского университета .
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Развитие теории групп» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
Кертис, Чарльз В. (2003), Пионеры теории представлений: Фробениус, Бернсайд, Шур и Брауэр , История математики, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2677-5 .
фон Дейк, Вальтер (1882), «Теоретико-групповые исследования» , Mathematical Annals (на немецком языке), 20 (1): 1–44, doi : 10.1007/BF01443322 , S2CID 179178038 , заархивировано из оригинала 22 февраля 2014 г. .
Галуа, Эварист (1908), Таннери, Жюль (редактор), Manuscrits de Évariste Galois [Рукописи Эвариста Галуа] (на французском языке), Париж: Готье-Виллар (работа Галуа была впервые опубликована Жозефом Лиувиллем в 1843 году).
Джордан, Камилла (1870), Трактат о заменах и алгебраических уравнениях [Исследование замен и алгебраических уравнений] (на французском языке), Париж: Готье-Вилларс .
Кляйнер, Израиль (1986), «Эволюция теории групп: краткий обзор», Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi : 10.2307/2690312 , JSTOR 2690312 , MR 0863090 .
Ли, Софус (1973), Сборник трактатов. Том 1 [Сборник статей. Том 1] (на немецком языке), Нью-Йорк: Johnson Reprint Corp., MR 0392459 .
Макки, Джордж Уайтлоу (1976), Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press , MR 0396826
Смит, Дэвид Юджин (1906), История современной математики , Математические монографии, № 1 .
Вейль, Герман (1950) [1931], Теория групп и квантовая механика , перевод Робертсона, HP, Дувр, ISBN 978-0-486-60269-1 .
Вуссинг, Ханс (2007), Генезис концепции абстрактной группы: вклад в историю происхождения абстрактной теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-45868-7 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , «Группа» , MathWorld

[8] Некоторые авторы включают дополнительную аксиому, называемую замыканием при операции « $\cdot$ », что означает, что $\cdot b является$ элементом $G$ для всех $a$ и $b$ в $G.$ a Это условие включается требованием, чтобы « $»$ была бинарной операцией над $G.$ ⋅ См. Ланг 2002 .

[26] В MathSciNet базе данных математических публикаций перечислено 1779 исследовательских работ по теории групп и ее обобщениям, написанных только в 2020 году. См. MathSciNet 2021 .

[30] Обычно избегают использования дробных обозначений. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b / a$ , если только $G$ не абелева, из-за неоднозначности того, означает ли это $a -1 \cdot б$ или $б \cdot а -1$ .)

[33] См., например, Lang 2002 , Lang 2005 , Herstein 1996 и Herstein 1975 .

[34] Слово гомоморфизм происходит от греческого ὁμός — тот же и μορφή — структура. См. Шварцман 1994 , с. 108.

[38] Однако группа не определяется ее решеткой подгрупп. См. Сузуки 1951 года .

[46] Пример см. в теореме Зейферта – Ван Кампена .

[47] Примером являются групповые когомологии группы, которые равны сингулярным когомологиям ее классифицирующего пространства , см. Weibel 1994 , §8.2.

[51] Элементы, которые имеют мультипликативные инверсии, называются единицами , см. Lang 2002 , p. 84, §II.1.

[52] Переход от целых чисел к рациональным путем включения дробей обобщается полем дробей .

[53] самое верно для любого поля $F$ вместо $Q.$ То же См. Ланг 2005 , с. 86, §III.1.

[54] Например, конечная подгруппа мультипликативной группы поля обязательно циклическая. См. Ланг 2002 , Теорема IV.1.9. понятия кручения модуля Другими и простых алгебр . примерами этого принципа являются

[56] Указанное свойство является возможным определением простых чисел. См. Основной элемент .

[59] Например, протокол Диффи-Хеллмана использует дискретный логарифм . См. Gollmann 2011 , §15.3.2.

[61] Аддитивное обозначение элементов циклической группы будет $\cdot a,$ где $t$ находится в $Z.$ t

[67] Более строго, каждая группа является группой симметрии некоторого графа ; см. теорему Фрухта , Frucht 1939 .

[76] Точнее, рассматривается действие монодромии на векторное пространство решений дифференциальных уравнений. См. Куга 1993 , стр. 105–113.

[82] Это имело решающее значение, например, для классификации конечных простых групп. См. Ашбахер 2004 .

[83] См., например, лемму Шура о влиянии группового действия на простые модули . Более сложный пример — действие абсолютной группы Галуа на этальных когомологиях .

[92] С точностью до изоморфизма до 2000 года существует около 49 миллиардов групп порядка. См. Besche, Eick & O'Brien 2001 .

[103] См. метрику Шварцшильда , где приведен пример, когда симметрия значительно снижает сложность анализа физических систем.

[FOOTNOTEHerstein197526§2-1] Херштейн 1975 , с. 26, §2.

[FOOTNOTEHall19671§1.1:_"The_idea_of_a_group_is_one_which_pervades_the_whole_of_mathematics_both_[[pure_mathematics|pure]]_and_[[applied_mathematics|applied]]."-2] Холл 1967 , с. 1, §1.1: «Идея группы пронизывает всю математику, как чистую , так и прикладную ».

[FOOTNOTELang2005360App._2-3] Ланг 2005 , с. 360, Приложение. 2.

[FOOTNOTECook200924-4] Кук 2009 , с. 24.

[FOOTNOTEArtin201840§2.2-5] Артин 2018 , с. 40, §2.2.

[FOOTNOTELang2002p._3,_I.§1_and_p._7,_I.§2-6] Ланг 2002 , с. 3, I.§1 и с. 7, I.§2.

[FOOTNOTELang200516II.§1-7] Ланг 2005 , с. 16, II.§1.

[FOOTNOTEHerstein197554§2.6-9] Херштейн 1975 , с. 54, §2.6.

[FOOTNOTEWussing2007-10] Вуссинг 2007 .

[FOOTNOTEKleiner1986-11] Кляйнер 1986 .

[FOOTNOTESmith1906-12] Смит 1906 .

[FOOTNOTEGalois1908-13] Галуа 1908 .

[FOOTNOTEKleiner1986202-14] Кляйнер 1986 , с. 202.

[FOOTNOTECayley1889-15] Кэли 1889 .

[FOOTNOTEWussing2007§III.2-16] Вуссинг 2007 , §III.2.

[FOOTNOTELie1973-17] Ложь 1973 .

[FOOTNOTEKleiner1986204-18] Кляйнер 1986 , с. 204.

[FOOTNOTEWussing2007§I.3.4-19] Вуссинг 2007 , §I.3.4.

[FOOTNOTEJordan1870-20] Иордания 1870 г.

[FOOTNOTEvon_Dyck1882-21] фон Дейк 1882 .

[FOOTNOTECurtis2003-22] Кертис 2003 .

[FOOTNOTEMackey1976-23] Макки 1976 .

[FOOTNOTEBorel2001-24] Борель 2001 .

[FOOTNOTESolomon2018-25] Соломон 2018 .

[FOOTNOTELedermann19534–5§1.2-27] Ледерманн 1953 , стр. 4–5, §1.2.

[FOOTNOTELedermann19733§I.1-28] Ледерманн 1973 , с. 3, §I.1.

[FOOTNOTELang200517§II.1-29] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ланг 2005 , с. 17, §II.1.

[FOOTNOTEArtin201840-31] Артин 2018 , с. 40.

[FOOTNOTELang20027§I.2-32] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ланг 2002 , с. 7, §I.2.

[FOOTNOTELang200534§II.3-35] Ланг 2005 , с. 34, §II.3.

[FOOTNOTEMac_Lane1998-36] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мак Лейн 1998 .

[FOOTNOTELang200519§II.1-37] Ланг 2005 , с. 19, §II.1.

[FOOTNOTELedermann197339§II.12-39] Ледерманн 1973 , с. 39, §II.12.

[FOOTNOTELang200541§II.4-40] Ланг 2005 , с. 41, §II.4.

[FOOTNOTELang200212§I.2-41] Ланг 2002 , с. 12, §I.2.

[FOOTNOTELang200545§II.4-42] Ланг 2005 , с. 45, §II.4.

[FOOTNOTELang20029§I.2-43] Ланг 2002 , с. 9, §I.2.

[FOOTNOTEMagnusKarrassSolitar200456–67§1.6-44] Магнус, Каррасс и Солитар 2004 , стр. 56–67, §1.6.

[FOOTNOTEHatcher200230Chapter_I-45] Хэтчер 2002 , с. 30, глава I.

[FOOTNOTECoornaertDelzantPapadopoulos1990-48] Коорнарт, Дельзант и Пападопулос 1990 .

[49] Например, группы классов и группы Пикара ; см. Neukirch 1999 , в частности §§I.12 и I.13.

[FOOTNOTESeress1997-50] Сересс 1997 .

[FOOTNOTELang2005Chapter_VII-55] Ланг 2005 , Глава VII.

[FOOTNOTERosen200054&nbsp;(Theorem_2.1)-57] Розен 2000 , с. 54, (теорема 2.1).

[FOOTNOTELang2005292§VIII.1-58] Ланг 2005 , с. 292, §VIII.1.

[FOOTNOTELang200522§II.1-60] Ланг 2005 , с. 22, §II.1.

[FOOTNOTELang200526§II.2-62] Ланг 2005 , с. 26, §II.2.

[FOOTNOTELang200522§II.1_(example_11)-63] Ланг 2005 , с. 22, §II.1 (пример 11).

[FOOTNOTELang200226,_29§I.5-64] Ланг 2002 , стр. 26, 29, §I.5.

[FOOTNOTEEllis2019-65] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эллис 2019 .

[FOOTNOTEWeyl1952-66] Вейль 1952 .

[68] Конвей и др. 2001 . См. также Бишоп 1993.

[FOOTNOTEWeyl1950197–202-69] Вейль 1950 , стр. 197–202.

[FOOTNOTEDove2003-70] Где 2003 год .

[FOOTNOTEZee2010228-71] Зи 2010 , с. 228.

[FOOTNOTEChanceyO'Brien202115,_16-72] Ченси и О'Брайен, 2021 , стр. 15, 16.

[FOOTNOTESimons2003§4.2.1-73] Саймонс 2003 , §4.2.1.

[FOOTNOTEElielWilenMander199482-74] Элиэль, Вилен и Мандер 1994 , стр. 82.

[FOOTNOTEWelsh1989-75] Валлийский 1989 .

[FOOTNOTEMumfordFogartyKirwan1994-77] Мамфорд, Фогарти и Кирван 1994 .

[FOOTNOTELay2003-78] Лей 2003 .

[FOOTNOTEKuipers1999-79] Койперс 1999 .

[FOOTNOTEFultonHarris1991-80] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фултон и Харрис 1991 .

[FOOTNOTESerre1977-81] Теплица 1977 .

[FOOTNOTERudin1990-84] Рудин 1990 .

[FOOTNOTERobinson1996viii-85] Робинсон 1996 , с. viii.

[FOOTNOTEArtin1998-86] Артин 1998 .

[FOOTNOTELang2002Chapter_VI_(see_in_particular_p._273_for_concrete_examples)-87] Lang 2002 , Глава VI (конкретные примеры см., в частности, на стр. 273).

[FOOTNOTELang2002292(Theorem_VI.7.2)-88] Ланг 2002 , с. 292, (теорема VI.7.2).

[FOOTNOTEStewart2015§12.1-89] Стюарт 2015 , §12.1.

[FOOTNOTEKurzweilStellmacher2004p._3-90] Курцвейл и Штельмахер 2004 , с. 3.

[91] Артин 2018 , Предложение 6.4.3. См. также Ланг 2002 , с. 77 для аналогичных результатов.

[FOOTNOTERonan2007-93] Ронан 2007 .

[94] Ашбахер 2004 , с. 737.

[FOOTNOTEAwodey2010§4.1-95] Аводи 2010 , §4.1.

[FOOTNOTEHusain1966-96] Хусейн 1966 .

[FOOTNOTENeukirch1999-97] Нойкирх 1999 .

[FOOTNOTEShatz1972-98] Шац 1972 .

[FOOTNOTEMilne1980-99] Милн 1980 .

[FOOTNOTEWarner1983-100] Уорнер 1983 .

[FOOTNOTEBorel1991-101] Борель 1991 .

[FOOTNOTEGoldstein1980-102] Гольдштейн 1980 .

[FOOTNOTEWeinberg1972-104] Вайнберг 1972 .

[FOOTNOTENaber2003-105] Сборник 2003 г.

[FOOTNOTEZee2010-106] Зи 2010 .

[FOOTNOTEDeneckeWismath2002-107] Денеке и Висмат 2002 .

[FOOTNOTERomanowskaSmith2002-108] Романовска и Смит 2002 .

[FOOTNOTEDudek2001-109] Двадцать 2001 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[а]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[б]

[25]

[26]

[27]

[с]

[28]

[29]

[д]

[и]

[30]

[31]

[32]

[ф]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[г]

[час]

[40]

[41]

[42]

[я]

[Дж]

[к]

[л]

[43]

[м]

[44]

[45]

[н]

[46]

[the]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[п]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[д]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[р]

[с]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[т]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

v т и Группы
Basic notions	Subgroup Normal subgroup Commutator subgroup Quotient group Group homomorphism (Semi-) direct product direct sum
Types of groups	Finite groups Abelian groups Cyclic groups Infinite group Simple groups Solvable groups Symmetry group Space group Point group Wallpaper group Trivial group
Discrete groups	Classification of finite simple groups Cyclic group Z_n Alternating group A_n Sporadic groups Mathieu group M_11..12,M_22..24 Conway group Co_1..3 Janko groups J₁, J₂, J₃, J₄ Fischer group F_22..24 Baby monster group B Monster group M Other finite groups Symmetric group S_n Dihedral group D_n Rubik's Cube group
Lie groups	General linear group GL(n) Special linear group SL(n) Orthogonal group O(n) Special orthogonal group SO(n) Unitary group U(n) Special unitary group SU(n) Symplectic group Sp(n) Exceptional Lie groups G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Circle group Lorentz group Poincaré group Quaternion group
Infinite dimensional groups	Conformal group Diffeomorphism group Loop group Quantum group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
History Applications Abstract algebra

v т и Алгебра
Outline History
Areas	Abstract algebra Algebraic geometry Algebraic variety Scheme Algebraic number theory Category theory Commutative algebra Elementary algebra Homological algebra K-theory Linear algebra Multilinear algebra Noncommutative algebra Order theory Representation theory Universal algebra
Basic concepts	Algebraic expression Equation (Linear equation, Quadratic equation) Function (Polynomial function) Inequality (Linear inequality) Operation (Addition, Multiplication) Relation (Equivalence relation) Variable
Algebraic structures	Field (theory) Group (theory) Module (theory) Ring (theory) Vector space (Vector)
Linear and multilinear algebra	Basis Determinant Eigenvalues and eigenvectors Inner product space (Dot product) Hilbert space Linear map (Matrix) Linear subspace (Affine space) Norm (Euclidean norm) Orthogonality (Orthogonal complement) Rank Trace
Algebraic constructions	Composition algebra Exterior algebra Free object (Free group, ...) Geometric algebra (Multivector) Polynomial ring (Polynomial) Quotient object (Quotient group, ...) Symmetric algebra Tensor algebra
Topic lists	Algebraic structures
Glossaries	Field theory Linear algebra Order theory Ring theory
Category