Укладка плитки порядка 6 квадратов

Укладка плитки порядка 6 квадратов
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая регулярная мозаика
Конфигурация вершин	4 ⁶
Символ Шлефли	{4,6}
Символ Витхоффа	6 \| 4 2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	[6,4], (*642)
Двойной	Шестиугольная плитка порядка 4
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , грани-транзитивный

В геометрии квадратная мозаика порядка 6 представляет собой правильную мозаику гиперболической плоскости . Он имеет символ Шлефли {4,6}.

Симметрия

Эта мозаика представляет собой гиперболический калейдоскоп из четырех зеркал, образующих края квадрата, с шестью квадратами вокруг каждой вершины. Эта симметрия в обозначениях орбифолда называется (*3333) с четырьмя зеркальными пересечениями третьего порядка. В обозначениях Кокстера их можно представить как [6,4 ^*], удаление двух из трёх зеркал (проходящих через центр квадрата) в симметрии [6,4] . Симметрию *3333 можно удвоить до симметрии 663 , добавив зеркало, делящее пополам фундаментальную область.

Эта двухцветная квадратная мозаика показывает четные/нечетные отражающие фундаментальные квадратные области этой симметрии. Это двухцветное замощение имеет конструкцию Витхоффа t ₁ {(4,4,3)}. Вторая шестицветная симметрия может быть построена на основе области гексагональной симметрии.

[4,6,1 ⁺] = [(4,4,3)] или (*443) симметрия =	[4,6 ^] = (222222) симметрия =

Пример иллюстрации

Примерно в 1956 году Эшер исследовал концепцию представления бесконечности на двухмерной плоскости. Дискуссии с канадским математиком Х.С.М. Коксетером вдохновили Эшера на интерес к гиперболическим мозаикам, которые представляют собой регулярные мозаики гиперболической плоскости. Гравюры Эшера на дереве «Круг Предел I – IV» демонстрируют эту концепцию. Последняя из них Circle Limit IV (Heaven and Hell) (1960) представляет собой плитку, повторяющую ангелов и дьяволов посредством (*3333) симметрии на гиперболической плоскости в проекции диска Пуанкаре .

На изображении ниже добавлено приблизительное гиперболическое зеркальное наложение, чтобы показать области квадратной симметрии квадратной мозаики 6-го порядка. Если присмотреться, то можно увидеть, что один из четырех ангелов и чертей вокруг каждого квадрата нарисованы обратной стороной. Без этого варианта искусство имело бы 4-кратную точку вращения в центре каждого квадрата, что давало бы (4*3), [6,4 ⁺] симметрия. ^[1]

Связанные многогранники и мозаика

Это замощение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников и замощений с фигурой вершины (4 ^н).

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: {4, n } v т и
Spherical	Euclidean	Compact hyperbolic				Paracompact
{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,7}	{4,8}...	{4,∞}

Это разбиение топологически связано как часть последовательности правильных разбиений с вершинами порядка 6 с символом Шлефли {n,6} и диаграммой Коксетера , стремясь к бесконечности.

Регулярные мозаики { n ,6} v т и
Spherical	Euclidean	Hyperbolic tilings
{2,6}	{3,6}	{4,6}	{5,6}	{6,6}	{7,6}	{8,6}	...	{∞,6}

Однородные тетрагексагональные мозаики v т и
*Symmetry: [6,4], (642)** (with [6,6] (662), [(4,3,3)] (443) , [∞,3,∞] (3222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,3,∞,3)] (3232) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= = =	=

{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
Uniform duals


V6⁴	V4.12.12	V(4.6)²	V6.8.8	V4⁶	V4.4.4.6	V4.8.12
Alternations
[1⁺,6,4] (*443)	[6⁺,4] (6*2)	[6,1⁺,4] (*3222)	[6,4⁺] (4*3)	[6,4,1⁺] (*662)	[(6,4,2⁺)] (2*32)	[6,4]⁺ (642)
=	=	=	=	=	=

h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

Равномерные (4,4,3) мозаики v т и
Symmetry: [(4,4,3)] (*443)							[(4,4,3)]⁺ (443)	[(4,4,3⁺)] (3*22)	[(4,1⁺,4,3)] (*3232)



h{6,4} t₀(4,4,3)	h₂{6,4} t_0,1(4,4,3)	{4,6}¹/₂ t₁(4,4,3)	h₂{6,4} t_1,2(4,4,3)	h{6,4} t₂(4,4,3)	r{6,4}¹/₂ t_0,2(4,4,3)	t{4,6}¹/₂ t_0,1,2(4,4,3)	s{4,6}¹/₂ s(4,4,3)	hr{4,6}¹/₂ hr(4,3,4)	h{4,6}¹/₂ h(4,3,4)	q{4,6} h₁(4,3,4)
Uniform duals

V(3.4)⁴	V3.8.4.8	V(4.4)³	V3.8.4.8	V(3.4)⁴	V4.6.4.6	V6.8.8	V3.3.3.4.3.4	V(4.4.3)²	V6⁶	V4.3.4.6.6

Однородные мозаики по симметрии *3222 v т и
6⁴	6.6.4.4	(3.4.4)²	4.3.4.3.3.3
6.6.4.4	6.4.4.4	3.4.4.4.4
(3.4.4)²	3.4.4.4.4	4⁶

См. также

Ссылки

^ Конвей, Симметрия вещей (2008), стр.224, рисунок 17.4, Circle Limit IV. Архивировано 17 июля 2012 г. в Wayback Machine.

Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
«Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая мозаика» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре» . Математический мир .
Галерея гиперболических и сферических плиток
KaleidoTile 3: образовательное программное обеспечение для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик.
Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч
Предварительный просмотр GenusView 0.4 Вид гиперболической мозаики {4,6} и соответствующей трехмерной поверхности тора.

[1] Конвей, Симметрия вещей (2008), стр.224, рисунок 17.4, Circle Limit IV. Архивировано 17 июля 2012 г. в Wayback Machine.

[1]