Усеченный додекаэдр

Усеченный додекаэдрический граф
Усеченный додекаэдрический граф
	5-кратной симметрии Диаграмма Шлегеля
Вершины	60
Края	90
Автоморфизмы	120
Хроматическое число	3
Хроматический индекс	3
Характеристики	Кубический , гамильтонов , регулярный , нуль-симметричный
	Таблица графиков и параметров

Усеченный додекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	20{3}+12{10}
Обозначение Конвея	тД
Символы Шлефли	т{5,3}
Символы Шлефли	т _0,1 {5,3}
Символ Витхоффа	2 3 \| 5
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I _h , H ₃ , [5,3], (*532), порядок 120
Группа ротации	Я , [5,3] ⁺, (532), порядок 60
Двугранный угол	10-10: 116.57° 3-10: 142.62°
Ссылки	Ю ₂₆ , С ₂₉ , Ж ₁₀
Характеристики	Полуправильный выпуклый
Цветные лица	3.10.10 ( фигура вершины )
Триакис икосаэдр ( двойной многогранник )	Сеть

В геометрии представляет усеченный додекаэдр собой архимедово тело . Он имеет 12 правильных десятиугольных граней, 20 правильных треугольных граней, 60 вершин и 90 ребер.

Геометрические отношения [ править ]

Этот многогранник можно сформировать из правильного додекаэдра путем усечения (обрезания) углов так, чтобы грани пятиугольника стали десятиугольниками , а углы — треугольниками .

Он используется в транзитивной по ячейкам гиперболической мозаике, заполняющей пространство, в виде усеченных икосаэдральных сот .

Площадь и объём [ править ]

Площадь A и объем V усеченного додекаэдра с длиной ребра a равны:

{\begin{aligned}A&=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}&&\approx 100.990\,76a^{2}\\V&={\tfrac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}&&\approx 85.039\,6646a^{3}\end{aligned}}

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты вершин усеченного додекаэдра с длиной ребра 2 φ − 2 с центром в начале координат, ^[1] все являются четными перестановками:

(0, ± 1 φ , ±(2 + φ ))

(± 1 φ , ± φ , ±2 φ )

(± φ , ±2, ±( φ + 1))

где φ = + √ 5/2 – 1 это золотое сечение .

Ортогональные проекции [ править ]

имеет Усеченный додекаэдр пять особых ортогональных проекций , центрированных: по вершине, по двум типам ребер и двум типам граней. Последние два соответствуют _{A 2} и H ₂ плоскостям Кокстера .

Ортогональные проекции
В центре	Вертекс	Край 3-3	Край 10-10	Лицо Треугольник	Лицо Декагон
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной

мозаики и Сферические диаграммы Шлегеля

Усеченный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Диаграммы Шлегеля аналогичны, с перспективной проекцией и прямыми краями.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	Декагон -центрированный	Треугольник -центрированный

Расположение вершин [ править ]

Он разделяет расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками :

Усеченный додекаэдр	Большой икосикосододекаэдр	Большой дитригональный додецикосододекаэдр	Большой додекикосаэдр

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Это часть процесса усечения додекаэдра и икосаэдра:

Семейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности однородных усеченных многогранников с конфигурациями вершин (3,2 n ,2 n ) и [ n ,3] групповой симметрией Кокстера.

* n 32 мутация симметрии усеченных сферических мозаик: t{ n ,3}
Symmetry *n32 [n,3]	Spherical				Euclid.	Compact hyperb.		Paraco.
Symmetry *n32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Truncated figures
Symbol	t{2,3}	t{3,3}	t{4,3}	t{5,3}	t{6,3}	t{7,3}	t{8,3}	t{∞,3}
Triakis figures
Config.	V3.4.4	V3.6.6	V3.8.8	V3.10.10	V3.12.12	V3.14.14	V3.16.16	V3.∞.∞

Усеченный додекаэдрический граф [ править ]

В математической области теории графов усеченный додекаэдрический граф — это граф вершин и ребер усеченного додекаэдра , одного из архимедовых тел . Он имеет 60 вершин и 90 ребер и является кубическим архимедовым графом . ^[2]

Круговой

Примечания [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .
^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

Ссылки [ править ]

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , « Усеченный додекаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный додекаэдрический граф» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3x5x — tid» .
Редактируемая для печати развертка усеченного додекаэдра с интерактивным 3D-просмотром
Однородные многогранники
Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .

[2] Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269

[1]

[2]