Обозначение Кокстера

Основные области отражающих трехмерных точечных групп

, [ ] = [1] С 1В	, [2] С 2В	, [3] С 3В	, [4] С 4 дюйма	, [5] С 5В	, [6] С 6в
Заказ 2	Заказ 4	Заказ 6	Заказать 8	Заказать 10	Заказ 12
[2] = [2,1] Д 1 час	[2,2] Д 2 часа	[2,3] Д 3 часа	[2,4] Д 4 часа	[2,5] Д 5ч	[2,6] Д 6ч
Заказ 4	Заказать 8	Заказ 12	Заказ 16	Заказать 20	Заказ 24
, [3,3], Т д		, [4,3], О ч		, [5,3], I h
Заказ 24		Заказ 48		Заказать 120
Нотация Кокстера выражает группы Кокстера как список порядков ветвления диаграммы Кокстера , подобно многогранным группам . = [р, q] . Диэдральные группы , , может быть выражено как произведение [ ]×[ n ] или в виде одного символа с явной ветвью порядка 2, [2, n ] .

В геометрии ( нотация Кокстера также символ Кокстера ) — это система классификации групп симметрии , описывающая углы между фундаментальными отражениями группы Кокстера в скобках, выражающих структуру диаграммы Кокстера-Дынкина , с модификаторами для обозначения определенных подгрупп. Обозначение названо в честь HSM Coxeter и было более полно определено Норманом Джонсоном .

Рефлексивные группы

Дополнительная информация: Группа точек.

Для групп Кокстера , определяемых чистыми отражениями, существует прямое соответствие между обозначением скобок и диаграммой Кокстера-Дынкина . Числа в скобках обозначают порядки зеркального отражения в ветвях диаграммы Кокстера. Он использует то же упрощение, подавляя 2 с между ортогональными зеркалами.

Обозначение Коксетера упрощено за счет экспонент, чтобы представить количество ветвей подряд для линейной диаграммы. Таким образом, An _группа представлена ​​[3 ^{п -1} ], подразумевая n узлов, соединенных n−1 ветвями порядка 3. Пример А ₂ = [3,3] = [3 ² ] или [3 ^1,1 ] представляет диаграммы или .

Первоначально Коксетер представлял раздвоенные диаграммы с вертикальным расположением чисел, но позже был сокращен до обозначения степени, например [...,3 ^{п, д} ] или [3 ^{п, д, р} ], начиная с [3 ^1,1,1 ] или [3,3 ^1,1 ] = или как Д ₄ . соответствующие семейству An _{Коксетер допустил нули как особые случаи ,} , например A ₃ = [3,3,3,3] = [3 ^4,0,0 ] = [3 ^4,0 ] = [3 ^3,1 ] = [3 ^2,2 ], нравиться = = .

Группы Кокстера, образованные циклическими диаграммами, обозначаются круглыми скобками внутри скобок, например [(p,q,r)] = для группы треугольников (pqr). Если порядки ветвей равны, их можно сгруппировать в виде показателя степени длины цикла в скобках, например [(3,3,3,3)] = [3 ^[4] ], представляющий диаграмму Кокстера или . можно представить как [3,(3,3,3)] или [3,3 ^[3] ].

Более сложные циклические диаграммы также можно выражать с осторожностью. Паракомпактная группа Коксетера может быть представлено нотацией Коксетера [(3,3,(3),3,3)] с вложенными/перекрывающимися круглыми скобками, показывающими два соседних цикла [(3,3,3)], а также более компактно представлено как [3 ^[ ]×[ ] ], представляющий ромбическую симметрию диаграммы Кокстера. Паракомпактная полная граф-диаграмма или , представляется как [3 ^[3,3] ] с верхним индексом [3,3] как симметрия его диаграммы Кокстера правильного тетраэдра .

Конечные группы Классифицировать Группа символ Скобка обозначение Коксетер диаграмма 2 AА2 [3] 2 BБ2 [4] 2 HH2 [5] 2 Г 2 [6] 2 я 2 ( п ) [п] 3 Я ч , Ч 3 [5,3] 3 Т д , А 3 [3,3] 3 Ох ​ , Б 3 [4,3] 4 A 4 [3,3,3] 4 Б 4 [4,3,3] 4 Д 4 [3 1,1,1 ] 4 FF4 [3,4,3] 4 Ч 4 [5,3,3] н н ​ [3 п -1 ] .. н Б н [4,3 п -2 ] ... н Д н [3 n−3,1,1 ] ... 6 EЕ6 [3 2,2,1 ] 7 E 7 [3 3,2,1 ] 8 E8 [3 4,2,1 ]

Аффинные группы Группа символ Скобка обозначение Диаграмма Кокстера ${\tilde {I}}_{1},{\tilde {A}}_{1}$ [∞] ${\tilde {A}}_{2}$ [3 [3] ] ${\tilde {C}}_{2}$ [4,4] ${\tilde {G}}_{2}$ [6,3] ${\tilde {A}}_{3}$ [3 [4] ] ${\tilde {B}}_{3}$ [4,3 1,1 ] ${\tilde {C}}_{3}$ [4,3,4] ${\tilde {A}}_{4}$ [3 [5] ] ${\tilde {B}}_{4}$ [4,3,3 1,1 ] ${\tilde {C}}_{4}$ [4,3,3,4] ${\tilde {D}}_{4}$ [ 3 1,1,1,1 ] ${\tilde {F}}_{4}$ [3,4,3,3] ${\tilde {A}}_{n}$ [3 [н+1] ] ... или ... ${\tilde {B}}_{n}$ [4,3 n−3 ,3 1,1 ] ... ${\tilde {C}}_{n}$ [4,3 n−2 ,4] ... ${\tilde {D}}_{n}$ [ 3 1,1 ,3 n−4 ,3 1,1 ] ... ${\tilde {E}}_{6}$ [3 2,2,2 ] ${\tilde {E}}_{7}$ [3 3,3,1 ] ${\tilde {E}}_{8}=E_{9}$ [3 5,2,1 ]

Гиперболические группы Группа символ Скобка обозначение Коксетер диаграмма [п, д] где 2(p + q) <pq [(p,q,r)] с ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1$ ${\overline {BH}}_{3}$ [4,3,5] ${\overline {K}}_{3}$ [5,3,5] ${\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}$ [3,5,3] ${\overline {DH}}_{3}$ [5,3 1,1 ] ${\widehat {AB}}_{3}$ [(3,3,3,4)]   ${\widehat {AH}}_{3}$ [(3,3,3,5)]   ${\widehat {BB}}_{3}$ [(3,4,3,4)] ${\widehat {BH}}_{3}$ [(3,4,3,5)] ${\widehat {HH}}_{3}$ [(3,5,3,5)] ${\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}$ [3,3,3,5] ${\overline {BH}}_{4}$ [4,3,3,5] ${\overline {K}}_{4}$ [5,3,3,5] ${\overline {DH}}_{4}$ [5,3,3 1,1 ] ${\widehat {AF}}_{4}$ [(3,3,3,3,4)]

Для аффинных и гиперболических групп индекс в каждом случае на единицу меньше числа узлов, поскольку каждая из этих групп получена добавлением узла к диаграмме конечной группы.

Несвязанные группы

Диаграмма Кокстера обычно оставляет ветви порядка 2 нерисованными, но в скобках присутствует явная цифра 2 для соединения подграфов. Итак, диаграмма Кокстера = A ₂ × A ₂ = 2 A ₂ можно представить как [3]×[3] = [3] ² = [3,2,3]. Иногда явные 2-ветви могут быть включены либо с меткой 2, либо со строкой с пробелом: или , как представление, идентичное [3,2,3].

Ранг и размерность

Ранг группы точек Кокстера равен количеству узлов, которое также равно размерности. Единственное зеркало существует в одномерном измерении, [ ], , а в двумерном измерении [1] или [ ]×[ ] ⁺ . 1 — это заполнитель, а не фактический порядок ветвления, а маркер ортогонального неактивного зеркала. Обозначение [ n ,1] представляет группу ранга 3, как [ n ]×[ ] ⁺ или . Аналогично, [1,1] как [ ]×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ или порядок 2 и [1,1] ⁺ как [ ] ⁺ ×[ ] ⁺ ×[ ] ⁺ или , заказывайте 1!

Подгруппы

Обозначения Коксетера представляют вращательную/поступательную симметрию путем добавления ⁺ надстрочный оператор вне скобок, [X] ⁺ который сокращает порядок группы [X] пополам, образуя подгруппу индекса 2. Этот оператор подразумевает, что необходимо применить четное количество операторов, заменяя отражения поворотами (или перемещениями). Применительно к группе Кокстера это называется прямой подгруппой , потому что остаются только прямые изометрии без отражательной симметрии.

The ⁺ операторы также можно применять внутри скобок, например [X,Y ⁺ ] или [X,(Y,Z) ⁺ ], и создает «полупрямые» подгруппы , которые могут включать как отражающие, так и неотражающие генераторы. Полупрямые подгруппы могут применяться только к подгруппам группы Кокстера, которые имеют смежные с ней ветви четного порядка. Элементам в круглых скобках внутри группы Кокстера можно присвоить ⁺ Оператор надстрочного индекса, имеющий эффект деления соседних упорядоченных ветвей на половинный порядок, поэтому обычно применяется только с четными числами. Например, [4,3 ⁺ ] и [4,(3,3) ⁺ ] ( ).

Если применяется с соседней нечетной ветвью, он не создает подгруппу с индексом 2, а вместо этого создает перекрывающиеся фундаментальные области, например [5,1 ⁺ ] = [5/2], который может определять полигоны с двойной оберткой, такие как пентаграмма , {5/2} и [5,3 ⁺ ] относится к треугольнику Шварца [5/2,3], плотность 2.

Примеры для групп 2-го ранга

Группа		Заказ	Генераторы	Подгруппа		Заказ	Генераторы	Примечания
[ п ]		2 р	{0,1}	[ п ] +		п	{01}	Прямая подгруппа
[2 р. + ] = [2 п ] +		2 р	{01}	[2 р. + ] + = [2 п ] +2 = [ п ] +		п	{0101}
[2 р ]		4 р.	{0,1}	[1 + ,2 п ] = [ п ]	= =	2 р	{101,1}	Половина подгрупп
				[2 р , 1 + ] = [ п ]	= =		{0,010}
				[1 + ,2 п ,1 + ] = [2 п ] +2 = [ п ] +	= =	п	{0101}	Четвертная группа

Группы без соседних ⁺ элементы можно увидеть в кольцевых узлах. Диаграмма Кокстера-Динкина для однородных многогранников и сот связана с дырочными узлами вокруг ⁺ элементы, пустые кружки с удаленными чередующимися узлами. Итак, курносый кубик , имеет симметрию [4,3] ⁺ ( ) и курносый тетраэдр , имеет симметрию [4,3 ⁺ ] ( ) и полукуб , h{4,3} = {3,3} ( или = ) обладает симметрией [1 ⁺ ,4,3] = [3,3] ( или = = ).

Примечание: пиритоэдрическая симметрия. можно записать как , отделив график пробелами для наглядности, с генераторами {0,1,2} из группы Кокстера , производя пиритоэдрические генераторы {0,12}, отражение и 3-кратное вращение. А киральную тетраэдральную симметрию можно записать как или , [1 ⁺ ,4,3 ⁺ ] = [3,3] ⁺ , с генераторами {12,0120}.

Уполовинивание подгрупп и расширенных групп

Дополнительная информация: § Расширенная_симметрия.

Пример операции пополам

[ 1 ,4, 1 ] = [4]	= = [1 + ,4, 1 ]=[2]=[ ]×[ ]
= = [ 1 ,4,1 + ]=[2]=[ ]×[ ]	= = = [1 + ,4,1 + ] = [2] +

Джонсон продлевает ⁺ оператор для работы с заполнителем 1 ⁺ узлов, что удаляет зеркала, удваивает размер фундаментального домена и сокращает порядок групп вдвое. В общем случае эта операция применима только к отдельным зеркалам, ограниченным ветвями четного порядка. Цифра 1 представляет собой зеркало, поэтому [2p] можно рассматривать как [2p, 1 ], [ 1,2p ] или [ 1,2p , 1 ], как на диаграмме. или , с двумя зеркалами, связанными двугранным углом порядка 2p. Эффект от удаления зеркала заключается в дублировании соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера: = , или в скобках:[1 ⁺ ,2p, 1 ] = [ 1 ,p, 1 ] = [p].

Каждое из этих зеркал можно убрать, так что h[2p] = [1 ⁺ ,2p,1] = [1,2p,1 ⁺ ] = [p], индекс отражающей подгруппы 2. Это можно показать на диаграмме Кокстера, добавив ⁺ символ над узлом: = = .

Если оба зеркала удалены, генерируется четверть подгруппы, при этом порядок ветвления становится точкой вращения половины порядка:

q[2p] = [1 ⁺ ,2п,1 ⁺ ] = [п] ⁺ , вращательная подгруппа индекса 4. = = = = .

Например, (при p=2): [4,1 ⁺ ] = [1 ⁺ ,4] = [2] = [ ]×[ ], порядок 4. [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] = [2] ⁺ , заказ 2.

Противоположностью халвингу является удвоение. который добавляет зеркало, делит фундаментальную область пополам и удваивает порядок группы.

[[п]] = [2п]

Операции разделения пополам применяются для групп более высокого ранга, например, тетраэдрическая симметрия представляет собой полугруппу октаэдрической группы : h[4,3] = [1 ⁺ ,4,3] = [3,3], удаляя половину зеркал на 4-ветви. Эффект от удаления зеркала заключается в дублировании всех соединительных узлов, что можно увидеть на диаграммах Кокстера: = , h[2p,3] = [1 ⁺ ,2p,3] = [(p,3,3)].

Если узлы проиндексированы, полуподгруппы можно пометить новыми зеркалами как составные. Нравиться , генераторы {0,1} имеют подгруппу = , генераторы {1,010}, где зеркало 0 удалено и заменено копией зеркала 1, отраженной от зеркала 0. Также дано , генераторы {0,1,2}, имеет полугруппу = , генераторы {1,2,010}.

Удвоение путем добавления зеркала также применяется при обращении операции деления пополам: [[3,3]] = [4,3] или, в более общем смысле, [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Тетраэдрическая симметрия	Октаэдрическая симметрия
Т д , [3,3] = [1 + ,4,3] = = (Заказ 24)	О час , [4,3] = [[3,3]] (Приказ 48)

Радикальные подгруппы

Радикальная подгруппа аналогична чередованию, но удаляет образующие вращения.

Джонсон также добавил звездочку или звездочку * для «радикальных» подгрупп. который действует аналогично ⁺ оператор, но удаляет вращательную симметрию. Индекс радикальной подгруппы — это порядок удаленного элемента. Например, [4,3*] ≅ ​​[2,2]. Удаленная подгруппа [3] имеет порядок 6, поэтому [2,2] является подгруппой индекса 6 в [4,3].

Радикальные подгруппы представляют собой операцию, обратную расширенной операции симметрии . Например, [4,3*] ≅ ​​[2,2] и наоборот [2,2] можно расширить как [3[2,2]] ≅ [4,3]. Подгруппы можно выразить в виде диаграммы Кокстера: или ≅ . Удаление узла (зеркала) приводит к тому, что соседние виртуальные зеркала становятся настоящими зеркалами.

Если [4,3] имеет генераторы {0,1,2}, [4,3 ⁺ ], индекс 2, имеет генераторы {0,12}; [1 ⁺ ,4,3] ≅ [3,3], индекс 2 имеет образующие {010,1,2}; а радикальная подгруппа [4,3*] ≅ ​​[2,2], индекс 6, имеет образующие {01210, 2, (012) ³ }; и наконец [1 ⁺ ,4,3*], индекс 12 имеет генераторы {0(12) ² 0, (012) ² 01}.

Trionic

Пример ранга 2, [6] трионные подгруппы с 3 цветами зеркальных линий.

Пример октаэдрической симметрии: [4,3 ^⅄ ] = [2,4].

Пример трионной подгруппы гексагональной симметрии [6,3] отображается на более крупную симметрию [6,3].

3-й ранг

Примеры трионных подгрупп октагональной симметрии [8,3] отображаются на более крупные [4,8] симметрии.

Ранг 4

Трионическая подгруппа - это подгруппа индекса 3. Джонсон определяет трионную подгруппу с оператором ⅄, индекс 3. Для групп Кокстера ранга 2, [3], трионическая подгруппа, [3 ^⅄ ] — [ ], одно зеркало. А для [3 p ] трионной подгруппой является [3 p ] ^⅄ ≅ [ п ]. Данный , с генераторами {0,1}, имеет 3 трионные подгруппы. Их можно отличить, поставив символ ⅄ рядом с генератором зеркал, который нужно удалить, или на ветке для обоих: [3 p ,1 ^⅄ ] = = , = , и [3 п ^⅄ ] = = с генераторами {0,10101}, {01010,1} или {101,010}.

Трионные подгруппы тетраэдрической симметрии : [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4], связывающий симметрию правильного тетраэдра и тетрагонального дисфеноида .

Для групп Кокстера ранга 3, [ p ,3], существует трионическая подгруппа [ p ,3 ^⅄ ] ≅ [ p /2, p ] или = . Например, конечная группа [4,3 ^⅄ ] ≅ [2,4] и евклидова группа [6,3 ^⅄ ] ≅ [3,6] и гиперболическая группа [8,3 ^⅄ ] ≅ [4,8].

Смежная ветвь нечетного порядка p не понизит порядок группы, но создаст перекрывающиеся фундаментальные области. Порядок групп остается прежним, а плотность увеличивается. Например, икосаэдрическая симметрия правильных многогранников , [5,3], икосаэдра становится [5/2,5], симметрией двух правильных звездчатых многогранников. Он также связывает гиперболические мозаики {p,3} и звездчатые гиперболические мозаики {p/2,p}.

Для ранга 4 [ q ,2 p ,3 ^⅄ ] = [2 p ,((p,q,q))], = .

Например, [3,4,3 ^⅄ ] = [4,3,3] или = , генераторы {0,1,2,3} в [3,4,3] с генераторами трионной подгруппы [4,3,3] {0,1,2,32123}. Для гиперболических групп [3,6,3 ^⅄ ] = [6,3 ^[3] ] и [4,4,3 ^⅄ ] = [4,4,4].

тетраэдрической

[3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4] как один из 3 наборов из 2 ортогональных зеркал в стереографической проекции . Красный, зеленый и синий представляют собой три набора зеркал, а серые линии представляют собой удаленные зеркала, оставляя двойное вращение (фиолетовые ромбы).

Трионные отношения [3,3]

Джонсон выделил две конкретные трионические подгруппы. из [3,3], сначала подгруппа индекса 3 [3,3] ^⅄ ≅ [2 ⁺ ,4], с [3,3] ( = = ) генераторы {0,1,2}. Это также можно записать как [(3,3,2 ^⅄ )] ( ) как напоминание о его генераторах {02,1}. Это снижение симметрии представляет собой взаимосвязь между правильным тетраэдром и тетрагональным дисфеноидом , представляющую собой растяжение тетраэдра, перпендикулярное двум противоположным ребрам.

Во-вторых, он идентифицирует родственную подгруппу индекса 6 [3,3] ^Д или [(3,3,2 ^⅄ )] ⁺ ( ), индекс 3 из [3,3] ⁺ ≅ [2,2] ⁺ , с генераторами {02,1021} из [3,3] и его генераторами {0,1,2}.

Эти подгруппы также применяются в более крупных группах Кокстера с подгруппой [3,3] с соседними ветвями четного порядка.

Отношения трионных подгрупп из [3,3,4]

Например, [(3,3) ⁺ ,4], [(3,3) ^⅄ ,4] и [(3,3) ^Д ,4] — подгруппы из [3,3,4], индекс 2, 3 и 6 соответственно. Генераторы [(3,3) ^⅄ ,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2 ⁺ ,8], порядка 128, являются {02,1,3} из [3,3,4] генераторов {0,1,2,3}. И [(3,3) ^Д ,4] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]], порядка 64, имеет образующие {02,1021,3}. Кроме того, [3 ^⅄ ,4,3 ^⅄ ] ≅ [(3,3) ^⅄ ,4].

Также связано [3 ^1,1,1 ] = [3,3,4,1 ⁺ ] имеет трионные подгруппы: [3 ^1,1,1 ] ^⅄ = [(3,3) ^⅄ ,4,1 ⁺ ], порядок 64 и 1=[3 ^1,1,1 ] ^Д = [(3,3) ^Д ,4,1 ⁺ ] ≅ [[4,2 ⁺ ,4]] ⁺ , заказ 32.

Центральная инверсия

Центральная 2D-инверсия — это поворот на 180 градусов [2]. ⁺

Центральная инверсия , порядок 2, работает по-разному в зависимости от размера. Группа [ ] ^н = [2 ^{п -1} ] представляет n ортогональных зеркал в n-мерном пространстве или n-плоское подпространство пространства более высокой размерности. Зеркала группы [2 ^{п -1} ] пронумерованы $0\dots n-1$. В случае инверсии порядок зеркал не имеет значения. Матрица центральной инверсии: $-I$, идентичная матрица с отрицательной единицей на диагонали.

Исходя из этого, центральная инверсия имеет генератор как произведение всех ортогональных зеркал. В обозначениях Кокстера эта группа инверсий выражается добавлением чередования ⁺ на каждую 2 ветку. Альтернационная симметрия отмечена на узлах диаграммы Кокстера как открытые узлы.

Диаграмма Кокстера -Динкина может быть размечена двумя явными ветвями, определяющими линейную последовательность зеркал, открытых узлов и общих двойных открытых узлов, чтобы показать цепочку генераторов отражений.

Например, [2 ⁺ ,2] и [2,2 ⁺ ] — подгруппы индекса 2 из [2,2], , и представлены как (или ) и (или ) с генераторами {01,2} и {0,12} соответственно. Их общий индекс подгруппы 4 равен [2 ⁺ ,2 ⁺ ] и представлен (или ), с двойным открытием маркировка общего узла в двух чередованиях и одного роторно-отражательного генератора {012}.

Измерение	Обозначение Кокстера	Заказ	Диаграмма Кокстера	Операция	Генератор
2	[2] +	2		на 180° Вращение , C 2	{01}
3	[2 + ,2 + ]	2		роторное отражение , C i или S 2	{012}
4	[2 + ,2 + ,2 + ]	2		двойное вращение	{0123}
5	[2 + ,2 + ,2 + ,2 + ]	2		двойное вращающееся отражение	{01234}
6	[2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ]	2		тройное вращение	{012345}
7	[2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ]	2		тройное вращающееся отражение	{0123456}

Вращения и вращательные отражения

Вращения и вращательные отражения строятся с помощью одного одногенераторного произведения всех отражений призматической группы, [2 p ]×[2 q ]×... где НОД ( p , q ,...)=1, они изоморфны абстрактной циклической группе порядка _Zn n = 2 pq .

4-мерные двойные вращения, [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 кв ⁺ ] (с НОД ( p , q )=1), которые включают центральную группу и выражаются Конвеем как ±[C _p ×C _q ], заказывайте 2 шт . Из диаграммы Кокстера , генераторы {0,1,2,3}, требуется два генератора для [2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 кв ⁺ ], как {0123,0132}. Полугруппы, [2 шт. ⁺ ,2 ⁺ ,2 кв ⁺ ] ⁺ , или циклический граф, [(2 p ⁺ ,2 ⁺ ,2 кв ⁺ ,2 ⁺ )], выраженный Конвеем, равен [C _p ×C _q ], порядок pq , с одним генератором, например {0123}.

Если существует общий множитель f , двойное вращение можно записать как 1 ⁄ f [2 пф ⁺ ,2 ⁺ ,2 кв.ф. ⁺ ] (с НОД ( p , q )=1), генераторы {0123,0132}, порядок 2 pqf . Например, p = q =1, f =2, 1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] — порядок 4. И 1 ⁄ f [2 пф ⁺ ,2 ⁺ ,2 кв.ф. ⁺ ] ⁺ , генератор {0123}, имеет порядок pqf . Например, 1 ⁄ 2 [4 ⁺ ,2 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ это порядок 2, центральная инверсия .

В общем случае группа n -вращений, [2 p ₁ ⁺ ,2,2 п ₂ ⁺ ,2,..., п _н ⁺ ] может потребоваться до n генераторов, если gcd( p ₁ ,.., p _n )>1, как произведение всех зеркал, а затем замена последовательных пар. Полугруппа, [2 p ₁ ⁺ ,2,2 п ₂ ⁺ ,2,..., п _н ⁺ ] ⁺ имеет генераторы в квадрате. n -вращательные отражения аналогичны.

Примеры

Измерение	Обозначение Кокстера	Заказ	Диаграмма Кокстера	Операция	Генераторы	Прямая подгруппа
2	[2 р ] +	2 р		Вращение	{01}	[2 р ] +2 = [ п ] +	Простое вращение: [2 р ] +2 = [ п ] + заказать п
3	[2 р. + ,2 + ]			вращающееся отражение	{012}	[2 р. + ,2 + ] + = [ п ] +
4	[2 р. + ,2 + ,2 + ]			двойное вращение	{0123}	[2 р. + ,2 + ,2 + ] + = [ п ] +
5	[2 р. + ,2 + ,2 + ,2 + ]			двойное вращающееся отражение	{01234}	[2 р. + ,2 + ,2 + ,2 + ] + = [ п ] +
6	[2 р. + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ]			тройное вращение	{012345}	[2 р. + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] + = [ п ] +
7	[2 р. + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ]			тройное вращающееся отражение	{0123456}	[2 р. + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ,2 + ] + = [ п ] +
4	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ]	2 шт.		двойное вращение	{0123, 0132}	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ] +	Двойное вращение: [2 р. + ,2 + ,2 кв + ] + заказа порядок
5	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ]			двойное вращающееся отражение	{01234, 01243}	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ] +
6	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 + ]			тройное вращение	{012345, 012354, 013245}	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 + ] +
7	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 + ,2 + ]			тройное вращающееся отражение	{0123456, 0123465, 0124356, 0124356}	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 + ,2 + ] +
6	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 р + ]	2 человека		тройное вращение	{012345, 012354, 013245}	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 р + ] +	Тройное вращение: [2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 р + ] + заказать заказ
7	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 р + ,2 + ]			тройное вращающееся отражение	{0123456, 0123465, 0124356, 0213456}	[2 р. + ,2 + ,2 кв + ,2 + ,2 р + ,2 + ] +

Подгруппы коммутаторов

Подгруппы диаграммы Хассе из [4,4] вплоть до коммутанта, индекс 8

Простые группы только с элементами ветвления нечетного порядка имеют только одну вращательную/трансляционную подгруппу порядка 2, которая также является подгруппой-коммутатором , примеры [3,3] ⁺ , [3,5] ⁺ , [3,3,3] ⁺ , [3,3,5] ⁺ . Для других групп Кокстера с ветвями четного порядка подгруппа коммутатора имеет индекс 2. ^с , где c — количество несвязных подграфов при удалении всех ветвей четного порядка.

Например, [4,4] имеет три независимых узла на диаграмме Коксетера, когда 4 удалены, поэтому его подгруппа коммутатора имеет индекс 2. ³ , и могут иметь разные представления, все с тремя ⁺ операторы: [4 ⁺ ,4 ⁺ ] ⁺ , [1 ⁺ ,4,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ], [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ] ⁺ , или [(4 ⁺ ,4 ⁺ ,2 ⁺ )]. Общие обозначения могут использоваться с + c в качестве показателя группы, например [4,4] ⁺³ .

Примеры подгрупп

Примеры подгрупп ранга 2

Группы диэдральной симметрии четных порядков имеют ряд подгрупп. В этом примере показаны два зеркала генератора из [4] красным и зеленым цветом, и все подгруппы рассматриваются путем халфинга, понижения ранга и их прямых подгрупп. Группа [4], имеет два генератора зеркал 0 и 1. Каждый генерирует два виртуальных зеркала 101 и 010 путем отражения друг от друга.

показывать Подгруппы [4]
Index	1	2 (half)		4 (Rank-reduction)
Diagram
Coxeter	[1,4,1] = [4]	= = [1+,4,1] = [1+,4] = [2]	= = [1,4,1+] = [4,1+] = [2]	[2,1+] = [1] = [ ]	[1+,2] = [1] = [ ]
Generators	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
Direct subgroups
Index	2	4		8
Diagram
Coxeter	[4]+	= = = [4]+2 = [1+,4,1+] = [2]+		[ ]+
Generators	{01}	{(01)2}		{02} = {12} = {(01)4} = { }

Подгруппы евклидовых примеров ранга 3

Группа [4,4] имеет 15 малых индексных подгрупп. В этой таблице показаны все они, с желтым фундаментальным доменом для чисто отражающих групп и чередующимися белыми и синими доменами, которые объединяются в пары, образуя вращательные домены. Голубая, красная и зеленая зеркальные линии соответствуют узлам одного цвета на диаграмме Коксетера. Генераторы подгрупп могут быть выражены как произведения исходных трех зеркал фундаментальной области {0,1,2}, соответствующих трем узлам диаграммы Кокстера: . Произведение двух пересекающихся линий отражения совершает поворот, например {012}, {12} или {02}. Удаление зеркала приводит к созданию двух копий соседних зеркал на удаленном зеркале, например {010} и {212}. Два последовательных вращения сокращают порядок вращения вдвое, например {0101} или {(01) ² }, {1212} или {(02) ² }. Произведение всех трех зеркал создает просветление , например {012} или {120}.

показывать Малые индексные подгруппы из [4,4]
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[1,4,1,4,1] = [4,4]	[1+,4,4] =	[4,4,1+] =	[4,1+,4] =	[1+,4,4,1+] =	[4+,4+]
Generators	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)2,(12)2,012,120}
Orbifold	*442			*2222		22×
Semidirect subgroups
Index		2			4
Diagram
Coxeter		[4,4+]	[4+,4]	[(4,4,2+)] =	[4,1+,4,1+] = =	[1+,4,1+,4] = =
Generators		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)2}	{(01)2,121,2}
Orbifold		4*2		2*22
Direct subgroups
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[4,4]+ =	[4,4+]+ =	[4+,4]+ =	[(4,4,2+)]+ =	[4,4]+3 = [(4+,4+,2+)] = [1+,4,1+,4,1+] = [4+,4+]+ = = = =
Generators	{01,12}	{(01)2,12}	{01,(12)2}	{02,(01)2,(12)2}	{(01)2,(12)2,2(01)22}
Orbifold	442			2222
Radical subgroups
Index		8		16
Diagram
Coxeter		[4,4*] =	[4*,4] =	[4,4*]+ =	[4*,4]+ =
Orbifold		*2222		2222

Гиперболические примеры подгрупп

Один и тот же набор из 15 малых подгрупп существует во всех треугольных группах с элементами четного порядка, как [6,4] в гиперболической плоскости:

показывать Малые индексные подгруппы из [6,4]
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[1,6,1,4,1] = [6,4]	[1+,6,4] =	[6,4,1+] =	[6,1+,4] =	[1+,6,4,1+] =	[6+,4+]
Generators	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)2,(12)2,012}
Orbifold	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Semidirect subgroups
Diagram
Coxeter		[6,4+]	[6+,4]	[(6,4,2+)]	[6,1+,4,1+] = = = =	[1+,6,1+,4] = = = =
Generators		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)2}	{(01)2,121,2}
Orbifold		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Direct subgroups
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[6,4]+ =	[6,4+]+ =	[6+,4]+ =	[(6,4,2+)]+ =	[6+,4+]+ = [1+,6,1+,4,1+] = = =
Generators	{01,12}	{(01)2,12}	{01,(12)2}	{02,(01)2,(12)2}	{(01)2,(12)2,201012}
Orbifold	642	443	662	3222	3232
Radical subgroups
Index		8	12	16	24
Diagram
Generators		{0,101,21012,1210121}	{2,121,101020101,0102010, 010101020101010, 10101010201010101}
Coxeter (orbifold)		[6,4*] = (*3333)	[6*,4] (*222222)	[6,4*]+ = (3333)	[6*,4]+ (222222)

Параболические подгруппы

Параболическую подгруппу группы Кокстера можно определить, удалив одно или несколько образующих зеркал, представленных диаграммой Кокстера. Например, октаэдрическая группа имеет параболические подгруппы , , , , , . В скобках [4,3] имеет параболические подгруппы [4],[2],[3] и одно зеркало []. Порядок подгруппы известен, и всегда это порядок группы целочисленных делителей или индекс. Параболические подгруппы также можно записать с помощью узлов x, например =[4,3] подгруппу, удалив второе зеркало: или = = [4,1 ^× ,3] = [2].

Подгруппа Петри

Подгруппа Петри неприводимой группы Кокстера может быть создана произведением всех образующих. Это можно увидеть на скошенном правильном многоугольнике Петри многогранника правильного . Порядок новой группы называется числом Кокстера исходной группы Кокстера. Число Кокстера группы Кокстера равно 2 m / n , где n — ранг, а m — количество отражений. Подгруппу Петри можно записать с помощью верхнего индекса π . Например, [3,3] ^Пи — подгруппа Петри тетраэдрической группы, циклическая группа порядка 4, порожденная роторным отражением . Группа Кокстера 4-го ранга будет иметь генератор двойного вращения , например [4,3,3] ^Пи это порядок 8.

симметрия

Обои группа Треугольник симметрия Расширенный симметрия Расширенный диаграмма Расширенный группа Соты p3m1 (*333) а1 [3 [3] ] ${\tilde {A}}_{2}$ (никто) п6м (*632) я2 [[3 [3] ]] ↔ [6,3] ↔ ${\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$ 1 , 2 п31м (3*3) g3 [3 + [3 [3] ]] ↔ [6,3 + ] ↔ ${\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$ (никто) п6 (632) р6 [3[3 [3] ]] + ↔ [6,3] + ↔ ${\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$ (1) п6м (*632) [3[3 [3] ]] ↔ [6,3] ${\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$ 3

В евклидовой плоскости ${\tilde {A}}_{2}$, [3 [3] ] Группу Кокстера можно расширить двумя способами до ${\tilde {G}}_{2}$, [6,3] Группа Кокстера и связывает равномерные мозаики как кольцевые диаграммы.

Смотрите также: тетраэдр Гурса § Расширенная симметрия

Обозначение Коксетера включает обозначение в двойных квадратных скобках [[X]] для выражения автоморфной симметрии внутри диаграммы Коксетера. Джонсон добавил альтернативное удвоение с помощью угловой скобки <[X]>. Джонсон также добавил префиксный модификатор симметрии [Y[X]], где Y может представлять либо симметрию диаграммы Кокстера [X], либо симметрию фундаментальной области [X].

Например, в 3D эти эквивалентные прямоугольные и ромбические геометрические диаграммы ${\tilde {A}}_{3}$: и , первый дублируется квадратными скобками, [[3 ^[4] ]] или дважды удваивается как [2[3 ^[4] ]], с [2], более высокой симметрией порядка 4. Чтобы отличить второе, для удвоения используются угловые скобки, <[3 ^[4] ]> и дважды удвоился как <2[3 ^[4] ]>, также с другой симметрией [2] порядка 4. Наконец, полную симметрию, при которой все 4 узла эквивалентны, можно представить как [4[3 ^[4] ]], с порядком 8, [4] симметрии квадрата . Но, рассматривая фундаментальную область тетрагонального дисфеноида, [4] расширенную симметрию квадратного графа можно обозначить более явно как [(2 ⁺ ,4)[3 ^[4] ]] или [2 ⁺ ,4[3 ^[4] ]].

Дальнейшая симметрия существует в циклическом ${\tilde {A}}_{n}$ и ветвление $D_{3}$, ${\tilde {E}}_{6}$, и ${\tilde {D}}_{4}$ диаграммы. ${\tilde {A}}_{n}$ имеет порядок 2 n симметрии правильного n -угольника { n } и представлен [ n [3 ^{[ н ]} ]]. $D_{3}$ и ${\tilde {E}}_{6}$ представлены [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3] и [3[3 ^2,2,2 ]] соответственно, в то время как ${\tilde {D}}_{4}$ на [(3,3)[3 ^1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3], с диаграммой, содержащей 24-й порядок симметрии правильного тетраэдра , {3,3}. Паракомпактная гиперболическая группа ${\bar {L}}_{5}$ = [3 ^1,1,1,1,1 ], , содержит симметрию 5-клетки , {3,3,3} и, таким образом, представлена ​​[(3,3,3)[3 ^1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3].

* Надстрочный индекс звездочки фактически является обратной операцией, создавая радикальные подгруппы , удаляя соединенные зеркала нечетного порядка.

Примеры:

скрывать Пример расширенных групп и радикальных подгрупп

Расширенные группы Радикальные подгруппы Диаграммы Кокстера Индекс [3[2,2]] = [4,3] [4,3*] = [2,2] = 6 [(3,3)[2,2,2]] = [4,3,3] [4,(3,3)*] = [2,2,2] = 24 [1[3 1,1 ]] = [[3,3]] = [3,4] [3,4,1 + ] = [3,3] = 2 [3[3 1,1,1 ]] = [3,4,3] [3*,4,3] = [3 1,1,1 ] = 6 [2[3 1,1,1,1 ]] = [4,3,3,4] [1 + ,4,3,3,4,1 + ] = [3 1,1,1,1 ] = 4 [3[3,3 1,1,1 ]] = [3,3,4,3] [3*,4,3,3] = [3 1,1,1,1 ] = 6 [(3,3)[3 1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3] [3,4,(3,3)*] = [3 1,1,1,1 ] = 24 [2[3,3 1,1,1,1 ]] = [3,(3,4) 1,1 ] [3,(3,4,1 + ) 1,1 ] = [3,3 1,1,1,1 ] = 4 [(2,3)[ 1,1 3 1,1,1 ]] = [4,3,3,4,3] [3*,4,3,3,4,1 + ] = [3 1,1,1,1,1 ] = 12 [(3,3)[3,3 1,1,1,1 ]] = [3,3,4,3,3] [3,3,4,(3,3)*] = [3 1,1,1,1,1 ] = 24 [(3,3,3)[3 1,1,1,1,1 ]] = [3,4,3,3,3] [3,4,(3,3,3)*] = [3 1,1,1,1,1 ] = 120

Расширенные группы Радикальные подгруппы Диаграммы Кокстера Индекс [1[3 [3] ]] = [3,6] [3,6,1 + ] = [3 [3] ] = 2 [3[3 [3] ]] = [6,3] [6,3*] = [3 [3] ] = 6 [1[3,3 [3] ]] = [3,3,6] [3,3,6,1 + ] = [3,3 [3] ] = 2 [(3,3)[3 [3,3] ]] = [6,3,3] [6,(3,3)*] = [3 [3,3] ] = 24 [1[∞] 2 ] = [4,4] [4,1 + ,4] = [∞] 2 = [∞,2,∞] = 2 [2[∞] 2 ] = [4,4] [1 + ,4,4,1 + ] = [(4,4,2*)] = [∞] 2 = 4 [4[∞] 2 ] = [4,4] [4,4*] = [∞] 2 = 8 [2[3 [4] ]] = [4,3,4] [1 + ,4,3,4,1 + ] = [(4,3,4,2*)] = [3 [4] ] = = 4 [3[∞] 3 ] = [4,3,4] [4,3*,4] = [∞] 3 = [∞,2,∞,2,∞] = 6 [(3,3)[∞] 3 ] = [4,3 1,1 ] [4,(3 1,1 )*] = [∞] 3 = 24 [(4,3)[∞] 3 ] = [4,3,4] [4,(3,4)*] = [∞] 3 = 48 [(3,3)[∞] 4 ] = [4,3,3,4] [4,(3,3)*,4] = [∞] 4 = 24 [(4,3,3)[∞] 4 ] = [4,3,3,4] [4,(3,3,4)*] = [∞] 4 = 384

Глядя на генераторы, двойная симметрия рассматривается как добавление нового оператора, который отображает симметричные позиции на диаграмме Кокстера, что делает некоторые исходные генераторы ненужными. Для трехмерных пространственных групп и четырехмерных точечных групп Коксетер определяет подгруппу второго индекса из [[X]], [[X] ⁺ ], который он определяет как произведение исходных генераторов [X] на генератор удвоения. Это похоже на [[X]] ⁺ , которая является киральной подгруппой [[X]]. Так, например, трехмерные пространственные группы [[4,3,4]] ⁺ (I432, 211) и [[4,3,4] ⁺ ] (Пм 3 н, 223) являются различными подгруппами группы [[4,3,4]] (Im 3 m, 229).

Группы первого ранга

Дополнительная информация: Одномерная группа симметрии.

В одном измерении двусторонняя группа [ ] представляет собой одну зеркальную симметрию, абстрактную Dih ₁ или Z ₂ , порядок симметрии 2. Она представлена ​​как диаграмма Кокстера-Дынкина с одним узлом, . Идентификационная группа — это прямая подгруппа [ ] ⁺ , Z ₁ , порядок симметрии 1. Верхний индекс + просто означает, что попеременные зеркальные отражения игнорируются, оставляя в этом простейшем случае единичную группу. Коксетер использовал один открытый узел для обозначения чередования. .

Группа	Обозначение Кокстера	Диаграмма Кокстера	Заказ	Описание
С 1	[ ] +		1	Личность
DД2	[ ]		2	Группа отражения

Разместите две группы

Дополнительная информация: Группы точек в двух измерениях.

Правильный шестиугольник с разметкой на ребрах и вершинах имеет 8 симметрий: [6], [3], [2], [1], [6] ⁺ , [3] ⁺ , [2] ⁺ , [1] ⁺ , причем [3] и [1] существуют в двух формах, в зависимости от того, находятся ли зеркала на краях или в вершинах.

В двух измерениях прямоугольная группа [2], аннотация D ₂ ² или D ₄ , также может быть представлен как прямое произведение [ ]×[ ], являющееся произведением двух двусторонних групп, представляет собой два ортогональных зеркала с диаграммой Кокстера, , с порядком 4. 2 в [2] получается в результате линеаризации ортогональных подграфов в диаграмме Кокстера, как с явным порядком ветвления 2. Ромбическая группа , [2] ⁺ ( или ), половина прямоугольной группы, симметрия точечного отражения , Z ₂ , порядок 2.

Обозначение Кокстера, позволяющее использовать 1 заполнитель для групп более низкого ранга, поэтому [1] совпадает с [ ], а [1 ⁺ ] или [1] ⁺ такой же как [ ] ⁺ и диаграмма Кокстера .

Полная p-гональная группа [p], абстрактная группа диэдра D _{2 p} ( неабелева для p>2) порядка 2 p , порождается двумя зеркалами под углом π / p , представленными диаграммой Кокстера. . подгруппа p-угольная [p] ⁺ , циклическая группа Z _p порядка p , порожденная углом поворота π / p .

В нотации Коксетера используется двойное разбиение для обозначения автоморфного удвоения симметрии путем добавления биссектрисы к фундаментальной области . Например, [[p]] добавляет разделяющее зеркало к [p] и изоморфно [2p].

В пределе, при переходе к одному измерению, полная апейрогональная группа получается, когда угол обращается в ноль, поэтому [∞], абстрактно бесконечная группа диэдра D _∞ , представляет два параллельных зеркала и имеет диаграмму Кокстера. . Апейрогональная группа [∞] ⁺ , , абстрактно бесконечная циклическая группа Z _∞ , изоморфная аддитивной группе целых чисел , порождается одним ненулевым сдвигом.

В гиперболической плоскости существует полная псевдогональная группа [ iπ/λ ] и псевдогональная подгруппа [ iπ/λ ] ⁺ , . Эти группы существуют в правильных многоугольниках с бесконечными сторонами и длиной ребра λ. Все зеркала ортогональны одной линии.

показывать Пример конечных и гиперболических симметрий ранга 2
Type	Finite					Affine	Hyperbolic
Geometry					...
Coxeter	[ ]	= [2]=[ ]×[ ]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Order	2	4	6	8	2p	∞
Mirror lines are colored to correspond to Coxeter diagram nodes. Fundamental domains are alternately colored.
Even images (direct)					...
Odd images (inverted)
Coxeter	[ ]+	[2]+	[3]+	[4]+	[p]+	[∞]+	[∞]+	[iπ/λ]+
Order	1	2	3	4	p	∞
Cyclic subgroups represent alternate reflections, all even (direct) images.

Группа	Международный	Орбифолд	Коксетер	Диаграмма Кокстера	Заказ	Описание
Конечный
З н	н	n•	[н] +		н	Циклический: n -кратных вращений. Абстрактная группа Z n , группа целых чисел при сложении по модулю n .
Д 2 н	нм ​	*n•	[н]		22н	Диэдральный: циклический с отражениями. Абстрактная группа Dih n , группа диэдра .
Аффинный
Z ∞	∞	∞•	[∞] +		∞	Циклическая: апейрогональная группа . Абстрактная группа Z ∞ , группа сложенных целых чисел.
Dih ∞	∞m	*∞•	[∞]		∞	Диэдр: параллельные отражения. Абстрактная бесконечная группа диэдра Dih ∞ .
гиперболический
Z ∞			[мин/мин] +		∞	псевдогональная группа
Dih ∞			[мин/мин]		∞	полная псевдогональная группа

Ранжируйте три группы

Дополнительная информация: Группы точек в трех измерениях и Список сферических групп симметрии.

Группы точек в трех измерениях могут быть выражены в скобках, связанных с группами Кокстера 3-го ранга:

показывать Конечные группы изометрий в трехмерном пространстве
Rotation groups						Extended groups
Name	Bracket	Orb	Sch	Abstract	Order	Name	Bracket	Orb	Sch	Abstract	Order
Identity	[ ]+	11	C1	Z1	1	Bilateral	[1,1] = [ ]	*	D2	Z2	2
						Central	[2+,2+]	×	Ci	2×Z1	2
Acrorhombic	[1,2]+ = [2]+	22	C2	Z2	2	Acrorectangular	[1,2] = [2]	*22	C2v	D4	4
						Gyrorhombic	[2+,4+]	2×	S4	Z4	4
						Orthorhombic	[2,2+]	2*	D1d	Z2×Z2	4
Pararhombic	[2,2]+	222	D2	D4	4	Gyrorectangular	[2+,4]	2*2	D2d	D8	8
						Orthorectangular	[2,2]	*222	D2h	Z2×D4	8
Acro-p-gonal	[1,p]+ = [p]+	pp	Cp	Zp	p	Full acro-p-gonal	[1,p] = [p]	*pp	Cpv	D2p	2p
						Gyro-p-gonal	[2+,2p+]	p×	S2p	Z2p	2p
						Ortho-p-gonal	[2,p+]	p*	Cph	Z2×Zp	2p
Para-p-gonal	[2,p]+	p22	D2p	D2p	2p	Full gyro-p-gonal	[2+,2p]	2*p	Dpd	D4p	4p
						Full ortho-p-gonal	[2,p]	*p22	Dph	Z2×D2p	4p
Tetrahedral	[3,3]+	332	T	A4	12	Full tetrahedral	[3,3]	*332	Td	S4	24
						Pyritohedral	[3+,4]	3*2	Th	2×A4	24
Octahedral	[3,4]+	432	O	S4	24	Full octahedral	[3,4]	*432	Oh	2×S4	48
Icosahedral	[3,5]+	532	I	A5	60	Full icosahedral	[3,5]	*532	Ih	2×A5	120

В трех измерениях полная ромбическая группа или ортопрямоугольная [2,2], абстрактно Z ₂ ³ , порядок 8, представляет собой три ортогональных зеркала (также представленных диаграммой Кокстера в виде трех отдельных точек). ). Его также можно представить как прямое произведение [ ]×[ ]×[ ], но выражение [2,2] позволяет определять подгруппы:

Во-первых, существует «полупрямая» подгруппа — орторомбическая группа , [2,2 ⁺ ] ( или ), абстрактно Z ₂ × Z ₂ , порядка 4. Когда верхний индекс + указан внутри скобок, это означает отражения, генерируемые только от соседних зеркал (как определено диаграммой Кокстера, ) чередуются. В общем, порядки ветвления, соседние с узлом + , должны быть четными. В этом случае [2,2 ⁺ ] и [2 ⁺ ,2] представляют две изоморфные подгруппы, геометрически различные. Остальные подгруппы представляют собой параромбическую группу [2,2] ⁺ ( или ), а также порядок 4 и, наконец, центральная группа [2 ⁺ ,2 ⁺ ] ( или ) порядка 2.

Далее идет полная орто- p -гональная группа [2,p] ( ), абстрактно Z ₂ ×D _{2 p} порядка 4p, представляющее два зеркала под двугранным углом π/ p , и оба ортогональны третьему зеркалу. Это также представлено диаграммой Кокстера как .

Прямая подгруппа называется пара- p -гональной группой, [2,p] ⁺ ( или ), абстрактно D _{2 p} порядка 2p, а другая подгруппа — [2,p ⁺ ] ( ) абстрактно Z ₂ × Z _p , также порядка 2p.

Полная гиро-п-гональная группа , [2 ⁺ ,2 п ] ( или ), абстрактно D _{4 p} порядка 4 p . Гиро- p -гональная группа, [2 ⁺ ,2р ⁺ ] ( или ), абстрактно Z _{2 p} порядка 2 p является подгруппой обеих [2 ⁺ ,2 p ] и [2,2 p ⁺ ].

основаны Группы многогранников на симметрии платоновых тел : тетраэдра , октаэдра , куба , икосаэдра и додекаэдра с символами Шлефли {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} и {5,3} соответственно. Группы Кокстера для них: [3,3] ( ), [3,4] ( ), [3,5] ( ), называемая полной тетраэдрической симметрией , октаэдрической симметрией и икосаэдрической симметрией , с порядками 24, 48 и 120.

Пиритоэдрическая симметрия , [3+,4] — подгруппа индекса 5 икосаэдрической симметрии , [5,3].

Во всех этих симметриях можно удалить альтернативные отражения, создав вращательный тетраэдр [3,3] ⁺ ( ), октаэдрический [3,4] ⁺ ( ) и икосаэдрические [3,5] ⁺ ( ) группы порядка 12, 24 и 60. Октаэдрическая группа также имеет уникальную подгруппу индекса 2, называемую пиритоэдрической группой симметрии , [3 ⁺ ,4] ( или ), порядка 12, со смесью вращательной и отражательной симметрии. Пиритоэдрическая симметрия также является подгруппой индекса 5 икосаэдрической симметрии: --> , с виртуальным зеркалом 1 относительно 0 , {010} и 3-кратным вращением {12}.

Тетраэдрическая группа, [3,3] ( ), имеет удвоение [[3,3]] (которое можно представить цветными узлами ), отображая первое и последнее зеркала друг на друга, и это дает [3,4] ( или ) группа. Подгруппа [3,4,1 ⁺ ] ( или ) то же самое, что [3,3], и [3 ⁺ ,4,1 ⁺ ] ( или ) то же, что [3,3] ⁺ .

показывать Пример деревьев подгрупп конечных групп Кокстера ранга 3
Tetrahedral symmetry	Octahedral symmetry
Icosahedral symmetry

показывать Конечные ( группы точек в трех измерениях )

Intl* Geo Orb. Schön. Struct. Coxeter Ord. 1 1 1 C1 Z1 [] = [ ]+ = 1 2 = m 1 * Cs Z2 [ ] 2 2 3 4 5 6 n 2 3 4 5 6 n 22 33 44 55 66 nn C2 C3 C4 C5 C6 Cn Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Zn [1,2]+ [1,3]+ [1,4]+ [1,5]+ [1,6]+ [1,n]+ 2 3 4 5 6 n 2mm 3m 4mm 5m 6mm nmm nm 2 3 4 5 6 n *22 *33 *44 *55 *66 *nn C2v C3v C4v C5v C6v Cnv D2 D3 D4 D5 D6 Dn [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1,n] 4 6 8 10 12 2n 2/m 3/m 4/m 5/m 6/m n/m 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 2* 3* 4* 5* 6* n* C2h C3h C4h C5h C6h Cnh Z2×Z2 Z2×Z3 Z2×Z4 Z2×Z5 Z2×Z6 Z2×Zn [2,2+] [2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+] 4 6 8 10 12 2n 1 4 3 8 5 12 2n n 2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2n 2 1× 2× 3× 4× 5× 6× n× Ci = S2 S4 S6 S8 S10 S12 S2n Z2 Z4 Z6=Z2×Z3 Z8 Z10=Z2×Z5 Z12 Z2n [2+,2+] [2+,4+] [2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+] 2 4 6 8 10 12 2n

Intl Geo Orb. Schön. Struct. Coxeter Ord. 222 32 422 52 622 n22 n2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 222 223 224 225 226 22n D2 D3 D4 D5 D6 Dn D4 D6 D8 D10 D12 D2n [2,2]+ [2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+ 4 6 8 10 12 2n mmm 6m2 4/mmm 10m2 6/mmm n/mmm 2nm2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2 *222 *223 *224 *225 *226 *22n D2h D3h D4h D5h D6h Dnh Z2×D4 Z2×D6 Z2×D8 Z2×D10 Z2×D12 Z2×D2n [2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n] 8 12 16 20 24 4n 42m 3m 82m 5m 122m 2n2m nm 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 n 2 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n D2d D3d D4d D5d D6d Dnd D4 D6 D8 D10 D12 D2n [2+,4] [2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n] 8 12 16 20 24 4n 23 3 3 332 T A4 [3,3]+ 12 m3 4 3 3*2 Th A4×S2 [3+,4] 24 43m 3 3 *332 Td S4 [3,3] 24 432 4 3 432 O S4 [3,4]+ 24 m3m 4 3 *432 Oh S4×S2 [3,4] 48 532 5 3 532 I A5 [3,5]+ 60 53m 5 3 *532 Ih A4×S2 [3,5] 120

Аффинный

Дополнительная информация: Список плоских групп симметрии.

В евклидовой плоскости есть три фундаментальные отражающие группы, порожденные тремя зеркалами, представленные диаграммами Кокстера. , , и , и имеют обозначения Кокстера как [4,4], [6,3] и [(3,3,3)]. Скобки последней группы означают цикл диаграммы, а также имеют сокращенное обозначение [3 ^[3] ].

[[4,4]] как удвоение группы [4,4] дает ту же симметрию, повернутую на π/4, от исходного набора зеркал.

Прямыми подгруппами вращательной симметрии являются: [4,4] ⁺ , [6,3] ⁺ и [(3,3,3)] ⁺ . [4 ⁺ ,4] и [6,3 ⁺ ] — полупрямые подгруппы.

Полуаффинные ( фризовые группы ) МУК Орб. Гео Щ. Коксетер п1 ∞∞ pП1 C ∞ [∞] = [∞,1] + = [∞ + ,2,1 + ] = п1м1 *∞∞ п1 C ∞v [∞] = [∞,1] = [∞,2,1 + ] = p11g ∞× п. г 1 S 2∞ [∞ + ,2 + ] п11м ∞* п. 1 C ∞h [∞ + ,2] п2 22∞ pп2 D ∞ [∞,2] + п2мг 2*∞ п2 г D ∞d [∞,2 + ] п2мм *22∞ п2 D ∞h [∞,2]

Affine ( группы обоев ) МУК Орб. Гео. Коксетер п2 2222 pп2 [4,1 + ,4] + p2gg 22× п г 2 г [4 + ,4 + ] п2мм *2222 п2 [4,1 + ,4] c2мм 2*22 с2 [[4 + ,4 + ]] п4 442 п 4 [4,4] + p4gm 4*2 стр г 4 [4 + ,4] п4мм *442 п4 [4,4] п3 333 pп3 [1 + ,6,3 + ] = [3 [3] ] + = п3м1 *333 п3 [1 + ,6,3] = [3 [3] ] = п31м 3*3 h3 [6,3 + ] = [3[3 [3] ] + ] стр.6 632 стр . 6 [6,3] + = [3[3 [3] ]] + р6мм *632 стр.6 [6,3] = [3[3 [3] ]]

В нотации Коксетера ( орбифолдной нотации ) некоторые аффинные подгруппы с низким индексом:

Светоотражающий группа	Светоотражающий подгруппа	Смешанный подгруппа	Вращение подгруппа	Неправильное вращение / перевод	Коммутатор подгруппа
[4,4], (*442)	[1 + ,4,4], (*442) [4,1 + ,4], (*2222) [1 + ,4,4,1 + ], (*2222)	[4 + ,4], (4*2) [(4,4,2 + )], (2*22) [1 + ,4,1 + ,4], (2*22)	[4,4] + , (442) [1 + ,4,4 + ], (442) [1 + ,4,1 + 4,1 + ], (2222)	[4 + ,4 + ], (22×)	[4 + ,4 + ] + , (2222)
[6,3], (*632)	[1 + ,6,3] = [3 [3] ], (*333)	[3 + ,6], (3*3)	[6,3] + , (632) [1 + ,6,3 + ], (333)		[1 + ,6,3 + ], (333)

Ранг четыре группы

Отношения подгрупп диаграммы Хассе (частичные!)

Группы точек

Дополнительная информация: Группы точек в четырех измерениях.

Группы четвертого ранга определяли 4-мерные точечные группы :

показывать Конечные группы
[ ]: Symbol Order [1]+ 1.1 [1] = [ ] 2.1 [2]: Symbol Order [1+,2]+ 1.1 [2]+ 2.1 [2] 4.1 [2,2]: Symbol Order [2+,2+]+ = [(2+,2+,2+)] 1.1 [2+,2+] 2.1 [2,2]+ 4.1 [2+,2] 4.1 [2,2] 8.1 [2,2,2]: Symbol Order [(2+,2+,2+,2+)] = [2+,2+,2+]+ 1.1 [2+,2+,2+] 2.1 [2+,2,2+] 4.1 [(2,2)+,2+] 4 [[2+,2+,2+]] 4 [2,2,2]+ 8 [2+,2,2] 8.1 [(2,2)+,2] 8 [[2+,2,2+]] 8.1 [2,2,2] 16.1 [[2,2,2]]+ 16 [[2,2+,2]] 16 [[2,2,2]] 32	[p]: Symbol Order [p]+ p [p] 2p [p,2]: Symbol Order [p,2]+ 2p [p,2] 4p [2p,2+]: Symbol Order [2p,2+] 4p [2p+,2+] 2p [p,2,2]: Symbol Order [p+,2,2+] 2p [(p,2)+,2+] 2p [p,2,2]+ 4p [p,2,2+] 4p [p+,2,2] 4p [(p,2)+,2] 4p [p,2,2] 8p [2p,2+,2]: Symbol Order [2p+,2+,2+]+ p [2p+,2+,2+] 2p [2p+,2+,2] 4p [2p+,(2,2)+] 4p [2p,(2,2)+] 8p [2p,2+,2] 8p	[p,2,q]: Symbol Order [p+,2,q+] pq [p,2,q]+ 2pq [p+,2,q] 2pq [p,2,q] 4pq [(p,2)+,2q]: Symbol Order [(p,2)+,2q+] 2pq [(p,2)+,2q] 4pq [2p,2,2q]: Symbol Order [2p+,2+,2q+]+= [(2p+,2+,2q+,2+)] pq [2p+,2+,2q+] 2pq [2p,2+,2q+] 4pq [((2p,2)+,(2q,2)+)] 4pq [2p,2+,2q] 8pq [[p,2,p]]: Symbol Order [[p+,2,p+]] 2p2 [[p,2,p]]+ 4p2 [[p,2,p]+] 4p2 [[p,2,p]] 8p2 [[2p,2,2p]]: Symbol Order [[(2p+,2+,2p+,2+)]] 2p2 [[2p+,2+,2p+]] 4p2 [[((2p,2)+,(2p,2)+)]] 8p2 [[2p,2+,2p]] 16p2	[3,3,2]: Symbol Order [(3,3)Δ,2,1+] ≅ [2,2]+ 4 [(3,3)Δ,2] ≅ [2,(2,2)+] 8 [(3,3)⅄,2,1+] ≅ [4,2+] 8 [(3,3)+,2,1+] = [3,3]+ 12.5 [(3,3)⅄,2] ≅ [2,4,2+] 16 [3,3,2,1+] = [3,3] 24 [(3,3)+,2] 24.10 [3,3,2]+ 24.10 [3,3,2] 48.36 [4,3,2]: Symbol Order [1+,4,3+,2,1+] = [3,3]+ 12 [3+,4,2+] 24 [(3,4)+,2+] 24 [1+,4,3+,2] = [(3,3)+,2] 24.10 [3+,4,2,1+] = [3+,4] 24.10 [(4,3)+,2,1+] = [4,3]+ 24.15 [1+,4,3,2,1+] = [3,3] 24 [1+,4,(3,2)+] = [3,3,2]+ 24 [3,4,2+] 48 [4,3+,2] 48.22 [4,(3,2)+] 48 [(4,3)+,2] 48.36 [1+,4,3,2] = [3,3,2] 48.36 [4,3,2,1+] = [4,3] 48.36 [4,3,2]+ 48.36 [4,3,2] 96.5 [5,3,2]: Symbol Order [(5,3)+,2,1+] = [5,3]+ 60.13 [5,3,2,1+] = [5,3] 120.2 [(5,3)+,2] 120.2 [5,3,2]+ 120.2 [5,3,2] 240 (nc)	[31,1,1]: Symbol Order [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [31,1,1]⅄ 64 [31,1,1]+ 96.1 [31,1,1] 192.2 <[3,31,1]> = [4,3,3] 384.1 [3[31,1,1]] = [3,4,3] 1152.1 [3,3,3]: Symbol Order [3,3,3]+ 60.13 [3,3,3] 120.1 [[3,3,3]]+ 120.2 [[3,3,3]+] 120.1 [[3,3,3]] 240.1 [4,3,3]: Symbol Order [1+,4,(3,3)Δ] = [31,1,1]Δ ≅[[4,2+,4]]+ 32 [4,(3,3)Δ] = [2+,4[2,2,2]+] ≅[[4,2+,4]] 64 [1+,4,(3,3)⅄] = [31,1,1]⅄ 64 [1+,4,(3,3)+] = [31,1,1]+ 96.1 [4,(3,3)⅄] ≅ [[4,2,4]] 128 [1+,4,3,3] = [31,1,1] 192.2 [4,(3,3)+] 192.1 [4,3,3]+ 192.3 [4,3,3] 384.1 [3,4,3]: Symbol Order [3+,4,3+] 288.1 [3,4,3⅄] = [4,3,3] 384.1 [3,4,3]+ 576.2 [3+,4,3] 576.1 [[3+,4,3+]] 576 (nc) [3,4,3] 1152.1 [[3,4,3]]+ 1152 (nc) [[3,4,3]+] 1152 (nc) [[3,4,3]] 2304 (nc) [5,3,3]: Symbol Order [5,3,3]+ 7200 (nc) [5,3,3] 14400 (nc)

Подгруппы

показывать Группы и подгруппы отражающих точек 1D-4D
Order	Reflection		Semidirect subgroups				Direct subgroups		Commutator subgroup
2	[ ]						[ ]+		[ ]+1	[ ]+
4	[2]						[2]+		[2]+2
8	[2,2]		[2+,2]		[2+,2+]		[2,2]+		[2,2]+3
16	[2,2,2]		[2+,2,2] [(2,2)+,2]		[2+,2+,2] [(2,2)+,2+] [2+,2+,2+]		[2,2,2]+ [2+,2,2+]		[2,2,2]+4
	[21,1,1]				[(2+)1,1,1]
2n	[n]						[n]+		[n]+1	[n]+
4n	[2n]						[2n]+		[2n]+2
4n	[2,n]		[2,n+]				[2,n]+		[2,n]+2
8n	[2,2n]		[2+,2n]		[2+,2n+]		[2,2n]+		[2,2n]+3
8n	[2,2,n]		[2+,2,n] [2,2,n+]		[2+,(2,n)+]		[2,2,n]+ [2+,2,n+]		[2,2,n]+3
16n	[2,2,2n]		[2,2+,2n]		[2+,2+,2n] [2,2+,2n+] [(2,2)+,2n+] [2+,2+,2n+]		[2,2,2n]+ [2+,2n,2+]		[2,2,2n]+4
	[2,2n,2]				[2+,2n+,2+]
	[2n,21,1]				[2n+,(2+)1,1]
24	[3,3]						[3,3]+		[3,3]+1	[3,3]+
48	[3,3,2]		[(3,3)+,2]				[3,3,2]+		[3,3,2]+2
48	[4,3]		[4,3+]				[4,3]+		[4,3]+2
96	[4,3,2]		[(4,3)+,2] [4,(3,2)+]				[4,3,2]+		[4,3,2]+3
	[3,4,2]		[3,4,2+] [3+,4,2]		[(3,4)+,2+]		[3+,4,2+]
120	[5,3]						[5,3]+		[5,3]+1	[5,3]+
240	[5,3,2]		[(5,3)+,2]				[5,3,2]+		[5,3,2]+2
4pq	[p,2,q]		[p+,2,q]				[p,2,q]+ [p+,2,q+]		[p,2,q]+2	[p+,2,q+]
8pq	[2p,2,q]		[2p,(2,q)+]		[2p+,(2,q)+]		[2p,2,q]+		[2p,2,q]+3
16pq	[2p,2,2q]		[2p,2+,2q]		[2p+,2+,2q] [2p+,2+,2q+] [(2p,(2,2q)+,2+)]	-	[2p,2,2q]+		[2p,2,2q]+4
120	[3,3,3]						[3,3,3]+		[3,3,3]+1	[3,3,3]+
192	[31,1,1]						[31,1,1]+		[31,1,1]+1	[31,1,1]+
384	[4,3,3]		[4,(3,3)+]				[4,3,3]+		[4,3,3]+2
1152	[3,4,3]		[3+,4,3]				[3,4,3]+ [3+,4,3+]		[3,4,3]+2	[3+,4,3+]
14400	[5,3,3]						[5,3,3]+		[5,3,3]+1	[5,3,3]+

Пространственные группы

показывать Космические группы
Affine isomorphism and correspondences	8 cubic space groups as extended symmetry from [3[4]], with square Coxeter diagrams and reflective fundamental domains	35 cubic space groups in International, Fibrifold notation, and Coxeter notation

показывать Ранжируйте четыре группы как трехмерные пространственные группы.
Triclinic (1-2) Coxeter Space group [∞+,2,∞+,2,∞+] (1) P1 Monoclinic (3-15) Coxeter Space group [(∞,2,∞)+,2,∞+] (3) P2 [∞+,2,∞+,2,∞] (6) Pm [(∞,2,∞)+,2,∞] (10) P2/m Orthorhombic (16-74) Coxeter Space group [∞,2,∞,2,∞]+ (16) P222 [[∞,2,∞,2,∞]]+ (23) I222 [∞+,2,∞,2,∞] (25) Pmm2 [∞,2,∞,2,∞] (47) Pmmm [[∞,2,∞,2,∞]] (71) Immm [∞+,2,∞+,2,∞+] [∞,2,∞,2+,∞] [∞,2+,∞,2+,∞]	Tetragonal (75-142) Coxeter Space group [(4,4)+,2,∞+] (75) P4 [2+[(4,4)+,2,∞+]] (79) I4 [(4,4)+,2,∞] (83) P4/m [2+[(4,4)+,2,∞]] (87) I4/m [4,4,2,∞]+ (89) P422 [2+[4,4,2,∞]]+ (97) I422 [4,4,2,∞+] (99) P4mm [4,4,2,∞] (123) P4/mmm [2+[4,4,2,∞]] (139) I4/mmm [4,(4,2)+,∞] (140) I4/mcm [4,4,2+,∞] [(4,4)+,2+,∞] [4,4,2+,∞+] [(4,4)+,2+,∞+] [4+,4+,2+,∞] [4,4+,2,∞] [4,4+,2+,∞] [((4,2+,4)),2,∞] [4,4+,2,∞+] [4,4+,2+,∞+] [((4,2+,4)),2,∞+]	Trigonal (143-167), rhombohedral Coxeter Space group Hexagonal (168-194) [(6,3)+,2,∞+] (168) P6 [(6,3)+,2,∞] (175) P6/m [6,3,2,∞]+ (177) P622 [6,3,2,∞+] (183) P6mm [6,3,2,∞] (191) P6/mmm [(3[3])+,2,∞+] [3[3],2,∞] [6,3+,2,∞] [6,3+,2,∞+] [3[3],2,∞]+ [3[3],2,∞+] [(3[3])+,2,∞]	Cubic (195-230) Group Coxeter Space group Index [[4,3,4]] [[4,3,4]] (229) Im3m 1 [[4,3,4]]+ (211) I432 2 [[4,3,4]+] (223) Pm3n 2 [[4,3+,4]] (204) I3 2 [[(4,3,4,2+)]] (217) I43m 2 [[4,3+,4]]+ (197) I23 4 [[4,3,4]+]+ (208) P4232 4 [[4,3+,4)]+] (201) Pn43 4 [[(4,3,4,2+)]+] (218) P43n 4 [4,3,4] [4,3,4] (221) Pm3m 2 [4,3,4]+ (207) P432 4 [4,3+,4] (200) Pm3 4 [4,(3,4)+] (226) Fm3c 4 [(4,3,4,2+)] (215) P43m 4 [[{4,(3}+,4)+]] (228) Fd3c 4 [4,3+,4]+ (195) P23 8 [{4,(3}+,4)+] (219) F43c 8 [4,31,1] [4,31,1] (225) Fm3m 4 [4,(31,1)+] (202) Fm3 8 [4,31,1]+ (209) F432 8 [[3[4]]] [(4+,2+)[3[4]]] (222) Pn3n 2 [[3[4]]] (227) Fd3m 4 [[3[4]]]+ (203) Fd3 8 [[3[4]]+] (210) F4132 8 [3[4]] [3[4]] (216) F43m 8 [3[4]]+ (196) F23 16

Группы линий

Группы четвертого ранга также определяют трехмерные группы линий :

показывать Полуаффинные (3D) группы
Point group			Line group
Hermann-Mauguin		Schönflies	Hermann-Mauguin		Offset type	Wallpaper			Coxeter [∞h,2,pv]
Even n	Odd n		Even n	Odd n		IUC	Orbifold	Diagram
n		Cn	Pnq		Helical: q	p1	o		[∞+,2,n+]
2n	n	S2n	P2n	Pn	None	p11g, pg(h)	××		[(∞,2)+,2n+]
n/m	2n	Cnh	Pn/m	P2n	None	p11m, pm(h)	**		[∞+,2,n]
2n/m		C2nh	P2nn/m		Zigzag	c11m, cm(h)	*×		[∞+,2+,2n]
nmm	nm	Cnv	Pnmm	Pnm	None	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n+]
			Pncc	Pnc	Planar reflection	p1g1, pg(v)	××		[∞+,(2,n)+]
2nmm		C2nv	P2nnmc		Zigzag	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2+,2n+]
n22	n2	Dn	Pnq22	Pnq2	Helical: q	p2	2222		[∞,2,n]+
2n2m	nm	Dnd	P2n2m	Pnm	None	p2mg, pmg(h)	22*		[(∞,2)+,2n]
			P2n2c	Pnc	Planar reflection	p2gg, pgg	22×		[+(∞,(2),2n)+]
n/mmm	2n2m	Dnh	Pn/mmm	P2n2m	None	p2mm, pmm	*2222		[∞,2,n]
			Pn/mcc	P2n2c	Planar reflection	p2mg, pmg(v)	22*		[∞,(2,n)+]
2n/mmm		D2nh	P2nn/mcm		Zigzag	c2mm, cmm	2*22		[∞,2+,2n]

Дуопризматическая группа

показывать Расширенная дуопризматическая симметрия
Extended duoprismatic groups, [p]×[p] or [p,2,p] or , expressed in relation to its tetragonal disphenoid fundamental domain symmetry.

Группы четвертого ранга определяли 4-мерные дуопризматические группы. В пределе, когда p и q стремятся к бесконечности, они вырождаются в 2 измерения и группы обоев.

показывать Дуопризматические группы (4D)
Wallpaper			Coxeter [p,2,q]	Coxeter [[p,2,p]]	Wallpaper
IUC	Orbifold	Diagram			IUC	Orbifold	Diagram
p1	o		[p+,2,q+]	[[p+,2,p+]]	p1	o
pg	××		[(p,2)+,2q+]	-
pm	**		[p+,2,q]	-
cm	*×		[2p+,2+,2q]	-
p2	2222		[p,2,q]+	[[p,2,p]]+	p4	442
pmg	22*		[(p,2)+,2q]	-
pgg	22×		[+(2p,(2),2q)+]	[[+(2p,(2),2p)+]]	cmm	2*22
pmm	*2222		[p,2,q]	[[p,2,p]]	p4m	*442
cmm	2*22		[2p,2+,2q]	[[2p,2+,2p]]	p4g	4*2

Группы обоев

Группы четвертого ранга также определили некоторые из двумерных групп обоев как предельные случаи четырехмерных групп дуопризмы:

показывать Аффинный (2D-плоскость)
IUC Orb. Geo Coxeter Diagram p1 o p1 [∞+,2,∞+] [∞+,2+,∞+] [(∞+,2+,∞+,2+)] p2 2222 p2 [∞,2,∞]+ [(∞,2+,∞,2+)] p11g ×× pg1 h: [∞+,(2,∞)+] p1g1 v: [(∞,2)+,∞+] p2gm 22* pg2 h: [(∞,2)+,∞] p2mg v: [∞,(2,∞)+]	IUC Orb. Geo Coxeter Diagram p11m ** p1 h: [∞+,2,∞] p1m1 v: [∞,2,∞+] p2mm *2222 p2 [∞,2,∞] c11m *× c1 h: [∞+,2+,∞] c1m1 v: [∞,2+,∞+] p2gg 22× pg2g [+(∞,(2),∞)+] [((∞,2)+)[2]] c2mm 2*22 c2 [∞,2+,∞]

Подгруппы [∞,2,∞], (*2222) могут быть выражены до подгруппы коммутатора индекса 16:

показывать Подгруппы из [∞,2,∞]
Reflective group	Reflective subgroup	Mixed subgroup	Rotation subgroup	Improper rotation/ translation	Commutator subgroup
[∞,2,∞], (*2222)	[1+,∞,2,∞], (*2222)	[∞+,2,∞], (**)	[∞,2,∞]+, (2222)	[∞,2+,∞]+, (°) [∞+,2+,∞+], (°) [∞+,2,∞+], (°) [∞+,2+,∞], (*×) [(∞,2)+,∞+], (××) [((∞,2)+,(∞,2)+)], (22×)	[(∞+,2+,∞+,2+)], (°)
		[∞,2+,∞], (2*22) [(∞,2)+,∞], (22*)

Сложные размышления

Диаграмма Хассе со всеми отношениями подгрупп в группах Шепарда ранга 2.

Обозначение Кокстера расширено до комплексного пространства , C ^н где узлы представляют собой унитарные отражения периода 2 или больше. Узлы помечены индексом, который считается равным 2 для обычного реального отражения, если оно подавлено. Комплексные группы отражений называются группами Шепарда, а не группами Кокстера , и могут использоваться для построения комплексных многогранников .

В $\mathbb {C} ^{1}$, группа Шепардов 1 ранга , порядок p , представляется как _p [ ], [ ] _p или ] _p [. Он имеет один генератор, представляющий вращение радиана на 2 π / p в комплексной плоскости : $e^{2\pi i/p}$.

Коксетер записывает комплексную группу ранга 2, _p [ q ] _r представляет диаграмму Кокстера. . p следует подавлять только в том случае , и r если оба равны 2, что является реальным случаем [ q ]. Порядок группы ранга 2 _p [ q ] _r равен $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$.

Решения ранга 2, которые генерируют комплексные многоугольники: _p [4] ₂ ( p равно 2,3,4,...), ₃ [3] ₃ , ₃ [6] ₂ , ₃ [4] ₃ , ₄ [3 ] ₄ , ₃ [8] ₂ , ₄ [6] ₂ , ₄ [4] ₃ , ₃ [5] ₃ , ₅ [3] ₅ , ₃ [10] ₂ , ₅ [6] ₂ и ₅ [4] ₃ с диаграммами Кокстера , , , , , , , , , , , , .

Некоторые подгрупповые отношения между бесконечными группами Шепарда

Бесконечные группы — это ₃ [12] ₂ , ₄ [8] ₂ , ₆ [6] ₂ , ₃ [6] ₃ , ₆ [4] ₃ , ₄ [4] ₄ и ₆ [3] ₆ или , , , , , , .

Подгруппы индекса 2 существуют за счет удаления вещественного отражения: _p [2 q ] ₂ → _p [ q ] _p . Также индекса r подгруппы _{существуют для 4 ветвей: p} [4] _r → _p [ r ] _p .

Для бесконечного семейства _p [4] ₂ , для любого p = 2, 3, 4,..., существуют две подгруппы: _p [4] ₂ → [ p ], индекс p , while и _p [4] ₂ → _p [ ]× _p [ ], индекс 2.

матриц отражений как генераторов

Группа Кокстера, представленная диаграммой Кокстера. , дано обозначение Коксетера [p,q] для порядков ветвления. Каждый узел диаграммы Кокстера представляет собой зеркало, условно называемое ρ _i (и матрицей R _i ). Образующими 0 этой группы [p,q] являются отражения: ρ _, ρ ₁ и ρ ₂ . Вращательная субсимметрия задается как продукт отражений: По соглашению, σ _0,1 (и матрица S _0,1 ) = ρ ₀ ρ ₁ представляет вращение на угол π/p, а σ _1,2 = ρ ₁ ρ ₂ представляет собой поворот на угол π/q, а σ _0,2 = ρ ₀ ρ ₂ представляет поворот на угол π/2.

[п, д] ⁺ , , представляет собой подгруппу индекса 2, представленную двумя генераторами вращения, каждый из которых представляет собой произведение двух отражений: σ _0,1 , σ _1,2 и представляет повороты углов π/ p и π/ q соответственно.

С одной четной ветвью [ p ⁺ ,2 q ], или , является другой подгруппой индекса 2, представленной генератором вращения σ _0,1 и отражательным ρ ₂ .

При четных ветвях [2 п. ⁺ ,2 кв ⁺ ], , является подгруппой индекса 4 с двумя генераторами, построенными как произведение всех трех матриц отражения: По соглашению: ψ _0,1,2 и ψ _1,2,0 , которые являются вращающимися отражениями , представляющими отражение и вращение или отражение.

В случае аффинных групп Кокстера типа , или , одно зеркало, обычно последнее, выводится из начала координат. Генератор трансляции τ _0,1 (и матрица T _0,1 ) строится как произведение двух (или четного числа) отражений, включая аффинное отражение. Трансотражение ( отражение плюс перевод) может быть продуктом нечетного числа отражений φ _0,1,2 (и матрицы V _0,1,2 ), как подгруппа индекса 4. : [4 ⁺ ,4 ⁺ ] = .

Другой составной генератор, по соглашению обозначаемый как ζ (и матрица Z), представляет собой инверсию , отображающую точку в ее инверсию. Для [4,3] и [5,3] ζ = (ρ ₀ ρ ₁ ρ ₂ ) ^ч/2 , где h равно 6 и 10 соответственно, числу Кокстера для каждой семьи. Для 3D группы Кокстера [p,q] ( ), эта подгруппа представляет собой вращательное отражение [2 ⁺ ,час ⁺ ].

Группы Кокстера классифицируются по их рангу, который представляет собой количество узлов в диаграмме Кокстера-Дынкина . Структура групп также представлена ​​с указанием их абстрактных типов групп: в этой статье абстрактные диэдральные группы представлены как Dih _n , а циклические группы представлены как Z _n , причем Dih ₁ = Z ₂ .

Ранг 2

Диэдральные группы	Циклические группы
[2]	[2] +
[3]	[3] +
[4]	[4] +
[6]	[6] +

Например, в 2D группа Кокстера [ p ] ( ) представлена ​​двумя матрицами отражения R ₀ и R ₁ , Циклическая симметрия [ p ] ⁺ ( ) представлен генератором вращения матрицы S _0,1 .

[ п ], Размышления Вращение Имя RР0 Р 1 S 0,1 =R 0 ×R 1 Заказ 2 2 п Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$	[2], Размышления Вращение Имя RР0 Р 1 S 0,1 =R 0 ×R 1 Заказ 2 2 2 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$
[3], Размышления Вращение Имя RР0 Р 1 S 0,1 =R 0 ×R 1 Заказ 2 2 3 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	[4], Размышления Вращение Имя RР0 Р 1 S 0,1 =R 0 ×R 1 Заказ 2 2 4 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
[6], Размышления Вращение Имя RР0 Р 1 S 0,1 =R 0 ×R 1 Заказ 2 2 6 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\1/2&-{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\-1/2&{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	[8], Размышления Вращение Имя RР0 Р 1 S 0,1 =R 0 ×R 1 Заказ 2 2 8 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

Ранг 3

Конечные группы Кокстера ранга 3 — это [1, p ], [2, p ], [3,3], [3,4] и [3,5].

Чтобы отразить точку через плоскость $ax+by+cz=0$ (который проходит через начало координат), можно использовать $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$, где $\mathbf {I}$ - единичная матрица 3×3 и $\mathbf {N}$— трехмерный единичный вектор вектора нормали к плоскости. Если L2 норма $a,b,$ и $c$ равна единице, матрица преобразования может быть выражена как:

$\mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]$

[ п ,2]

Примеры фундаментальных областей [5,2] в виде сферических треугольников

Приводимая трехмерная конечная отражающая группа имеет диэдральную симметрию [ p ,2], порядка 4 p , . Генераторы отражений представляют собой матрицы R ₀ , R ₁ , R ₂ . р ₀ ² = Р ₁ ² =Р ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² = Личность. [ п ,2] ⁺ ( ) генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . порядка p Роторное отражение генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

[п, 2],

	Размышления			Вращение			Роторное отражение
Имя	RР0	Р 1	RР2	С 0,1	С 1,2	С 0,2	В 0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	п	2		2 р
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3]

линии отражения для [3,3] =

Простейшей неприводимой трехмерной конечной отражающей группой является тетраэдрическая симметрия , [3,3], порядок 24, . Генераторы отражений, согласно конструкции D ₃ =A ₃ , представляют собой матрицы R ₀ , R ₁ , R ₂ . р ₀ ² = Р ₁ ² =Р ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² = Личность. [3,3] ⁺ ( ) генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Трионная подгруппа , изоморфная [2 ⁺ ,4], порядок 8, порождается S _0,2 и R ₁ . четвертого порядка Роторное отражение генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

[3,3],

	Размышления			Ротации			Роторное отражение
Имя	RР0	Р 1	RР2	С 0,1	С 1,2	С 0,2	В 0,1,2
Имя
Заказ	2	2	2	3		2	4
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,1,−1) н	(1,−1,0) н	(0,1,1) н	(1,1,1) ось	(1,1,−1) ось	(1,0,0) ось

[4,3]

Линии отражения для [4,3] =

Другая неприводимая трехмерная конечная отражающая группа — это октаэдрическая симметрия , [4,3], порядок 48, . Матрицами генераторов отражений являются R ₀ , R ₁ , R ₂ . р ₀ ² = Р ₁ ² =Р ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁴ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² = Личность. Киральная октаэдрическая симметрия, [4,3] ⁺ , ( ) генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . Пиритоэдрическая симметрия [4,3 ⁺ ], ( ) генерируется отражением R ₀ и вращением S _1,2 . Шестикратное роторное отражение генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

[4,3],

	Размышления			Ротации			Роторное отражение
Имя	RР0	Р 1	RР2	С 0,1	С 1,2	С 0,2	В 0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	4	3	2	6
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,1) н	(0,1,−1) н	(1,−1,0) н	(1,0,0) ось	(1,1,1) ось	(1,−1,0) ось

[5,3]

Линии отражения для [5,3] =

Конечная неприводимая трехмерная конечная отражающая группа имеет икосаэдрическую симметрию , [5,3], порядок 120, . Матрицами генераторов отражений являются R ₀ , R ₁ , R ₂ . р ₀ ² = Р ₁ ² =Р ₂ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁵ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² = Личность. [5,3] ⁺ ( ) генерируется 2 из 3 вращений: S _0,1 , S _1,2 и S _0,2 . 10-кратное роторное отражение генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трех отражений.

[5,3],

	Размышления			Ротации			Роторное отражение
Имя	RР0	Р 1	RР2	С 0,1	С 1,2	С 0,2	В 0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	5	3	2	10
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0) н	(φ,1,φ−1) n	(0,1,0) н	(φ,1,0) ось	(1,1,1) ось	(1,0,0) ось

Ранг 4

Дополнительная информация: Группы точек в четырех измерениях.

Существует 4 неприводимые группы Кокстера в 4 измерениях: [3,3,3], [4,3,3], [3 ^1,1,1 ], [3,4,4], [5,3,3], а также бесконечное семейство дуопризматических групп [ p ,2, q ].

[ п ,2, q ]

Дупризматическая группа [ p ,2, q ] имеет порядок 4 pq .

[ п , 2 , q ],

	Размышления
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3
Групповой элемент
Заказ	2	2	2	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /q&\sin 2\pi /q\\0&0&\sin 2\pi /q&-\cos 2\pi /q\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[ п ,2, п ]]

Дуопризматическая группа может удваиваться по порядку, до 8 п. ² , с двукратным поворотом между двумя плоскостями.

[[ п ,2, п ]],

	Вращение	Размышления
Имя	Т	RР0	Р 1	Р 2 =ТР 1 Т	Р 3 =ТР 0 Т
Элемент
Заказ	2	2	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\0&0&\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3,3]

Гипертетраэдрическую симметрию [3,3,3] порядка 120 проще всего представить четырьмя зеркалами в 5-мерном измерении как подгруппу [4,3,3,3].

[3,3,3],

	Размышления				Ротации						Роторные отражения		Двойное вращение
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3	С 0,1	С 1,2	С 2,3	С 0,2	С 1,3	С 2,3	В 0,1,2	В 0,1,3	Вт 0,1,2,3
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	3			2			4	6	5
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1,-1) н	(0,0,1,−1,0) н	(0,1,−1,0,0) н	(1,−1,0,0,0) н

[[3,3,3]]

Расширенная группа [[3,3,3]], порядок 240, удваивается матрицей 2-кратного вращения T, здесь меняя порядок и знак координат: имеется 3 генератора {T, R ₀ , R ₁ }. Поскольку T взаимно обратен, R ₃ =TR ₀ T и R ₂ =TR ₁ T.

[[3,3,3]],

	Вращение	Размышления
Имя	Т	RР0	Р 1	ТР 1 Т=Р 2	ТР 0 Т=Р 3
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&-1&0\\0&0&-1&0&0\\0&-1&0&0&0\\-1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(0,0,0,1,-1) н	(0,0,1,−1,0) н	(0,1,−1,0,0) н	(1,−1,0,0,0) н

[4,3,3]

Неприводимая 4-мерная конечная отражающая группа — это гипероктаэдрическая группа (или гексадекагорическая группа (для 16-ячеечной ), B ₄ =[4,3,3], порядок 384, . Матрицами генераторов отражения являются R ₀ , R ₁ , R ₂ , R ₃ . р ₀ ² = Р ₁ ² =Р ₂ ² = Р ₃ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁴ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₂ ×R ₃ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =(R ₁ ×R ₃ ) ² =(R ₀ ×R ₃ ) ² = Личность.

Киральная гипероктаэдрическая симметрия, [4,3,3] ⁺ , ( ) генерируется 3 из 6 вращений: S _0,1 , S _1,2 , S _2,3 , S _0,2 , S _1,3 и S _0,3 . Гиперпиритоэдрическая симметрия [4,(3,3) ⁺ ], ( ) генерируется отражением R ₀ и вращениями S _1,2 и S _2,3 . 8-кратное двойное вращение генерируется W _0,1,2,3 , продуктом всех 4 отражений.

[4,3,3],

	Размышления				Ротации						Роторное отражение				Двойное вращение
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3	С 0,1	С 1,2	С 2,3	С 0,2	С 1,3	С 0,3	В 1,2,3	В 0,1,3	В 0,1,2	В 0,2,3	Вт 0,1,2,3
Группа
Заказ	2	2	2	2	4	3		2			4		6		8
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1) н	(0,0,1,−1) н	(0,1,−1,0) н	(1,−1,0,0) н

[3,3 ^1,1 ]

Полугруппа из [4,3,3] — это [3,3 ^1,1 ], , порядок 192. Он разделяет 3 генератора с группой [4,3,3], но имеет две копии соседнего генератора, одна из которых отражается через удаленное зеркало.

[3,3 ^1,1 ],

	Размышления
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3
Группа
Заказ	2	2	2	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0) н	(0,1,−1,0) н	(0,0,1,−1) н	(0,0,1,1) н

[3,4,3]

Неприводимая 4-мерная конечная отражающая группа — это икоситетрахорическая группа (для 24-клеток ), F ₄ =[3,4,3], порядок 1152, . Матрицами генераторов отражения являются R ₀ , R ₁ , R ₂ , R ₃ . р ₀ ² = Р ₁ ² =Р ₂ ² = Р ₃ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ³ =(R ₁ ×R ₂ ) ⁴ =(R ₂ ×R ₃ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =(R ₁ ×R ₃ ) ² =(R ₀ ×R ₃ ) ² = Личность.

Киральная икоситетрахорная симметрия, [3,4,3] ⁺ , ( ) генерируется 3 из 6 вращений: S _0,1 , S _1,2 , S _2,3 , S _0,2 , S _1,3 и S _0,3 . Ионическое уменьшение [3,4,3 ⁺ ] группа, ( ) генерируется отражением R ₀ и вращениями S _1,2 и S _2,3 . 12-кратное двойное вращение генерируется W _0,1,2,3 , продуктом всех 4 отражений.

[3,4,3],

	Размышления				Ротации
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3	С 0,1	С 1,2	С 2,3	С 0,2	С 1,3	С 0,3
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	3	4	3	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0) н	(0,1,−1,0) н	(0,0,1,0) н	(−1,−1,−1,−1) n

[3,4,3],

	Роторное отражение				Двойное вращение
Имя	В 1,2,3	В 0,1,3	В 0,1,2	В 0,2,3	Вт 0,1,2,3
Группа элементов
Заказ	6				12
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[3,4,3]]

Группа [[3,4,3]] расширяет [3,4,3] двукратным поворотом T, увеличивая порядок удвоения до 2304.

[[3,4,3]],

	Вращение	Размышления
Имя	Т	RР0	Р 1	Р 2 = ТР 1 Т	Р 3 = ТР 0 Т
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	2
Матрица		$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(1,−1,0,0) н	(0,1,−1,0) н	(0,0,1,0) н	(−1,−1,−1,−1) n

[5,3,3]

Стереографические проекции

[5,3,3] + 72 порядка-5 витков	[5,3,3] + 200 порядка-3 оборота
[5,3,3] + 450 порядка-2 оборота	[5,3,3] + все вращения

Гиперикосаэдрическая симметрия, [5,3,3], порядка 14400, . Матрицами генераторов отражения являются R ₀ , R ₁ , R ₂ , R ₃ . р ₀ ² = Р ₁ ² =Р ₂ ² = Р ₃ ² =(R ₀ ×R ₁ ) ⁵ =(R ₁ ×R ₂ ) ³ =(R ₂ ×R ₃ ) ³ =(R ₀ ×R ₂ ) ² =(R ₀ ×R ₃ ) ² =(R ₁ ×R ₃ ) ² = Личность. [5,3,3] ⁺ ( ) порождается тремя вращениями: S _0,1 = R ₀ ×R ₁ , S _1,2 = R ₁ ×R ₂ , S _2,3 = R ₂ ×R ₃ и т. д.

[5,3,3],

	Размышления
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&0\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\0&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0,0) н	(φ,1,φ−1,0) n	(0,1,0,0) н	(0,−1,φ,1−φ) n

Ранг 8

[3 ^4,2,1 ]

Группа Кокстера E8 , [3 ^4,2,1 ], , имеет 8 зеркальных узлов, заказ 696729600 (192х10!). Е7 и Е6, [3 ^3,2,1 ], , и [3 ^2,2,1 ], может быть построено путем игнорирования первого зеркала или первых двух зеркал соответственно.

Е8=[3 ^4,2,1 ],

	Размышления
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3	Р 4	RР5	RР6	RР7
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	2	2	2	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,-1,0,0,0,0,0,0) н	(0,1,-1,0,0,0,0,0) н	(0,0,1,-1,0,0,0,0) н	(0,0,0,1,-1,0,0,0) н	(0,0,0,0,1,-1,0,0) н	(0,0,0,0,0,1,-1,0) н	(0,0,0,0,0,1,1,0) н	(1,1,1,1,1,1,1,1) н

Аффинный ранг 2

Аффинные матрицы представляются путем добавления дополнительной строки и столбца, причем последняя строка равна нулю, за исключением последней записи 1. Последний столбец представляет вектор перевода.

[∞]

Аффинная группа [∞], , может быть задано двумя матрицами отражения, x=0 и x=1.

[∞],

	Размышления		Перевод
Имя	RР0	Р 1	С 0,1
Группа элементов
Заказ	2	2	∞
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&-1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	х=0	х=1

Аффинный ранг 3

[4,4]

Дополнительная информация: Tetrakis_square_tiling § Симметрия.

Аффинная группа [4,4], , (p4m), может быть задано тремя матрицами отражения: отражениями по оси x (y=0), диагональю (x=y) и аффинным отражением поперек линии (x=1). [4,4] ⁺ ( ) (p4) порождается S _0,1 S _1,2 и S _0,2 . [4 ⁺ ,4 ⁺ ] ( ) (pgg) генерируется 2-кратным вращением S _0,2 и скользящим отражением (трансотражением) V _0,1,2 . [4 ⁺ ,4] ( ) (p4g) порождается S _0,1 и R ₃ . Группа [(4,4,2 ⁺ )] ( ) (см), генерируется 2-кратным вращением S _1,3 и отражением R ₂ .

[4,4],

	Размышления			Ротации			Скользит
Имя	RР0	Р 1	RР2	С 0,1	С 1,2	С 0,2	В 0,1,2	В 0,2,1
Группа элементов
Заказ	2	2	2	4		2	∞ (2)
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&-2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&2\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	у=0	х=у	х=1

[3,6]

Аффинная группа [3,6], , (p6m), может быть задан тремя матрицами отражений: отражениями по оси x (y=0), линией y=(√3/2)x и вертикальной линией x=1.

[3,6],

	Размышления			Ротации			Скользит
Имя	RР0	Р 1	RР2	С 0,1	С 1,2	С 0,2	В 0,1,2	В 0,2,1
Группа элементов
Заказ	2	2	2	3	6	2	∞ (2)
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2&2\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	у=0	у=(√3/2)х	х=1

[3 ^[3] ]

Аффинная группа [3 ^[3] ] можно построить как полугруппу . R ₂ заменяется на R' ₂ = R ₂ ×R ₁ ×R ₂ , представленный гиперплоскостью: y+(√3/2)x=2. Фундаментальная область представляет собой равносторонний треугольник с длиной ребра 2.

[3 ^[3] ],

	Размышления			Ротации			Скользит
Имя	RР0	Р 1	R' 2 = R 2 ×R 1 ×R 2	С 0,1	С 1,2	С 0,2	В 0,1,2	В 0,2,1
Группа элементов
Заказ	2	2	2	3			∞ (2)
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&-2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	у=0	у=(√3/2)х	у+(√3/2)х=2

Аффинный ранг 4

[4,3,4]

[4,3,4] фундаментальная область

Аффинная группа — это [4,3,4] ( ), может быть задано четырьмя матрицами отражений. Зеркало R ₀ можно разместить в плоскости z=0. Зеркало R ₁ можно разместить в плоскости y=z. Зеркало R ₂ можно расположить в плоскости x=y. Зеркало R ₃ можно разместить в плоскости x=1. [4,3,4] ⁺ ( ) генерируется S _0,1 , S _1,2 и S _2,3 .

[4,3,4],

	Размышления				Ротации						Транслексии		Винтовая ось
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р 3	С 0,1	С 1,2	С 2,3	С 0,2	С 0,3	С 1,3	Т 0,1,2	Т 1,2,3	У 0,1,2,3
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	4	3	4	2			6		∞ (3)
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	г=0	у=z	х=у	х=1

[[4,3,4]]

Расширенная группа [[4,3,4]] удваивает порядок группы, добавляя матрицу двукратного вращения T с фиксированной осью через точки (1,1/2,0) и (1/2,1/ 2,1/2). Генераторы: {R ₀ ,R ₁ ,T}. R ₂ = Т×R ₁ ×Т и R ₃ = Т×R ₀ ×Т.

[[4,3,4]],

	Вращение	Размышления
Имя	Т	RР0	Р 1	Р 2 = Т × Р 1 × Т	Р 3 = Т×Р 0 ×Т
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1&1\\0&-1&0&1\\-1&0&0&1\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	Точка (1/2,1/2,1/2) Ось (-1,0,1)	г=0	у=z	х=у	х=1

[4,3 ^1,1 ]

[4,3 ^1,1 ] фундаментальная область

Группа [4,3 ^1,1 ] можно построить из [4,3,4], вычислив [4,3,4,1 ⁺ ], , поскольку R' ₃ =R ₃ ×R ₂ ×R ₃ , с новым R' ₃ как образом R ₂ через R ₃ .

[4,3 ^1,1 ],

	Размышления				Ротации
Имя	RР0	Р 1	RР2	Р'3 ​	С 0,1	С 1,2	С 1,3	С 0,2	С 0,3	С 2,3
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	3	3	3	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	г=0	у=z	х=у	х+у=2

[3 ^[4] ]

[3 ^[4] ] фундаментальная область

Группа [3 ^[4] ] можно построить из [4,3,4], удалив первое и последнее зеркала, [1 ⁺ ,4,3,4,1 ⁺ ], , посредством R' ₁ =R ₀ ×R ₁ ×R ₀ и R' ₃ =R ₃ ×R ₂ ×R ₃ .

[3 ^[4] ]

	Размышления				Ротации
Имя	Р' 0	Р 1	RР2	Р'3 ​	С 0,1	С 1,2	С 1,3	С 0,2	С 0,3	С 2,3
Группа элементов
Заказ	2	2	2	2	3	3	3	2
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&-1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&-1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Гиперплоскость	y=-z	у=z	х=у	х+у=2

Ссылки

• ХСМ Коксетер :
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [2]
    • (Документ 22) Коксетер, HSM (1940), «Правильные и полуправильные многогранники I» , Math. З. , 46 : 380–407, doi : 10.1007/bf01181449 , S2CID   186237114
    • (Документ 23) Коксетер, HSM (1985), «Правильные и полуправильные многогранники II» , Math. З. , 188 (4): 559–591, doi : 10.1007/bf01161657 , S2CID   120429557
    • (Документ 24) Коксетер, HSM (1988), «Правильные и полуправильные многогранники III» , Math. З. , 200 : 3–45, doi : 10.1007/bf01161745 , S2CID   186237142
• Коксетер, HSM; Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9 .
• Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
  • Норман В. Джонсон и Азия Ивик Вайс Квадратные целые числа и группы Кокстера. Архивировано 26 марта 2023 г. в Wayback Machine PDF Can. Дж. Математика. Том. 51 (6), 1999, стр. 1307–1336.
  • Н. В. Джонсон: Геометрии и трансформации , (2018) ISBN   978-1-107-10340-5 [3] PDF
• Конвей, Джон Хортон ; Дельгадо Фридрихс, Олаф; Хьюсон, Дэниел Х.; Терстон, Уильям П. (2001), «О трехмерных пространственных группах» , Вклад в алгебру и геометрию , 42 (2): 475–507, ISSN   0138-4821 , MR   1865535
• Джон Х. Конвей и Дерек А. Смит, О кватернионах и октонионах , 2003 г., ISBN   978-1-56881-134-5
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN   978-1-56881-220-5 Глава 22 35 простых пространственных групп , глава 25 184 составных пространственных группы , глава 26 Еще выше , 4D точечные группы