Усеченная тетрагексагональная мозаика

Усеченная тетрагексагональная мозаика
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая равномерная мозаика
Конфигурация вершин	4.8.12
Символ Шлефли	tr{6,4} или $t{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}$
Символ Витхоффа	2 6 4 |
Диаграмма Кокстера	или
Группа симметрии	[6,4], (*642)
Двойной	Мозаика из ромбов порядка 4-6
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В геометрии представляет усеченная тетрагексагональная мозаика собой полуправильную мозаику гиперболической плоскости. имеется один квадрат , один восьмиугольник и один двенадцатиугольник В каждой вершине . Он имеет символ Шлефли tr{6,4}.

Двойная черепица

Двойная мозаика называется киромбильной мозаикой 4-6 порядка и представляет собой полное деление пополам шестиугольной мозаики 4-го порядка , здесь треугольники показаны чередующимися цветами. Это разбиение представляет фундаментальные треугольные области симметрии [6,4] (*642).

Связанные многогранники и мозаики

показывать * n 42 мутация симметрии всеусеченных мозаик: 4.8.2n
Symmetry *n42 [n,4]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Omnitruncated figure	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Omnitruncated duals	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

показывать * nn 2 мутации симметрии всеусеченных мозаик: 4,2 n .2 n
Symmetry *nn2 [n,n]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Figure
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Dual
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Из конструкции Витхоффа существует четырнадцать гиперболических однородных мозаик , которые могут быть основаны на регулярной шестиугольной мозаике четвертого порядка.

Если нарисовать плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, получится 7 форм с полной [6,4] симметрией и 7 с субсимметрией.

показывать Однородные тетрагексагональные мозаики
Symmetry: [6,4], (*642) (with [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,3,∞,3)] (*3232) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= = =	=
{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
Uniform duals
V64	V4.12.12	V(4.6)2	V6.8.8	V46	V4.4.4.6	V4.8.12
Alternations
[1+,6,4] (*443)	[6+,4] (6*2)	[6,1+,4] (*3222)	[6,4+] (4*3)	[6,4,1+] (*662)	[(6,4,2+)] (2*32)	[6,4]+ (642)
=	=	=	=	=	=
h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

Симметрия

Усеченная тетрагексагональная плитка с зеркальными линиями зеленого, красного и синего цветов:

Диаграммы симметрии для малых индексных подгрупп из [6,4], показанные в шестиугольной трансляционной ячейке внутри мозаики {6,6} , с фундаментальной областью, выделенной желтым цветом.

Двойственный тайлинг представляет фундаментальные области (*642) орбифолдной симметрии. Из симметрии [6,4] существует 15 малых индексных подгрупп операторов зеркального удаления и чередования . Зеркала можно удалить, если все его порядки ветвей четные, и это сокращает соседние порядки ветвей пополам. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются удаленные зеркала. На этих изображениях уникальные зеркала окрашены в красный, зеленый и синий цвета, а треугольники попеременного цвета показывают расположение точек вращения. [6 ⁺ ,4 ⁺ ], (32×) подгруппа имеет узкие линии, обозначающие скользящие отражения. Индекс подгруппы -8 группа, [1 ⁺ ,6,1 ⁺ ,4,1 ⁺ ] (3232) — коммутатор из [6,4].

Большая подгруппа, построенная как [6,4*], удаляющая точки вращения [6,4 ⁺ ], (3*22), индекс 6 становится ( *3333 ) и [6*,4], удаляя точки вращения [6 ⁺ ,4], (2*33), индекс 12 как ( *222222 ). Наконец, их прямые подгруппы [6,4*] ⁺ , [6*,4] ⁺ , индексы подгрупп 12 и 24 соответственно, могут быть заданы в орбифолдных обозначениях как (3333) и (222222).

hideМалые индексные подгруппы из [6,4]
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Коксетер	[6,4] = =	[1 + ,6,4] =	[6,4,1 + ] = =	[6,1 + ,4] =	[1 + ,6,4,1 + ] =	[6 + ,4 + ]
Генераторы	{ 0 , 1 , 2 }	{ 1 , 010 , 2 }	{ 0 , 1 , 212 }	{ 0 , 101 , 2 , 121 }	{ 1 , 010 , 212 , 20102 }	{012,021}
Орбифолд	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Полупрямые подгруппы
Диаграмма
Коксетер		[6,4 + ]	[6 + ,4]	[(6,4,2 + )]	[6,1 + ,4,1 + ] = = = =	[1 + ,6,1 + ,4] = = = =
Генераторы		{ 0 ,12}	{01, 2 }	{ 1 ,02}	{ 0 , 101 ,1212}	{0101, 2 , 121 }
Орбифолд		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Коксетер	[6,4] + =	[6,4 + ] + =	[6 + ,4] + =	[(6,4,2 + )] + =	[6 + ,4 + ] + = [1 + ,6,1 + ,4,1 + ] = = =
Генераторы	{01,12}	{(01) 2 ,12}	{01,(12) 2 }	{02,(01) 2 ,(12) 2 }	{(01) 2 ,(12) 2 ,2(01) 2 2}
Орбифолд	642	443	662	3222	3232
Радикальные подгруппы
Индекс		8	12	16	24
Диаграмма
Коксетер		[6,4*] =	[6*,4]	[6,4*] + =	[6*,4] +
Орбифолд		*3333	*222222	3333	222222

См. также

• Замощения правильных многоугольников
• Список однородных плоских мозаик

Ссылки

• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
• «Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN  0-486-40919-8 . LCCN   99035678 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая мозаика» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре» . Математический мир .
• Галерея гиперболических и сферических плиток
• KaleidoTile 3: образовательное программное обеспечение для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик.
• Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч