Генераторная установка группы

Корни пятой степени из единицы в комплексной плоскости образуют группу при умножении. Каждый неидентичный элемент генерирует группу.

В абстрактной алгебре порождающий набор группы — это такое подмножество группового множества, что каждый элемент группы может быть выражен как комбинация (при групповой операции) конечного числа элементов подмножества и их обратных .

Другими словами, если $S$ является подмножеством группы $G$, затем $\langle S\rangle$, подгруппа, порожденная $S$ наименьшей подгруппой , является $G$ содержащий каждый элемент $S$, что равно пересечению по всем подгруппам, содержащим элементы $S$; эквивалентно, $\langle S\rangle$ является подгруппой всех элементов $G$ которое можно выразить как конечное произведение элементов в $S$ и их обратные. (Обратите внимание, что обратные элементы необходимы только в том случае, если группа бесконечна; в конечной группе обратный элемент может быть выражен как степень этого элемента.)

Если $G=\langle S\rangle$, тогда мы говорим, что $S$ генерирует $G$, а элементы в $S$ называются генераторами или генераторами групп . Если $S$ пустое множество, тогда $\langle S\rangle$ это тривиальная группа $\{e\}$, поскольку мы считаем пустое произведение тождеством.

Когда есть только один элемент $x$ в $S$, $\langle S\rangle$ обычно записывается как $\langle x\rangle$. В этом случае, $\langle x\rangle$ является циклической подгруппой степеней $x$, циклическая группа , и мы говорим, что эта группа порождается $x$. Эквивалентно произнесению элемента $x$ генерирует группу, говорит, что $\langle x\rangle$ равен всей группе $G$. Для конечных групп это также эквивалентно тому, что $x$ имеет порядок $|G|$.

Группе может потребоваться бесконечное количество генераторов. Например, аддитивная группа рациональных чисел $\mathbb {Q}$ не является конечно порожденным. Он генерируется обратными значениями всех целых чисел, но любое конечное число этих генераторов можно удалить из порождающего набора, не переставая быть порождающим набором. В таком случае все элементы в порождающем наборе, тем не менее, являются «непорождающими элементами», как и фактически все элементы всей группы — см. подгруппу Фраттини ниже.

Если $G$ является топологической группой , то ее подмножество $S$ из $G$ называется набором топологических образующих, если $\langle S\rangle$ плотный ​ в $G$, то закрытие есть $\langle S\rangle$ это вся группа $G$.

Конечно сгенерированная группа

Основная статья: Конечно сгенерированная группа

Если $S$ конечна, то группа $G=\langle S\rangle$ называется конечно порожденным . структура конечно порожденных абелевых групп В частности, легко описывается . Многие теоремы, верные для конечно порожденных групп, неверны для групп вообще. Доказано, что если конечная группа порождается подмножеством $S$, то каждый элемент группы можно выразить словом из алфавита $S$ длины меньше или равной порядку группы.

Любая конечная группа конечно порождена, поскольку $\langle G\rangle =G$. являются Складываемые целые числа примером бесконечной группы, которая конечно порождается как 1, так и -1, но группа рациональных чисел складываемая не может быть конечно порожденной. Никакая несчетная группа не может быть конечно порождена. Например, складываемая группа действительных чисел, $(\mathbb {R} ,+)$.

Различные подмножества одной и той же группы могут быть порождающими подмножествами. Например, если $p$ и $q$ являются целыми числами с НОД ( p , q ) = 1 , тогда $\{p,q\}$ также генерирует группу целых чисел, сложенных по тождеству Безу .

Хотя верно, что каждый фактор конечно порожденной группы конечно порожден (образы генераторов в факторе дают конечный порождающий набор), подгруппа конечно порожденной группы не обязательно должна быть конечно порожденной. Например, пусть $G$ — свободная группа в двух образующих, $x$ и $y$ (которая, очевидно, конечно порождена, поскольку $G=\langle \{x,y\}\rangle$), и пусть $S$ — подмножество, состоящее из всех элементов $G$ формы $y^{n}xy^{-n}$ для некоторого натурального числа $n$. $\langle S\rangle$ изоморфна . свободной группе по счетному бесконечному числу образующих и поэтому не может быть конечно порождена Однако каждая подгруппа конечно порожденной абелевой группы сама по себе конечно порождена. На самом деле можно сказать больше: класс всех конечно порожденных групп замкнут относительно расширений . Чтобы убедиться в этом, возьмем порождающий набор для (конечно порожденной) нормальной подгруппы и фактора. Тогда образующие нормальной подгруппы вместе с прообразами образующих фактора порождают группу.

Примеры

• Мультипликативная группа целых чисел по модулю 9 , U ₉ = {1, 2, 4, 5, 7, 8} , представляет собой группу всех целых чисел, относительно простых с 9 при умножении по модулю 9 . Заметим, что 7 не является генератором U ₉ , поскольку
    $\{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\},$
  а 2 есть, так как
    $\{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.$

• С другой стороны, Sn ₎ , симметрическая группа степени n , не порождается ни одним элементом (не является циклической , когда n > 2. Однако в этих случаях Sn _{всегда может быть порождена двумя перестановками ,} которые записаны в обозначение цикла как (1 2) и (1 2 3 ... n ) . Например, 6 элементов S ₃ могут быть сгенерированы из двух генераторов (1 2) и (1 2 3), как показано в правой части следующих уравнений (композиция ведется слева направо):

е = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

• Бесконечные группы также могут иметь конечные порождающие множества. Аддитивная группа целых чисел имеет 1 в качестве порождающего набора. Элемент 2 не является генератором, так как нечетные числа будут отсутствовать. Двухэлементное подмножество {3, 5} является порождающим множеством, поскольку (−5) + 3 + 3 = 1 (фактически, любая пара взаимно простых чисел является таковой, как следствие тождества Безу ).

• Группа диэдра n -угольника (имеющего порядок 2n ) порождается набором { r , s } , где r представляет вращение на 2 π / n, а s — любое отражение через линию симметрии.

• Циклическая группа порядка $n$, $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$и $n$^й все корни из единицы порождены одним элементом (фактически эти группы изоморфны друг другу).

• Представление группы определяется как набор генераторов и набор отношений между ними, поэтому любой из примеров, перечисленных на этой странице, содержит примеры порождающих наборов.

Бесплатная группа

Основная статья: Свободная группа

Самая общая группа, порожденная множеством $S$ является ли группа свободно порожденной $S$. Каждая группа, созданная $S$ изоморфен , и фактору этой группы группы это свойство используется при выражении представления .

Подгруппа Фраттини

Интересная сопутствующая тема — это негенераторы . Элемент $x$ группы $G$ является негенератором, если каждое множество $S$ содержащий $x$ который генерирует $G$, все еще генерирует $G$ когда $x$ удален из $S$. В целых числах со сложением единственным негенератором является 0. Множество всех негенераторов образует подгруппу $G$, подгруппа Фраттини .

Полугруппы и моноиды

Если $G$ является полугруппой или моноидом , можно по-прежнему использовать понятие порождающего набора $S$ из $G$. $S$ является порождающим набором полугруппы/моноида $G$ если $G$ - наименьшая полугруппа/моноид, содержащая $S$.

Определения порождающего множества группы, использующие конечные суммы, данные выше, необходимо немного изменить, когда речь идет о полугруппах или моноидах. Действительно, в этом определении больше не должно использоваться понятие обратной операции. Набор $S$ называется полугрупповым порождающим множеством $G$ если каждый элемент $G$ представляет собой конечную сумму элементов $S$. Аналогично, набор $S$ называется моноидным порождающим множеством $G$ если каждый ненулевой элемент $G$ представляет собой конечную сумму элементов $S$.

Например, {1} — моноидный генератор множества натуральных чисел. $\mathbb {N}$. Множество {1} также является полугрупповым генератором положительных натуральных чисел. $\mathbb {N} _{>0}$. Однако целое число 0 не может быть выражено как (непустая) сумма единиц, поэтому {1} ​​не является генератором полугруппы натуральных чисел.

Аналогично, хотя {1} является групповым генератором множества целых чисел $\mathbb {Z}$, {1} не является генератором моноида множества целых чисел. Действительно, целое число −1 не может быть выражено как конечная сумма единиц.

См. также

• Генерирующий набор для связанных значений в других структурах
• Презентация группы
• Примитивный элемент (конечное поле)
• Граф Кэли

Ссылки

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
• Коксетер, HSM; Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Спрингер. ISBN  0-387-09212-9 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Групповые генераторы» . Математический мир .