Символ Витхоффа

Пример построения треугольников Витхоффа с 7 образующими точками. Линии, ведущие к активным зеркалам, окрашены в красный, желтый и синий цвета, а три узла напротив них связаны с символом Витхоффа.

Восемь форм конструкций Витгофа из общего треугольника ( pqr ).

В геометрии символ Витгофа представляет собой обозначение, представляющее конструкцию Витгофа однородного многогранника или плоской мозаики внутри треугольника Шварца . Впервые его использовали Коксетер , Лонге-Хиггинс и Миллер при перечислении однородных многогранников. Позже диаграмма Кокстера была разработана для обозначения однородных многогранников и сот в n-мерном пространстве внутри фундаментального симплекса.

Символ Витхоффа состоит из трех цифр и вертикальной черты. Он представляет собой один однородный многогранник или мозаику, хотя одна и та же мозаика/многогранник может иметь разные символы Витхоффа от разных генераторов симметрии. Например, обычный куб можно представить как 3 | 2 4 с и _Oh симметрией 2 4 | 2 в виде квадратной призмы с двумя цветами и D _4h симметрией , а также 2 2 2 | с 3 цветами и _{D 2h} симметрией .

С небольшим расширением символ Витхоффа можно применить ко всем однородным многогранникам. Однако методы построения не приводят ко всем однородным мозаикам в евклидовом или гиперболическом пространстве.

Описание

Конструкция Витгофа начинается с выбора образующей точки фундаментального треугольника. Эту точку нужно выбрать на равном расстоянии от всех ребер, на которые она не лежит, и затем от нее к каждому такому ребру опустить перпендикуляр.

Три числа в символе Витхоффа, p , q и r , обозначают углы треугольника Шварца, использованного в конструкции, которые являются п / п , π / q и π / r радиан соответственно. Треугольник также обозначается теми же числами, записанными ( p q r ). Вертикальная черта в символе указывает категориальное положение образующей точки внутри фундаментального треугольника согласно следующему:

• р | q r указывает, что образующая лежит в углу p ,
• п q | r указывает, что генератор находится на границе между p и q ,
• п q р | указывает на то, что образующая находится внутри треугольника.

В этих обозначениях зеркала помечены порядком отражения противоположной вершины. Значения p , q , r отображаются перед полосой, если соответствующее зеркало активно.

Специальное использование имеет символ | p q r , который предназначен для случая, когда все зеркала активны, но отраженные изображения с нечетными номерами игнорируются. Полученная фигура имеет только вращательную симметрию.

Точка генератора может быть включена или выключена для каждого зеркала, активирована или нет. Это различие создает 8 (2 ³ ) возможные формы, но невозможна та, где точка генератора находится на всех зеркалах. Символ, который обычно относится к этому, повторно используется для курносых мозаик.

Символ Витхоффа функционально похож на более общую диаграмму Кокстера-Динкина , в которой каждый узел представляет собой зеркало, а дуги между ними, отмеченные цифрами, — углы между зеркалами. (Дуга, представляющая прямой угол, опускается.) Узел обведен кружком, если образующая точка не находится на зеркале.

Пример сферических, евклидовых и гиперболических мозаик на прямоугольных треугольниках

Основные треугольники нарисованы чередующимися цветами в зеркальном отображении. Последовательность треугольников ( p 3 2) меняется от сферической ( p = 3, 4, 5) к евклидовой ( p = 6) и гиперболической ( p ≥ 7). Гиперболические мозаики показаны в виде проекции диска Пуанкаре .

Символ Витхоффа	д | п	2 кв | п	2 | п q	2 р | д	р | д	п q | 2	п q 2 |	| п q 2
Диаграмма Кокстера
Вершинная фигура	п д	д .2 п .2 п	pп д п д	п .2 q .2 q	д п	п .4. д .4	4,2 п .2 q	3.3. п .3. д
Фонд. треугольники	7 форм и курносый
(3 3 2)	3 | 3 2 3 3	2 3 | 3 3.6.6	2 | 3 3 3.3.3.3	2 3 | 3 3.6.6	3 | 3 2 3 3	3 3 | 2 3.4.3.4	3 3 2 | 4.6.6	| 3 3 2 3.3.3.3.3
(4 3 2)	3 | 4 2 4 3	2 3 | 4 3.8.8	2 | 4 3 3.4.3.4	2 4 | 3 4.6.6	4 | 3 2 3 4	4 3 | 2 3.4.4.4	4 3 2 | 4.6.8	| 4 3 2 3.3.3.3.4
(5 3 2)	3 | 5 2 5 3	2 3 | 5 3.10.10	2 | 5 3 3.5.3.5	2 5 | 3 5.6.6	5 | 3 2 3 5	5 3 | 2 3.4.5.4	5 3 2 | 4.6.10	| 5 3 2 3.3.3.3.5
(6 3 2)	3 | 6 2 6 3	2 3 | 6 3.12.12	2 | 6 3 3.6.3.6	2 6 | 3 6.6.6	6 | 3 2 3 6	6 3 | 2 3.4.6.4	6 3 2 | 4.6.12	| 6 3 2 3.3.3.3.6
(7 3 2)	3 | 7 2 7 3	2 3 | 7 3.14.14	2 | 7 3 3.7.3.7	2 7 | 3 7.6.6	7 | 3 2 3 7	7 3 | 2 3.4.7.4	7 3 2 | 4.6.14	| 7 3 2 3.3.3.3.7
(8 3 2)	3 | 8 2 8 3	2 3 | 8 3.16.16	2 | 8 3 3.8.3.8	2 8 | 3 8.6.6	8 | 3 2 3 8	8 3 | 2 3.4.8.4	8 3 2 | 4.6.16	| 8 3 2 3.3.3.3.8
(∞ 3 2)	3 | ∞ 2 ∞ 3	2 3 | ∞ 3.∞.∞	2 | ∞ 3 3.∞.3.∞	2 ∞ | 3 ∞.6.6	∞ | 3 2 3 ∞	∞ 3 | 2 3.4.∞.4	∞ 3 2 | 4.6.∞	| ∞ 3 2 3.3.3.3.∞

См. также

• Правильный многогранник
• Правильный многогранник
• Список однородных мозаик
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Список однородных многогранников
• Список однородных многогранников по треугольнику Шварца
• Списки однородных мозаик на сфере, плоскости и гиперболической плоскости.

Ссылки

• Кокстера Регулярные многогранники , третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN   0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
• Коксетер Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN   0-486-40919-8 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
• Коксетер , Лонге-Хиггинс, Миллер, Равномерные многогранники , Фил. Пер. 1954, 246 А, 401–50.
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9 . стр. 9–10.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Символ Витхоффа» . Математический мир .
• Символ Витхоффа
• Апплет Грега Игана для отображения однородных многогранников с использованием метода построения Витхоффа.
• Рендеринг метода строительства Витхоффа в Shadertoy.
• KaleidoTile 3 Бесплатное образовательное программное обеспечение для Windows от Джеффри Уикса, с помощью которого было создано множество изображений на странице.
• Хэтч, Дон. «Гиперболические плоские мозаики» .