Усеченная шестиугольная плитка порядка 4

Усеченная шестиугольная плитка порядка 4
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая равномерная мозаика
Конфигурация вершин	4.12.12
Символ Шлефли	т{6,4} tr{6,6} или $t{\begin{Bmatrix}6\\6\end{Bmatrix}}$
Символ Витхоффа	2 4 \| 6 2 6 6 \|
Диаграмма Кокстера	или
Группа симметрии	[6,4], (642) [6,6], (662)
Двойной	Квадратная плитка тетракиса порядка 6
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В геометрии усеченная шестиугольная мозаика четвертого порядка представляет собой равномерную мозаику гиперболической плоскости . Он имеет символ Шлефли t{6,4}. Вторичная конструкция tr{6,6} называется усечённой шестиугольной мозаикой с двумя цветами додекагонов .

Конструкции

Существуют две однородные конструкции этого мозаики, первая из [6,4] калейдоскоп , и более низкая симметрия за счет удаления последнего зеркала, [6,4,1 ⁺], дает [6,6], (*662).

Две однородные конструкции по 4.6.4.6.
Имя	Тетрашестиугольный	Усеченный шестиугольный
Изображение
Симметрия	[6,4] (*642)	[6,6] = [6,4,1 ⁺] (*662) =
Символ	т{6,4}	тр{6,6}
Диаграмма Кокстера

Двойная черепица


Двойная мозаика, квадратная мозаика тетракиса 6-го порядка, имеет конфигурацию граней V4.12.12 и представляет собой фундаментальные области группы симметрии [6,6].

Связанные многогранники и мозаика

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4,2 n .2 n v т и
Symmetry *n42 [n,4]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Truncated figures
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis figures
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Однородные тетрагексагональные мозаики v т и
*Symmetry: [6,4], (642)** (with [6,6] (662), [(4,3,3)] (443) , [∞,3,∞] (3222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,3,∞,3)] (3232) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= = =	=

{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
Uniform duals


V6⁴	V4.12.12	V(4.6)²	V6.8.8	V4⁶	V4.4.4.6	V4.8.12
Alternations
[1⁺,6,4] (*443)	[6⁺,4] (6*2)	[6,1⁺,4] (*3222)	[6,4⁺] (4*3)	[6,4,1⁺] (*662)	[(6,4,2⁺)] (2*32)	[6,4]⁺ (642)
=	=	=	=	=	=

h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

Равномерные шестиугольные мозаики v т и
Symmetry: [6,6], (*662)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =

{6,6} = h{4,6}	t{6,6} = h₂{4,6}	r{6,6} {6,4}	t{6,6} = h₂{4,6}	{6,6} = h{4,6}	rr{6,6} r{6,4}	tr{6,6} t{6,4}
Uniform duals


V6⁶	V6.12.12	V6.6.6.6	V6.12.12	V6⁶	V4.6.4.6	V4.12.12
Alternations
[1⁺,6,6] (*663)	[6⁺,6] (6*3)	[6,1⁺,6] (*3232)	[6,6⁺] (6*3)	[6,6,1⁺] (*663)	[(6,6,2⁺)] (2*33)	[6,6]⁺ (662)
=		=		=


h{6,6}	s{6,6}	hr{6,6}	s{6,6}	h{6,6}	hrr{6,6}	sr{6,6}

Симметрия

Двойственный тайлинг представляет фундаментальные области (*662) орбифолдной симметрии. Согласно симметрии [6,6] (*662), существует 15 малых индексных подгрупп (12 уникальных) с помощью операторов зеркального удаления и чередования . Зеркала можно удалить, если все его порядки ветвей четные, и это сокращает соседние порядки ветвей пополам. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются удаленные зеркала. В этих изображениях фундаментальные области попеременно окрашены в черный и белый цвета, а на границах между цветами существуют зеркала. Индекс подгруппы -8 группа, [1 ⁺,6,1 ⁺,6,1 ⁺] (3333) — коммутатор из [6,6].

Большая подгруппа, построенная как [6,6 ^*], удаляя точки вращения (6*3), индекс 12 становится (*333333).

Симметрию можно удвоить до симметрии 642 , добавив зеркало, чтобы разделить фундаментальную область пополам.

Малые индексные подгруппы [6,6] (*662)
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[6,6]	[1⁺,6,6] =	[6,6,1⁺] =	[6,1⁺,6] =	[1⁺,6,6,1⁺] =	[6⁺,6⁺]
Orbifold	*662	*663		*3232	*3333	33×
Direct subgroups
Diagram
Coxeter		[6,6⁺]	[6⁺,6]	[(6,6,2⁺)]	[6,1⁺,6,1⁺] = = = =	[1⁺,6,1⁺,6] = = = =
Orbifold		6*3		2*33	3*33
Direct subgroups
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[6,6]⁺	[6,6⁺]⁺ =	[6⁺,6]⁺ =	[6,1⁺,6]⁺ =	[6⁺,6⁺]⁺ = [1⁺,6,1⁺,6]⁺ = = =
Orbifold	662	663		3232	3333
Radical subgroups
Index		12		24
Diagram
Coxeter		[6,6*]	[6*,6]	[6,6*]⁺	[6*,6]⁺
Orbifold		*333333		333333

Ссылки

Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
«Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

См. также

Внешние ссылки