Обозначение орбифолда

В геометрии орбифолдная нотация ) (или орбифолдная подпись — это система, изобретенная математиком Уильямом Терстоном и продвигаемая Джоном Конвеем , для представления типов групп симметрии в двумерных пространствах постоянной кривизны. Преимущество обозначений состоит в том, что они описывают эти группы таким образом, который указывает на многие свойства групп: в частности, они следуют за Уильямом Терстоном в описании орбифолда , полученного путем факторизации евклидова пространства по рассматриваемой группе.

К группам, представимым в этих обозначениях, относятся группы точек на сфере ( $S^{2}$), группы фризов и группы обоев евклидовой плоскости ( $E^{2}$) и их аналоги на гиперболической плоскости ( $H^{2}$).

Определение обозначений

Следующие типы евклидовых преобразований могут происходить в группе, описываемой орбифолдной нотацией:

• отражение через линию (или плоскость)
• перевод по вектору
• вращение конечного порядка вокруг точки
• бесконечное вращение вокруг линии в трехмерном пространстве
• скольжение-отражение, т.е. отражение с последующим переводом.

Предполагается, что все происходящие трансляции образуют дискретную подгруппу описываемых групповых симметрий.

Каждая группа обозначается в орбифолдной записи конечной строкой, состоящей из следующих символов:

• положительные целые числа $1,2,3,\dots$
• бесконечности , знак $\infty$
• звездочка , *
• символ o (сплошной круг в старых документах), который называется чудом, а также ручкой, поскольку топологически он представляет собой замкнутую поверхность тора (с 1 ручкой). Узоры повторяются по двум переводам.
• символ $\times$ (открытый круг в старых документах), который называется чудом и представляет собой топологический перекрёсток , где узор повторяется как зеркальное отражение, не пересекая зеркальную линию.

Строка, выделенная жирным шрифтом , представляет группу симметрий евклидова трехмерного пространства. Строка, не написанная жирным шрифтом, представляет собой группу симметрий евклидовой плоскости, которая, как предполагается, содержит два независимых перевода.

Каждый символ соответствует отдельному преобразованию:

• целое число n слева от звездочки указывает на вращение порядка n вокруг точки вращения.
• звездочка , * указывает на отражение
• целое число n справа от звездочки указывает на преобразование порядка 2 n , которое вращается вокруг калейдоскопической точки и отражается через линию (или плоскость)
• а $\times$ указывает на скользящее отражение
• символ $\infty$указывает на бесконечную вращательную симметрию вокруг линии; это может произойти только для жирных групп лиц. Злоупотребляя языком, мы могли бы сказать, что такая группа представляет собой подгруппу симметрий евклидовой плоскости только с одним независимым переносом. возникают Группы фризов таким образом.
• исключительный символ o указывает на то, что существует ровно два линейно независимых перевода.

Хорошие орбифолды

Орбифолдный символ называется хорошим , если он не является одним из следующих: p , pq , * p , * pq , для p , q ≥ 2 и p ≠ q .

Хиральность и ахиральность

Объект является киральным , если его группа симметрии не содержит отражений; в противном случае его называют ахиральным . Соответствующий орбифолд ориентируем в киральном случае и неориентируем в противном случае.

Эйлерова

Эйлерову характеристику орбифолда . можно прочитать из его символа Конвея следующим образом Каждая функция имеет значение:

• n без звездочки или перед ней считается ${\frac {n-1}{n}}$
• n после звездочки считается ${\frac {n-1}{2n}}$
• звездочка и $\times$ считать как 1
• о считается как 2.

Вычитание суммы этих значений из 2 дает эйлерову характеристику.

Если сумма значений признаков равна 2, порядок бесконечен, т. е. обозначение представляет группу обоев или группу фризов. Действительно, «Волшебная теорема» Конвея указывает, что 17 групп обоев — это именно те группы, у которых сумма значений признаков равна 2. В противном случае порядок равен 2, разделенному на эйлерову характеристику.

Равные группы

Следующие группы изоморфны:

• 1* и *11
• 22 и 221
• *22 и *221
• 2* и 2*1.

Это связано с тем, что 1-кратное вращение является «пустым» вращением.

Двумерные группы

Идеальная снежинка должна иметь симметрию *6•,

Пятиугольник имеет симметрию *5•, все изображение со стрелками 5•.

Флаг Гонконга имеет пятикратную симметрию вращения, 5•.

Симметрию . объекта 2D- без трансляционной симметрии можно описать типом 3D-симметрии путем добавления к объекту третьего измерения, которое не добавляет и не портит симметрию Например, в качестве 2D-изображения мы можем рассмотреть кусок картона, на одной стороне которого отображается это изображение; форма коробки должна быть такой, чтобы не нарушать симметрию, иначе ее можно представить бесконечной. Таким образом, мы имеем n • и * n •. Маркер . (•) добавляется к одномерным и двумерным группам, чтобы указать на существование фиксированной точки (В трех измерениях эти группы существуют в n-кратном двуугольном орбифолде и представлены как nn и * nn .)

Аналогичным образом, одномерное изображение может быть нарисовано горизонтально на куске картона с условием, чтобы избежать дополнительной симметрии относительно линии изображения, например, путем рисования горизонтальной полосы под изображением. Таким образом, дискретными группами симметрии в одном измерении являются *•, *1•, ∞• и *∞•.

Другой способ создания 3D-объекта из 1D- или 2D-объекта для описания симметрии — взять декартово произведение объекта и асимметричного 2D- или 1D-объекта соответственно.

Таблицы соответствия

Сферический

Основные области отражающих трехмерных точечных групп

(*11), C 1v = C s	(*22), Ц 2в	(*33), Ц 3в	(*44), Ц 4в	(*55), Ц 5В	(*66), Ц 6в
Заказ 2	Заказ 4	Заказ 6	Заказать 8	Заказать 10	Заказ 12
(*221), Д 1h = С 2в	(*222), Д 2ч	(*223), Д 3ч	(*224), Д 4ч	(*225), Д 5ч	(*226), Д 6ч
Заказ 4	Заказать 8	Заказ 12	Заказ 16	Заказать 20	Заказ 24
(*332), Т д		(*432), О ч		(*532), I h
Заказ 24		Заказ 48		Заказать 120

Смотрите также: Список сферических групп симметрии

Сферические группы симметрии

Орбифолд подпись	Коксетер	Шенфлис	Герман-Моген	Заказ
Полиэдральные группы
*532	[3,5]	I h	53 м	120
532	[3,5] +	я	532	60
*432	[3,4]	Ой ​	м3м	48
432	[3,4] +	О	432	24
*332	[3,3]	Т д	4 3м	24
3*2	[3 + ,4]	Т ч	m3	24
332	[3,3] +	Т	23	12
Диэдральные и циклические группы: n = 3, 4, 5...
*22н	[2, н]	Д нх	н/ммм или 2 н м2	4н
2*н	[2 + ,2n]	Д нд	2 н 2м или н м	4н
22н	[2, н] +	Д н	n2	2н
*нн	[н]	С нв	нм	2н
н*	[н + ,2]	С нх	н/м или 2 н	2н
n×	[2 + ,2н + ]	С 2н	2 н или н	2н
пп	[н] +	С н	н	н
Особые случаи
*222	[2,2]	Д 2 часа	2/ммм или 2 2 м2	8
2*2	[2 + ,4]	Д 2д	2 2 2м или 2 м	8
222	[2,2] +	DД2	22	4
*22	[2]	С 2В	2м	4
2*	[2 + ,2]	С 2 часа	2/м или 2 2	4
2×	[2 + ,4 + ]	С 4	2 2 или 2	4
22	[2] +	С 2	2	2
*22	[1,2]	Д 1h = С 2в	1/ммм или 2 1 м2	4
2*	[2 + ,2]	Д 1д = С 2ч	2 1 2м или 1 м	4
22	[1,2] +	Д 1 = С 2	12	2
*1	[ ]	С 1в = С с	1 м	2
1*	[2,1 + ]	С 1h = С с	1/м или 2 1	2
1×	[2 + ,2 + ]	S 2 = C я	2 1 или 1	2
1	[ ] +	С 1	1	1

Евклидова плоскость

Смотрите также: Список плоских групп симметрии

Фризовые группы

Фризовые группы

МУК	Кокс.	Хороший. *	Орбифолд	Диаграмма §	Примеры и Конвея Прозвище		Описание
п1	[∞] +	C ∞ Z ∞	∞∞			прыгать	(T) Только переводы: Эта группа генерируется отдельно путем перемещения на наименьшее расстояние, на котором образец является периодическим.
p11g	[∞ + ,2 + ]	S ∞ Z ∞	∞×			шаг	(ТГ) Скользящие отражения и переводы: Эта группа генерируется отдельно посредством скользящего отражения, а переводы получаются путем объединения двух скользящих отражений.
п1м1	[∞]	C ∞v Dih ∞	*∞∞			мы поели	(ТВ) Вертикальные линии отражения и переводы: Группа аналогична нетривиальной группе в одномерном случае; он генерируется перемещением и отражением по вертикальной оси.
п2	[∞,2] +	D ∞ Dih ∞	22∞			вращающийся хоп	(TR) Трансляции и повороты на 180°: Группа создается путем перемещения и поворота на 180°.
п2мг	[∞,2 + ]	D ∞d Dih ∞	2*∞			вращающаяся сторона	(TRVG) Вертикальные линии отражения, скользящие отражения, перемещения и повороты на 180°: Переводы здесь возникают из-за скользящих отражений, поэтому эта группа генерируется скользящим отражением и либо вращением, либо вертикальным отражением.
п11м	[∞ + ,2]	C ∞h Z ∞ ×Dih 1	∞*			Прыгать	(THG) Трансляции, Горизонтальные отражения, Скользящие отражения: Эта группа порождается перемещением и отражением по горизонтальной оси. Отражение скольжения здесь возникает как сочетание поступательного движения и горизонтального отражения.
п2мм	[∞,2]	D ∞h Dih ∞ ×Dih 1	*22∞			прыжок с вращением	(TRHVG) Горизонтальные и вертикальные линии отражения, перемещения и повороты на 180°: Для этой группы требуются три генератора, причем один генераторный набор состоит из перемещения, отражения по горизонтальной оси и отражения по вертикальной оси.

^* Обозначение точечной группы Шёнфлиса здесь расширено до бесконечных случаев эквивалентных симметрий двугранных точек.

^§ На диаграмме показана одна фундаментальная область желтым цветом, линии отражения - синим, линии скользящего отражения - пунктирным зеленым, нормали перемещения - красным, а точки 2-кратного вращения - маленькими зелеными квадратами.

Группы обоев

Основные области евклидовых рефлексивных групп

(*442), стр4м	(4*2), п4г
(*333), стр.3m	(632), стр.6

17 групп обоев

Орбифолд подпись	Коксетер	Герман– Моген	кормушка Ниггли	Polya Гуггенхайн	Пьянящий Тот Кэдвелл
*632	[6,3]	вечера	С (Я) 6В	DД6	В 1 6
632	[6,3] +	стр.6	С (Я) 6	CС6	Вт 6
*442	[4,4]	п4м	С (Я) 4	Д * 4	В 1 4
4*2	[4 + ,4]	п4г	С II 4 В	Д О 4	В 2 4
442	[4,4] +	п4	С (Я) 4	С 4	Вт 4
*333	[3 [3] ]	п3м1	С II 3 В	Д * 3	В 1 3
3*3	[3 + ,6]	п31м	С я 3 В	Д О 3	В 2 3
333	[3 [3] ] +	п3	С я 3	С 3	WW3
*2222	[∞,2,∞]	пмм	С я 2в	Д 2 кккк	В 2 2
2*22	[∞,2 + ,∞]	хмм	С IV 2в	Д 2 кгкг	В 1 2
22*	[(∞,2) + ,∞]	пмг	С III 2в	Д 2 кггг	В 3 2
22×	[∞ + ,2 + ,∞ + ]	пгг	С II 2в	Д 2 гггг	В 4 2
2222	[∞,2,∞] +	п2	С (Я) 2	С 2	Вт 2
**	[∞ + ,2,∞]	вечера	С я с	Д 1 кк	В 2 1
*×	[∞ + ,2 + ,∞]	см	С III с	Д 1 кг	В 1 1
××	[∞ + ,(2,∞) + ]	стр.	С II 2	Д 1 гг	В 3 1
О	[∞ + ,2,∞ + ]	п1	С (Я) 1	С 1	Вт 1

Гиперболическая плоскость

Модель диска Пуанкаре фундаментальных треугольников доменов

Пример прямоугольных треугольников (*2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
Пример обычных треугольников (*pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*6 3	*∞ 3
Пример более высоких полигонов (*pqrs...)
*2223	*(23) 2	*(24) 2	*3 4	*4 4
*2 5	*2 6	*2 7	*2 8
*222∞	*(2∞) 2	*∞ 4	*2 ∞	*∞ ∞

Первые несколько гиперболических групп, упорядоченных по их эйлеровой характеристике:

Гиперболические группы симметрии

−1/х	Орбифолды	Коксетер
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3] +
40	*245	[5,4]
36–26.4	*239, *2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3 + ,8], [8,3] +
22.3–21	*2 3 13, *2 3 14	[13,3], [14,3]
20	*2 3 15, *255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5 + ,4], [5,4] +
19.2	*2 3 16	[16,3]
18 + 2 ⁄ 3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3] +
17.5–16.2	*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	*2 3 24, *248	[24,3], [8,4]
15	*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3 + ,10], [10,3] +
14 + 2 ⁄ 5 – 13 + 1 ⁄ 3	*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13 + 1 ⁄ 5	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3] +
12 + 8 ⁄ 11	*2 3 105, *257	[105,3], [7,5]
12 + 4 ⁄ 7	*2 3 132, *2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	*23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6 + ,4], [(6,3,3)], [3 + ,12], [(4,4,3)], [4 + ,6], [∞,3,∞], [12,3] + , [6,4] + [(4,3,3)] +
...

См. также

• Мутация орбифолдов
• Обозначение фиброфолда - расширение обозначения орбифолда для трехмерных пространственных групп.

Ссылки

• Джон Х. Конвей, Олаф Дельгадо Фридрихс, Дэниел Х. Хьюсон и Уильям П. Терстон. О трехмерных орбифолдах и пространственных группах. Вклад в алгебру и геометрию, 42(2):475-507, 2001.
• Дж. Х. Конвей, Д. Х. Хьюсон. Обозначение орбифолда для двумерных групп. Структурная химия, 13 (3-4): 247–257, август 2002 г.
• Дж. Х. Конвей (1992). «Орбифолдное обозначение для поверхностных групп». В: М.В. Либек и Дж. Саксл (ред.), Группы, комбинаторика и геометрия , Труды Даремского симпозиума LMS, 5–15 июля, Дарем, Великобритания, 1990; Лондонская математика. Соц. Конспект лекций Серия 165 . Издательство Кембриджского университета, Кембридж. стр. 438–447.
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5
• Хьюз, Сэм (2022), «Когомологии фуксовых групп и неевклидовых кристаллографических групп», Manuscripta Mathematica , 170 (3–4): 659–676, arXiv : 1910.00519 , Bibcode : 2019arXiv191000519H , doi : 10.1007/s0022 9-022- 01369-з , S2CID   203610179

Внешние ссылки

• Полевое руководство по орбифолдам (Заметки с занятий «Геометрия и воображение» в Миннеаполисе с Джоном Конвеем, Питером Дойлом, Джейн Гилман и Биллом Терстоном, 17–28 июня 1991 г. См. Также PDF, 2006 г. )
• Программное обеспечение Tegula для визуализации двумерных мозаик плоскости, сферы и гиперболической плоскости и редактирования их групп симметрии в орбифолдной записи.