Обозначение орбифолда

В геометрии ) — это орбифолдная нотация (или орбифолдная подпись система, изобретенная математиком Уильямом Терстоном и продвигаемая Джоном Конвеем , для представления типов групп симметрии в двумерных пространствах постоянной кривизны. Преимущество обозначений состоит в том, что они описывают эти группы таким образом, который указывает на многие свойства групп: в частности, они следуют за Уильямом Терстоном в описании орбифолда, полученного путем факторизации евклидова пространства по рассматриваемой группе.

К группам, представимым в этих обозначениях, относятся группы точек на сфере ( $S^{2}$), группы фризов и группы обоев плоскости евклидовой ( $E^{2}$) и их аналоги на гиперболической плоскости ( $H^{2}$).

Определение обозначений

Следующие типы евклидовых преобразований могут происходить в группе, описываемой орбифолдной нотацией:

• отражение через линию (или плоскость)
• перевод по вектору
• вращение конечного порядка вокруг точки
• бесконечное вращение вокруг линии в трехмерном пространстве
• скольжение-отражение, т.е. отражение с последующим переводом.

Предполагается, что все происходящие трансляции образуют дискретную подгруппу описываемых групповых симметрий.

Каждая группа обозначается в орбифолдной записи конечной строкой, состоящей из следующих символов:

• положительные целые числа $1,2,3,\dots$
• символ бесконечности , $\infty$
• звездочка * ,
• символ o (сплошной круг в старых документах), который называется чудом , а также ручкой, поскольку топологически он представляет собой замкнутую поверхность тора (с 1 ручкой). Узоры повторяются по двум переводам.
• символ $\times$ (открытый круг в старых документах), который называется чудом и представляет собой топологический перекресток , где узор повторяется как зеркальное отражение, не пересекая зеркальную линию.

Строка, выделенная жирным шрифтом, представляет группу симметрий евклидова трехмерного пространства. Строка, не выделенная жирным шрифтом, представляет собой группу симметрий евклидовой плоскости, которая, как предполагается, содержит два независимых перевода.

Каждый символ соответствует отдельному преобразованию:

• целое число n слева от звездочки указывает на вращение порядка n вокруг точки вращения.
• звездочка , * указывает на отражение
• целое число n справа от звездочки указывает на преобразование порядка 2 n , которое вращается вокруг калейдоскопической точки и отражается через линию (или плоскость)
• а $\times$ указывает на скользящее отражение
• символ $\infty$ указывает на бесконечную вращательную симметрию вокруг линии; это может произойти только для жирных групп лиц. Злоупотребляя языком, мы могли бы сказать, что такая группа представляет собой подгруппу симметрий евклидовой плоскости только с одним независимым переносом. Группы фризов возникают таким образом.
• исключительный символ o указывает на то, что существует ровно два линейно независимых перевода.

Хорошие орбифолды

Орбифолдный символ называется хорошим, если он не является одним из следующих: p , pq , * p , * pq , для p , q ≥ 2 и p ≠ q .

Хиральность и ахиральность

Объект является киральным , если его группа симметрии не содержит отражений; в противном случае его называют ахиральным . Соответствующий орбифолд ориентируем в киральном случае и неориентируем в противном случае.

Эйлерова

Эйлерову характеристику орбифолда . можно прочитать из его символа Конвея следующим образом Каждая функция имеет значение:

• n без звездочки или перед ней считается ${\frac {n-1}{n}}$
• n после звездочки считается ${\frac {n-1}{2n}}$
• звездочка и $\times$ считать как 1
• о считается как 2.

Вычитание суммы этих значений из 2 дает эйлерову характеристику.

Если сумма значений признаков равна 2, порядок бесконечен, т. е. обозначение представляет группу обоев или группу фризов. Действительно, «Волшебная теорема» Конвея указывает, что 17 групп обоев — это именно те группы, у которых сумма значений признаков равна 2. В противном случае порядок равен 2, разделенному на эйлерову характеристику.

Равные группы

Следующие группы изоморфны:

• 1* и *11
• 22 и 221
• *22 и *221
• 2* и 2*1.

Это связано с тем, что 1-кратное вращение является «пустым» вращением.

Двумерные группы

Идеальная снежинка должна иметь симметрию *6•,

Пятиугольник . имеет симметрию *5•, все изображение со стрелками 5•

Флаг Гонконга имеет пятикратную симметрию вращения, 5•.

Симметрию объекта без 2D- трансляционной симметрии можно описать типом 3D-симметрии путем добавления к объекту третьего измерения, которое не добавляет и не портит симметрию. Например, в качестве 2D-изображения мы можем рассмотреть кусок картона, на одной стороне которого отображается это изображение; форма коробки должна быть такой, чтобы не нарушать симметрию, иначе ее можно представить бесконечной. Таким образом, мы имеем n • и * n •. Маркер . (•) добавляется к одномерным и двумерным группам, чтобы указать на существование фиксированной точки (В трех измерениях эти группы существуют в n-кратном двуугольном орбифолде и представлены как nn и * nn .)

Аналогичным образом, одномерное изображение может быть нарисовано горизонтально на куске картона с условием, чтобы избежать дополнительной симметрии относительно линии изображения, например, путем рисования горизонтальной полосы под изображением. Таким образом, дискретными группами симметрии в одном измерении являются *•, *1•, ∞• и *∞•.

Другой способ создания 3D-объекта из 1D- или 2D-объекта для описания симметрии — взять декартово произведение объекта и асимметричного 2D- или 1D-объекта соответственно.

Таблицы соответствия

Сферический

Основные области отражающих трехмерных точечных групп

(*11), C 1v = C s	(*22), Ц 2в	(*33), Ц 3в	(*44), Ц 4в	(*55), Ц 5В	(*66), Ц 6в
Заказ 2	Заказ 4	Заказ 6	Заказать 8	Заказать 10	Заказ 12
(*221), Д 1h = С 2в	(*222), Д 2ч	(*223), Д 3ч	(*224), Д 4ч	(*225), Д 5ч	(*226), Д 6ч
Заказ 4	Заказать 8	Заказ 12	Заказ 16	Заказать 20	Заказ 24
(*332), Т д		(*432), О ч		(*532), I h
Заказ 24		Заказ 48		Заказать 120

Смотрите также: Список сферических групп симметрии

Сферические группы симметрии

Орбифолд подпись	Коксетер	Шенфлис	Герман-Моген	Заказ
Полиэдральные группы
*532	[3,5]	I h	53 м	120
532	[3,5] +	я	532	60
*432	[3,4]	Ой ​	м3м	48
432	[3,4] +	ТО	432	24
*332	[3,3]	Т д	4 3м	24
3*2	[3 + ,4]	Т ч	m3	24
332	[3,3] +	Т	23	12
Диэдральные и циклические группы: n = 3, 4, 5...
*22н	[2, н]	Д нх	н/ммм или 2 н м2	4n
2*н	[2 + ,2n]	Д нд	2 н 2м или н м	4n
22н	[2, н] +	Д н	n2	2н
*нн	[н]	С нв	нм	2н
н*	[н + ,2]	С нх	н/м или 2 н	2н
n×	[2 + ,2н + ]	С 2н	2 н или н	2н
пп	[н] +	С н	н	н
Особые случаи
*222	[2,2]	Д 2 часа	2/ммм или 2 2 м2	8
2*2	[2 + ,4]	Д 2д	2 2 2м или 2 м	8
222	[2,2] +	DД2	22	4
*22	[2]	С 2 в	2м	4
2*	[2 + ,2]	С 2 часа	2/м или 2 2	4
2×	[2 + ,4 + ]	С 4	2 2 или 2	4
22	[2] +	С 2	2	2
*22	[1,2]	Д 1h = С 2в	1/ммм или 2 1 м2	4
2*	[2 + ,2]	Д 1д = С 2ч	2 1 2м или 1 м	4
22	[1,2] +	Д 1 = С 2	12	2
*1	[ ]	С 1в = С с	1 м	2
1*	[2,1 + ]	С 1h = С с	1/м или 2 1	2
1×	[2 + ,2 + ]	S 2 = C я	2 1 или 1	2
1	[ ] +	С 1	1	1

Евклидова плоскость

Смотрите также: Список плоских групп симметрии

Фризовые группы

Фризовые группы

МУК	Кокс.	Хороший. *	Орбифолд	Диаграмма §	Примеры и Конвея Прозвище		Описание
п1	[∞] +	C ∞ Z ∞	∞∞			прыгать	(T) Только переводы: Эта группа генерируется отдельно путем перемещения на наименьшее расстояние, на котором образец является периодическим.
p11g	[∞ + ,2 + ]	S ∞ Z ∞	∞×			шаг	(ТГ) Скользящие отражения и переводы: Эта группа генерируется отдельно посредством скользящего отражения, а переводы получаются путем объединения двух скользящих отражений.
п1м1	[∞]	C ∞v Dih ∞	*∞∞			мы ели	(ТВ) Вертикальные линии отражения и переводы: Группа аналогична нетривиальной группе в одномерном случае; он генерируется перемещением и отражением по вертикальной оси.
п2	[∞,2] +	D ∞ Dih ∞	22∞			вращающийся хоп	(TR) Трансляции и повороты на 180°: Группа создается путем перемещения и поворота на 180°.
п2мг	[∞,2 + ]	D ∞d Dih ∞	2*∞			вращающаяся сторона	(TRVG) Вертикальные линии отражения, скользящие отражения, перемещения и повороты на 180°: Переводы здесь возникают из-за скользящих отражений, поэтому эта группа генерируется скользящим отражением и либо вращением, либо вертикальным отражением.
п11м	[∞ + ,2]	C ∞h Z ∞ ×Dih 1	∞*			прыгать	(THG) Трансляции, Горизонтальные отражения, Скользящие отражения: Эта группа порождается перемещением и отражением по горизонтальной оси. Отражение скольжения здесь возникает как сочетание поступательного движения и горизонтального отражения.
п2мм	[∞,2]	D ∞h Dih ∞ ×Dih 1	*22∞			прыжок с вращением	(TRHVG) Горизонтальные и вертикальные линии отражения, перемещения и повороты на 180°: Для этой группы требуются три генератора, причем один генераторный набор состоит из перемещения, отражения по горизонтальной оси и отражения по вертикальной оси.

^* Обозначение точечной группы Шенфлиса здесь расширено до бесконечных случаев эквивалентных симметрий двугранных точек.

^§ На диаграмме показана одна фундаментальная область желтым цветом, линии отражения - синим, линии скользящего отражения - пунктирным зеленым, нормали перемещения - красным, а точки 2-кратного вращения - маленькими зелеными квадратами.

Группы обоев

Основные области евклидовых рефлексивных групп

(*442), стр4м	(4*2), п4г
(*333), стр.3m	(632), стр.6

17 групп обоев

Орбифолд подпись	Коксетер	Герман– Моген	Спейзер Ниггли	Polya Гуггенхайн	Пьянящий Тот Кэдвелл
*632	[6,3]	п6м	С (Я) 6в	Д 6	В 1 6
632	[6,3] +	стр.6	С (Я) 6	CС6	Вт 6
*442	[4,4]	п4м	С (Я) 4	Д * 4	В 1 4
4*2	[4 + ,4]	п4г	С II 4 В	Д тот 4	В 2 4
442	[4,4] +	п4	С (Я) 4	С 4	WW4
*333	[3 [3] ]	п3м1	С II 3 В	Д * 3	В 1 3
3*3	[3 + ,6]	п31м	С я 3 В	Д тот 3	В 2 3
333	[3 [3] ] +	п3	С я 3	С 3	WW3
*2222	[∞,2,∞]	пмм	С я 2в	Д 2 кккк	В 2 2
2*22	[∞,2 + ,∞]	хмм	С IV 2в	Д 2 кгкг	В 1 2
22*	[(∞,2) + ,∞]	пмг	С III 2в	Д 2 кггг	В 3 2
22×	[∞ + ,2 + ,∞ + ]	пгг	С II 2в	Д 2 гггг	В 4 2
2222	[∞,2,∞] +	п2	С (Я) 2	С 2	Вт 2
**	[∞ + ,2,∞]	вечер	С я с	Д 1 куб.см	В 2 1
*×	[∞ + ,2 + ,∞]	см	С III с	Д 1 кг	В 1 1
××	[∞ + ,(2,∞) + ]	стр.	С II 2	Д 1 раз	В 3 1
тот	[∞ + ,2,∞ + ]	п1	С (Я) 1	С 1	Вт 1

Гиперболическая плоскость

Модель диска Пуанкаре фундаментальных треугольников доменов

Пример прямоугольных треугольников (*2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
Пример обычных треугольников (*pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*6 3	*∞ 3
Пример более высоких полигонов (*pqrs...)
*2223	*(23) 2	*(24) 2	*3 4	*4 4
*2 5	*2 6	*2 7	*2 8
*222∞	*(2∞) 2	*∞ 4	*2 ∞	*∞ ∞

Первые несколько гиперболических групп, упорядоченных по их эйлеровой характеристике:

Гиперболические группы симметрии

−1/х	Орбифолды	Коксетер
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3] +
40	*245	[5,4]
36–26.4	*239, *2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3 + ,8], [8,3] +
22.3–21	*2 3 13, *2 3 14	[13,3], [14,3]
20	*2 3 15, *255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5 + ,4], [5,4] +
19.2	*2 3 16	[16,3]
18 + 2 ⁄ 3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3] +
17.5–16.2	*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	*2 3 24, *248	[24,3], [8,4]
15	*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3 + ,10], [10,3] +
14 + 2 ⁄ 5 – 13 + 1 ⁄ 3	*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13 + 1 ⁄ 5	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3] +
12 + 8 ⁄ 11	*2 3 105, *257	[105,3], [7,5]
12 + 4 ⁄ 7	*2 3 132, *2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	*23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6 + ,4], [(6,3,3)], [3 + ,12], [(4,4,3)], [4 + ,6], [∞,3,∞], [12,3] + , [6,4] + [(4,3,3)] +
...

См. также

• Мутация орбифолдов
• Обозначение фиброфолда - расширение обозначения орбифолда для трехмерных пространственных групп.

Ссылки

• Джон Х. Конвей, Олаф Дельгадо Фридрихс, Дэниел Х. Хьюсон и Уильям П. Терстон. О трехмерных орбифолдах и пространственных группах. Вклад в алгебру и геометрию, 42(2):475-507, 2001.
• Дж. Х. Конвей, Д. Х. Хьюсон. Обозначение орбифолда для двумерных групп. Структурная химия, 13 (3-4): 247–257, август 2002 г.
• Дж. Х. Конвей (1992). «Орбифолдное обозначение для поверхностных групп». В: М.В. Либек и Дж. Саксл (ред.), Группы, комбинаторика и геометрия , Труды Даремского симпозиума LMS, 5–15 июля, Дарем, Великобритания, 1990; Лондонская математика. Соц. Конспект лекций Серия 165 . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. стр. 438–447.
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5
• Хьюз, Сэм (2022), «Когомологии фуксовых групп и неевклидовых кристаллографических групп», Manuscripta Mathematica , 170 (3–4): 659–676, arXiv : 1910.00519 , Bibcode : 2019arXiv191000519H , doi : 10.1007/s0022 9-022- 01369-з , S2CID   203610179

Внешние ссылки

• Полевое руководство по орбифолдам (Заметки с занятий «Геометрия и воображение» в Миннеаполисе с Джоном Конвеем, Питером Дойлом, Джейн Гилман и Биллом Терстоном, 17–28 июня 1991 г. См. Также PDF, 2006 г. )
• Программное обеспечение Tegula для визуализации двумерных мозаик плоскости, сферы и гиперболической плоскости и редактирования их групп симметрии в орбифолдной записи.