Октаэдрическая симметрия

Выбранные группы точек в трех измерениях

Инволюционная симметрия С ) , (* [ ] =	Циклическая симметрия C нв , (*nn) [н] =	Двугранная симметрия Д нх , (*n22) [п,2] =
Группа многогранников , [n,3], (*n32)
Тетраэдрическая симметрия Т д , (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О х , (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I h , (*532) [5,3] =

«Группа куба» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о математической группе, относящейся конкретно к извилистому кубику-головоломке 3x3x3, см. группу «Кубик Рубика» .

График цикла
Все четыре шестиугольных цикла имеют общую инверсию (черный узел наверху). Шестиугольники симметричны, поэтому, например, 3 и 4 находятся в одном цикле.

Правильный октаэдр имеет 24 вращательные (или сохраняющие ориентацию) симметрии, а всего 48 симметрий. К ним относятся преобразования, сочетающие в себе отражение и вращение. , Тот же набор симметрий имеет и куб поскольку именно многогранник двойственен октаэдру .

Группа симметрий, сохраняющих ориентацию, — это S ₄ , симметрическая группа или группа перестановок четырех объектов, поскольку для каждой перестановки четырех диагоналей куба существует ровно одна такая симметрия.

Подробности

Киральная и полная (или ахиральная ) октаэдрическая симметрия — это дискретные точечные симметрии (или, что то же самое, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии, совместимыми с трансляционной симметрией . Они относятся к кристаллографическим точечным группам кубической кристаллической системы .

Классы сопряженности

Элементы О		Инверсии элементов O
личность	0	инверсия	0′
3 × поворот на 180° вокруг оси 4-го порядка	7 , 16 , 23	3 × отражение в плоскости, перпендикулярной оси 4-го порядка	7′ , 16′ , 23′
8 × поворот на 120° вокруг оси 3-го порядка	3, 4, 8, 11, 12, 15, 19, 20	8 × поворот ротора на 60°	3′, 4′, 8′, 11′, 12′, 15′, 19′, 20′
6 × поворот на 180° вокруг оси 2-го порядка	1′, 2′, 5′, 6′, 14′, 21′	6 × отражение в плоскости, перпендикулярной оси 2-го порядка	1, 2, 5, 6, 14, 21
6 × поворот на 90° вокруг оси 4-го порядка	9′, 10′, 13′, 17′, 18′, 22′	6 × поворот ротора на 90°	9, 10, 13, 17, 18, 22

showПримеры
$(0,0)=0$	$(3,0)=7$	$(0,3)=3$	$(7,1)=1'$	$(4,5)=9'$
$(7,0)=0'$	$(4,0)=7'$	$(7,3)=3'$	$(0,1)=1$	$(3,5)=9$
A complete list can be found in the Wikiversity article.

Как гипероктаэдрическая группа размерности 3, полная октаэдрическая группа является сплетением $\mathrm {S} _{2}\wr \mathrm {S} _{3}\simeq \mathrm {S} _{2}^{3}\rtimes \mathrm {S} _{3}$,
и естественный способ идентифицировать его элементы — это пары ( m , n ) с $m\in [0,2^{3})$ и $n\in [0,3!)$.
Но поскольку это также прямое произведение S ₄ × S ₂ , элементы тетраэдрической подгруппы T _d можно просто идентифицировать как $a\in [0,4!)$ и их инверсии в виде ′ .

Так, например, тождество (0, 0) представляется как 0, а инверсия (7, 0) — как 0′.
(3, 1) обозначается как 6, а (4, 1) — как 6′.

Роторное отражение представляет собой комбинацию вращения и отражения.

showИллюстрация роторных отражений
The reflection 7′ applied on the 120° rotation 4 gives the 60° rotoreflection 8′. $7'\circ 4=8'$
The reflection 7′ applied on the 90° rotation 22′ gives the 90° rotoreflection 17. $7'\circ 22'=17$

симметрия

оси вращения
С 4	С 3 >	С 2
3	4	6

О , 432 или [4,3] ⁺ порядка 24 - это киральная октаэдрическая симметрия или вращательная октаэдрическая симметрия . Эта группа подобна киральной тетраэдральной симметрии T, но оси C ₂ теперь являются осями C ₄ , и дополнительно имеется 6 осей C ₂ , проходящих через середины ребер куба. T _d и O изоморфны как абстрактные группы: они обе соответствуют S ₄ , симметричной группе из 4 объектов. T _d — объединение T и множества, полученного объединением каждого элемента O \ T с инверсией. О — группа вращения куба и правильного октаэдра .

Киральная октаэдрическая симметрия

Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
2-кратный	4-кратный	3-кратный	2-кратный

Полная

Oh _или , *432 , [4,3] или m3m порядка 48 – ахиральная октаэдрическая симметрия полная октаэдрическая симметрия . Эта группа имеет те же оси вращения, что и O, но с зеркальными плоскостями, содержащими обе зеркальные плоскости T _d и _Th . Эта группа изоморфна S ₄ .C ₂ и является полной группой симметрии куба и октаэдра . Это гипероктаэдрическая группа для n = 3 . См. также изометрии куба .

Соединение куба и октаэдра

Каждая грань додекаэдра Дисдиакиса представляет собой фундаментальную область.

Октаэдрическая группа Oh _с фундаментальной областью

С 4-кратными осями в качестве осей координат фундаментальная область O _h определяется формулой 0 ≤ x ≤ y ≤ z . Объект с этой симметрией характеризуется частью объекта в фундаментальной области, например, куб задается z = 1 , а октаэдр - x + y + z = 1 (или соответствующими неравенствами, чтобы получить твердое тело вместо поверхности). ax + by + cz = 1 дает многогранник с 48 гранями, например додекаэдр Дисдякиса.

Грани размером 8х8 объединяются в более крупные грани для a = b = 0 (куб) и 6х6 для a = b = c (октаэдр).

Девять зеркальных линий полной октаэдрической симметрии можно разделить на две подгруппы по 3 и 6 (нарисованы фиолетовым и красным), представляющие две ортогональные подсимметрии: D _2h и T _d . Симметрию D _2h можно удвоить до D _4h , восстановив два зеркала в одной из трех ориентаций.

showОктаэдрическая симметрия и отражающие подгруппы
Orthographic projection Stereographic projection 4-fold 3-fold 2-fold Oh, [4,3], , full octahedral symmetry (3+6 mirrors) Td, [3,3]=[1+,4,3], = , tetrahedral subgroup (6 mirrors) C3v, [3], , dihedral subgroup (3 mirrors)	Orthographic projection Stereographic projection 4-fold 3-fold 2-fold D4h, [4,2], dihedral subgroup (1+2+2 mirrors) D2h, [2,2]=[4,3*], = dihedral subgroup (1+1+1 mirrors) C4v, [4], , dihedral subgroup (2+2 mirrors)

Матрицы вращения

Возьмите набор всех матриц перестановок 3×3 и присвойте знак + или – каждой из трех единиц. Есть $3!=6$ перестановки и $2^{3}=8$ комбинации знаков всего для 48 матриц, дающих полную октаэдрическую группу. 24 из этих матриц имеют определитель +1; это матрицы вращения хиральной октаэдрической группы. Остальные 24 матрицы имеют определитель -1 и соответствуют отражению или инверсии.

Для октаэдрической симметрии необходимы три матрицы отражательного генератора, которые представляют собой три зеркала диаграммы Кокстера-Динкина . Продукт отражений создают 3 генератора вращения.

[4,3],

	Размышления			Ротации			Роторное отражение
Генераторы	р 0	Р 1	Р 2	Р 0 Р 1	Р 1 Р 2	Р 0 Р 2	Р 0 Р 1 Р 2
Группа
Заказ	2	2	2	4	3	2	6
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$

Подгруппы

ТО Т д Т ч Графы циклов подгрупп порядка 24

Подгруппы, упорядоченные на диаграмме Хассе

Вращательные подгруппы Светоотражающие подгруппы Подгруппы, содержащие инверсию

Обувь.	Коксетер		Орб.	ХМ	Структура	Цикл.	Заказ	Индекс
Ой ​	[4,3]		*432	м 3 м	S 4 ×S 2		48	1
Т д	[3,3]		*332	4 3м	С 4		24	2
Д 4 часа	[2,4]		*224	4/ммм	D 2 ×D 8		16	3
Д 2 часа	[2,2]		*222	М-м-м	DД2 3 =D 2 ×D 4		8	6
С 4В	[4]		*44	4 мм	Д 8		8	6
С 3В	[3]		*33	3m	Д 6 =С 3		6	8
С 2 в	[2]		*22	мм2	DД2 2 =Д 4		4	12
С с = С 1v	[ ]		*	2 или м	DД2		2	24
Т ч	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 ×S 2		24	2
С 4 часа	[4 + ,2]		4*	4/м	Z 4 ×D 2		8	6
Д 3д	[2 + ,6]		2*3	3 m	Д 12 =З 2 ×Д 6		12	4
Д 2д	[2 + ,4]		2*2	4 2 м	Д 8		8	6
С 2ч = Д 1д	[2 + ,2]		2*	2/м	Z 2 ×D 2		4	12
SS6	[2 + ,6 + ]		3×	3	Z 6 =Z 2 ×Z 3		6	8
С 4	[2 + ,4 + ]		2×	4	З 4		4	12
SS2	[2 + ,2 + ]		×	1	SS2		2	24
ТО	[4,3] +		432	432	С 4		24	2
Т	[3,3] +		332	23	A 4		12	4
Д 4	[2,4] +		224	422	Д 8		8	6
Д 3	[2,3] +		223	322	Д 6 =С 3		6	8
DД2	[2,2] +		222	222	Д 4 =З 2 2		4	12
С 4	[4] +		44	4	З 4		4	12
С 3	[3] +		33	3	Z3 = А3		3	16
С 2	[2] +		22	2	З 2		2	24
С 1	[ ] +		11	1	З 1		1	48

Октаэдрические подгруппы в обозначениях Коксетера

Изометрии куба

48 элементов симметрии куба.

Куб имеет 48 изометрий (элементов симметрии), образующих группу симметрии Oh _h , изоморфную S ₄ × Z ₂ . Их можно классифицировать следующим образом:

• O (тождество и 23 собственных вращения) со следующими классами сопряженности (в скобках указаны перестановки диагоналей тела и представление единичного кватерниона ):
  • личность (личность; 1)
  • поворот вокруг оси от центра грани к центру противоположной грани на угол 90°: 3 оси, по 2 на ось, вместе 6 ((1 2 3 4) и т. д.; ((1 ± i   ) / √ 2 и т. д.)
  • то же под углом 180°: 3 оси, по 1 на ось, вместе 3 ((1 2) (3 4) и т. д.; i , j , k )
  • поворот вокруг оси от центра ребра к центру противоположного ребра на угол 180°: 6 осей, по 1 на ось, вместе 6 ((1 2) и т. д.; (( i ± j   )/ √ 2 и т. д.)
  • вращение вокруг диагонали тела на угол 120°: 4 оси, по 2 на ось, вместе 8 ((1 2 3) и т. д.; (1 ± i ± j ± k )/2)
• То же самое с инверсией ( x отображается в − x ) (также 24 изометрии). Обратите внимание, что поворот на угол 180° вокруг оси в сочетании с инверсией — это всего лишь отражение в перпендикулярной плоскости. Комбинация инверсии и поворота вокруг диагонали тела на угол 120° есть поворот вокруг диагонали тела на угол 60°, совмещенный с отражением в перпендикулярной плоскости (сам поворот не отображает куб сам на себя; пересечение плоскости отражения кубом является правильный шестиугольник ).

Изометрию куба можно определить различными способами:

• гранями три заданных соседних грани (скажем, 1, 2 и 3 на кубике) отображаются на
• по изображению куба с несимметричной маркировкой на одной грани: грань с маркировкой, нормальная она или зеркальная, и ориентация
• перестановкой четырех диагоналей тела (возможна каждая из 24 перестановок), в сочетании с переключателем инверсии куба или нет

Для кубиков с цветами или маркировкой (например, игральных костей) группа симметрии является подгруппой _Oh .

Примеры:

• C _4v , [4], (*422): если одна грань имеет разный цвет (или две противоположные грани имеют цвета, отличающиеся друг от друга и от остальных четырех), куб имеет 8 изометрий, как квадрат в 2D.
• D _2h , [2,2], (*222): если противоположные грани имеют одинаковые цвета, разные для каждого набора из двух, куб имеет 8 изометрий, как кубоид .
• D _4h , [4,2], (*422): если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют один иной цвет, куб имеет 16 изометрий, как квадратная призма (квадратный ящик).
• С _2в , [2], (*22):
  • Если две соседние грани имеют один и тот же цвет, а все остальные грани имеют один иной цвет, то куб имеет 4 изометрии.
  • Если три грани, из которых две противоположные друг другу, имеют один цвет, а три другие — другого цвета, то куб имеет 4 изометрии.
  • если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а также две другие противоположные грани, причем две последние имеют разные цвета, то куб имеет 4 изометрии, как лист чистой бумаги с формой зеркальной симметрии.
• C _s , [ ], (*):
  • если две соседние грани имеют отличающийся друг от друга цвет, а остальные четыре имеют третий цвет, то куб имеет 2 изометрии.
  • если две противоположные грани имеют одинаковый цвет, а все остальные грани имеют разные цвета, куб имеет 2 изометрии, как асимметричный лист чистой бумаги.
• C _3v , [3], (*33): если три грани, из которых ни одна не противоположна друг другу, имеют один цвет, а три другие — другого цвета, то куб имеет 6 изометрий.

Для некоторых более крупных подгрупп невозможно построить куб с этой группой в качестве группы симметрии, просто раскрасив целые грани. На лицах нужно нарисовать какой-то узор.

Примеры:

• Д _2д , [2 ⁺ ,4], (2*2): если на одной грани имеется отрезок, разделяющий грань на два равных прямоугольника, а на противоположной — то же самое в перпендикулярном направлении, то куб имеет 8 изометрий; существует плоскость симметрии и 2-кратной вращательной симметрии с осью, расположенной под углом 45° к этой плоскости, и, как следствие, существует еще одна плоскость симметрии, перпендикулярная первой, и еще одна ось 2-кратной вращательной симметрии. перпендикулярно первому.
• Т _ч , [3 ⁺ ,4], (3*2): если каждая грань имеет отрезок, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки соседних граней не пересекаются на краю, куб имеет 24 изометрии: четные перестановки диагонали тела и то же самое в сочетании с инверсией ( x отображается в − x ).
• T _d , [3,3], (*332): если куб состоит из восьми кубиков меньшего размера, четырех белых и четырех черных, сложенных поочередно во всех трех стандартных направлениях, куб снова имеет 24 изометрии: на этот раз четные перестановки диагоналей тела и инверсий других собственных вращений.
• Т, [3,3] ⁺ , (332): если каждая грань имеет одинаковый узор с 2-кратной вращательной симметрией, скажем, букву S, такую, что на всех ребрах вершина одной S пересекается со стороной другой S, куб имеет 12 изометрий: четная перестановки диагоналей тела.

Полная симметрия куба Oh _, [4,3], (*432) сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый рисунок, так что полная симметрия квадрата сохраняется , причем для квадрата сохраняется симметрия группа Dih ₄ , [4] порядка 8.

Полная симметрия куба при собственных вращениях, O, [4,3] ⁺ , (432), сохраняется тогда и только тогда, когда все грани имеют одинаковый рисунок с 4-кратной вращательной симметрией , Z ₄ , [4] ⁺ .

поверхности

В римановой поверхности теории поверхность Больца , иногда называемая кривой Больца, получается как разветвленное двойное покрытие сферы Римана с локусом ветвления в множестве вершин правильного вписанного октаэдра. В его группу автоморфизмов входит гиперэллиптическая инволюция, переворачивающая два листа обложки. Фактор по подгруппе порядка 2, порожденной гиперэллиптической инволюцией, дает в точности группу симметрий октаэдра. Среди многих замечательных свойств поверхности Больца является тот факт, что она максимизирует систолу среди всех гиперболических поверхностей рода 2.

тела с октаэдрической

Сорт	Имя	Картина	Лица	Края	Вершины	Двойное имя	Картина
Архимедово тело ( каталонский твердый )	курносый куб		38	60	24	пятиугольный икоситетраэдр

тела с полной

Сорт	Имя	Картина	Лица	Края	Вершины	Двойное имя	Картина
Платоново твердое тело	Куб		6	12	8	Октаэдр
Архимедово тело (двойное каталонское твердое тело )	Кубооктаэдр		14	24	12	Ромбический додекаэдр
	Усеченный куб		14	36	24	Октаэдр Триакиса
	Усеченный октаэдр		14	36	24	Тетракис шестигранник
	Ромбокубооктаэдр		26	48	24	Дельтоидный икоситетраэдр
	Усеченный кубооктаэдр		26	72	48	Додекаэдр Дисдякиса
Обычный сложный многогранник	Звездчатый октаэдр		8	12	8	Самодвойственный
	Куб и октаэдр		14	24	14	Самодвойственный

См. также

• Тетраэдрическая симметрия
• Икосаэдрическая симметрия
• Бинарная октаэдрическая группа
• Гипероктаэдрическая группа
• Учебные материалы, связанные с полной октаэдрической группой , в Викиверситете

Ссылки

• Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), с. 295
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN   978-1-56881-220-5
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
• Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Октаэдрическая группа» . Математический мир .
• Groupprops: Прямой продукт S4 и Z2.