Усеченный икосаэдр

Усеченный икосаэдрический граф
Усеченный икосаэдрический граф
	шестикратной симметрии Диаграмма Шлегеля
Вершины	60
Края	90
Автоморфизмы	120
Хроматическое число	3
Характеристики	Кубический , гамильтонов , регулярный , нуль-симметричный
	Таблица графиков и параметров

Усеченный икосаэдр
(Нажмите здесь, чтобы увидеть вращающуюся модель)
Тип	Архимедово тело Однородный многогранник
Элементы	F = 32, E = 90, V = 60 (χ = 2)
Лица по сторонам	12{5}+20{6}
Обозначение Конвея	из
Символы Шлефли	т{3,5}
Символы Шлефли	т _0,1 {3,5}
Символ Витхоффа	2 5 \| 3
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I _h , H ₃ , [5,3], (*532), порядок 120
Группа ротации	Я , [5,3] ⁺, (532), порядок 60
Двугранный угол	6-6: 138.189685° 6-5: 142.62°
Ссылки	У ₂₅ , С ₂₇ , Ж ₉
Характеристики	Полуправильный выпуклый
Цветные лица	5.6.6 ( фигура вершины )
Додекаэдр Пентакиса ( двойной многогранник )	Сеть

В геометрии икосаэдр усеченный представляют — архимедово тело , одно из 13 выпуклых изогональных непризматических тел, 32 грани которых собой два или более типов правильных многоугольников . Это единственная из этих фигур, которая не содержит треугольников и квадратов. В общем случае предполагается, что степень усечения одинакова, если не указано иное.

Он имеет 12 правильных пятиугольных граней, 20 правильных шестиугольных граней, 60 вершин и 90 ребер.

Это многогранник Гольдберга GP _V (1,1) или {5+,3} _1,1 , содержащий пятиугольные и шестиугольные грани.

Эта геометрия связана с футбольными мячами, обычно украшенными белыми шестиугольниками и черными пятиугольниками; Adidas Telstar был первым футбольным мячом, в котором использовался этот рисунок в 1970-х годах. Геодезические купола, подобные тем, чью архитектуру впервые разработал Бакминстер Фуллер, часто основаны на этой структуре. Это также соответствует геометрии молекулы фуллерена C ₆₀ («бакибол»).

Он используется в транзитивной по ячейкам гиперболической мозаике, заполняющей пространство, в усеченных додекаэдрических сотах пятого порядка .

Строительство [ править ]

Этот многогранник можно построить из икосаэдра путем усечения или обрезки каждой из 12 вершин на отметке одной трети каждого ребра, создавая 12 пятиугольных граней и преобразуя исходные 20 треугольных граней в правильные шестиугольники. ^[1]^[2]

Характеристики [ править ]

В геометрии и теории графов существуют некоторые стандартные характеристики многогранников .

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты вершин усеченного икосаэдра с центром в начале координат являются четными перестановками :

{\begin{alignedat}{5}{\Bigl (}&&0,&&\pm \,1,&&\pm \,3\varphi {\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&&\pm \,1,&&\quad \pm \,(2+\varphi ),&&\pm \,2\varphi {\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}&&\pm \,\varphi ,&&\pm \,2,&&\quad \pm \,(2\varphi +1){\Bigr )},\end{alignedat}}

где $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ это золотая середина . Радиус описанной окружности ${\sqrt {9\varphi +10}}\approx 4.956$ а ребра имеют длину 2. ^[3]

Ортогональные проекции [ править ]

имеет Усеченный икосаэдр пять особых ортогональных проекций , центрированных по вершине, по двум типам ребер и двум типам граней: шестиугольной и пятиугольной. Последние два соответствуют _{A 2} и H ₂ плоскостям Кокстера .

Ортогональные проекции
В центре	Вертекс	Край 5-6	Край 6-6	Лицо Шестиугольник	Лицо Пентагон
Твердый
Каркас
Проективный симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
Двойной

Сферическая черепица [ править ]

Усеченный икосаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Ортографическая проекция	Стереографические проекции
	пятиугольник в центре	шестиугольник с центром

Размеры [ править ]

Взаимно ортогональные золотые прямоугольники, нарисованные в исходном икосаэдре (до отрезания)

Если длина ребра усеченного икосаэдра равна $a$ , радиус ( описанной сферы той, которая касается усеченного икосаэдра во всех вершинах) равен:

r_{\mathrm {u} }={\frac {a}{2}}{\sqrt {1+9\varphi ^{2}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}\approx 2.478\,018\,66a

где $φ$ — золотое сечение .

Этот результат легко получить, используя в качестве отправной точки для наших рассуждений один из трёх ортогональных золотых прямоугольников, нарисованных в исходном икосаэдре (до отсечения). Угол между отрезками, соединяющими центр и вершинами, соединенными общим краем (рассчитанный на основе этой конструкции), равен примерно 23,281446°.

Площадь и объём [ править ]

Площадь $A$ и объем $V$ усеченного икосаэдра с длиной ребра $a$ ^[4] являются:

{\begin{aligned}A&=\left(20\cdot {\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}+12\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\right)a^{2}&&\approx 72.607\,253a^{2}\\V&={\frac {125+43{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}&&\approx 55.287\,7308a^{3}.\end{aligned}}

При единичных краях площадь поверхности (округленная) равна 21 для пятиугольников и 52 для шестиугольников, вместе 73 (см. площади правильных многоугольников ).Усеченный икосаэдр легко демонстрирует эйлерову характеристику :

\chi ={\underset {(32)}{F}}+{\underset {(60)}{V}}-{\underset {(90)}{E}}=2.

Приложения [ править ]

Мячи, используемые в футбольном и командном гандболе, являются, пожалуй, самым известным примером сферического многогранника, аналога усеченного икосаэдра, встречающегося в повседневной жизни. ^[5] Мяч состоит из тех же правильных пятиугольников и правильных шестиугольников, но имеет более сферическую форму из-за давления воздуха внутри и эластичности мяча. Этот тип мяча был представлен на чемпионате мира в 1970 году (начиная с 2006 года этот культовый дизайн был заменен альтернативными моделями ).

Геодезические купола обычно основаны на треугольных гранях этой геометрии с примерами структур, найденных по всему миру и популяризированных Бакминстером Фуллером . ^[6]

Такая же форма была также конфигурацией линз, используемых для фокусировки взрывных ударных волн детонаторов как в гаджете, так и «Толстяк» в атомных бомбах . ^[7]

Усеченный икосаэдр можно также описать как модель молекулы бакминстерфуллерена (фуллерена) (С ₆₀ ), или «бакибола», – аллотропа элементарного углерода, открытого в 1985 году. Диаметр футбольного мяча и молекулы фуллерена составляют 22 см. и около 0,71 нм соответственно, следовательно, соотношение размеров составляет ≈31 000 000:1.

В популярной ремесленной культуре большие блестящие шары можно сделать с использованием рисунка икосаэдра и пластиковых, пенопластовых или бумажных стаканчиков.

В искусстве [ править ]

Галерея
Усеченный икосаэдр (слева) в сравнении с футбольным мячом .
фуллерена C ₆₀Молекула
Усеченный обтекатель метеостанции икосаэдрический
Усеченный икосаэдр, выточенный из алюминия 6061-T6.
Деревянный усеченный икосаэдр работы Джорджа Харта .

Связанные многогранники [ править ]

Семейство однородных икосаэдрических многогранников.
Symmetry: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

* n 32 мутация симметрии усеченных мозаик: n .6.6 v т и
Sym. *n42 [n,3]	Spherical				Euclid.	Compact		Parac.	Noncompact hyperbolic
Sym. *n42 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Truncated figures
Config.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis figures
Config.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Эти однородные звездчатые многогранники и одна икосаэдрическая звездчатка имеют неоднородные усеченные икосаэдры, выпуклые оболочки :

Однородные звездчатые многогранники с усеченными икосаэдрами и выпуклыми оболочками.

Этот многогранник похож на однородный додекаэдр со скошенными краями , который имеет 12 пятиугольников и 30 шестиугольников.

Усеченный граф икосаэдра [ править ]

В математической области теории графов усеченный икосаэдрический граф — это граф вершин и ребер усеченного икосаэдра , одного из архимедовых тел . Он имеет 60 вершин и 90 ребер и является кубическим архимедовым графом . ^[8]^[9]^[10]

Ортографическая проекция
5-кратная симметрия	5-кратная диаграмма Шлегеля

История [ править ]

Усеченный икосаэдр был известен Архимеду , который классифицировал 13 архимедовых тел в утерянном труде. Все, что мы знаем о его работе над этими формами, исходит от Паппа Александрийского , который просто перечисляет количество граней каждой: 12 пятиугольников и 20 шестиугольников, в случае усеченного икосаэдра. Первое известное изображение и полное описание усеченного икосаэдра взято из повторного открытия Пьеро делла Франчески в его книге XV века De quinque corporibus Regularibus . ^[11] который включал пять архимедовых тел (пять усечений правильных многогранников). Ту же форму изобразил Леонардо да Винчи в своих иллюстрациях к плагиату Луки Пачоли книги делла Франчески в 1509 году. Хотя Альбрехт Дюрер исключил эту форму из других архимедовых тел, перечисленных в его книге 1525 года о многогранниках Underweysung der Messung , его описание было найдено в его посмертных статьях, опубликованных в 1538 году. Позже Иоганн Кеплер заново открыл полный список 13 архимедовых тел, включая усечённый икосаэдр, и включил их в свою книгу 1609 года «Harmonices Mundi» . ^[12]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Медников Евгений Георгиевич; Джуэлл, Мэтью С.; Даль, Лоуренс Ф. (1 сентября 2007 г.). «Наноразмерный (μ 12 -Pt)Pd 164- x Pt x (CO) 72 (PPh 3 ) 20 ( x ≈ 7), содержащий Pt-центрированное четырехоболочное ядро из 165 атомов Pd-Pt с беспрецедентными межоболочечными мостиковыми карбонильными лигандами: сравнительный Анализ моделей роста икосаэдрической оболочки с геометрически связанным Pd 145 (CO) x (PEt 3 ) 30 (x ≈ 60), содержащим трехоболочное ядро Pd 145 с колпачком» . Журнал Американского химического общества . 129 (37): 11624. doi : 10.1021/ja073945q . ISSN 0002-7863 . ПМИД 17722929 .
^ Кочик, Дитер (июль – август 2006 г.). «Топология и комбинаторика футбольных мячей» . Американский учёный . 94 (4): 350. дои : 10.1511/2006.60.350 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный икосаэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 сентября 2023 г.
^ Кочик, Дитер (2006). «Топология и комбинаторика футбольных мячей». Американский учёный . 94 (4): 350–357. дои : 10.1511/2006.60.350 .
^ Кребс, Альбин (2 июля 1983 г.). «Р. Бакминстер Фуллер мертв; футуристы построили геодезический купол» . Нью-Йорк Таймс . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, с. 1 . Проверено 7 ноября 2021 г.
^ Роудс, Ричард (1996). Тёмное солнце: создание водородной бомбы . Книги пробного камня. стр. 195 . ISBN 0-684-82414-0 .
^ Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998). Атлас графов . Издательство Оксфордского университета . п. 268.
^ Годсил, К. и Ройл, Г. Алгебраическая теория графов Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211, 2001 г.
^ Костант, Б. График усеченного икосаэдра и последнее письмо Галуа. Замечания амер. Математика. Соц. 42, 1995, стр. 959-968 PDF.
^ Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллеренов». Искусство, наука и технологии: взаимодействие трех культур: материалы первой международной конференции . стр. 60–71.
^ Филд, СП (1997). «Заново открывая архимедовы многогранники: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер». Архив истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. дои : 10.1007/BF00374595 . JSTOR 41134110 . МР 1457069 . S2CID 118516740 .

Ссылки [ править ]

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-Х . (Раздел 3-9)
Кромвель, П. (1997). «Архимедовы тела». Многогранники: «Одна из самых очаровательных глав геометрии» . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 79–86. ISBN 0-521-55432-2 . OCLC 180091468 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , « Усеченный икосаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный граф икосаэдра» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3x5o - ti» .
Редактируемая для печати сетка усеченного икосаэдра с интерактивным 3D-просмотром
Однородные многогранники
«Многогранники виртуальной реальности» — Энциклопедия многогранников
3D-визуализация бумажных данных Мяч чемпионата мира по футболу

[1] Медников Евгений Георгиевич; Джуэлл, Мэтью С.; Даль, Лоуренс Ф. (1 сентября 2007 г.). «Наноразмерный (μ 12 -Pt)Pd 164- x Pt x (CO) 72 (PPh 3 ) 20 ( x ≈ 7), содержащий Pt-центрированное четырехоболочное ядро из 165 атомов Pd-Pt с беспрецедентными межоболочечными мостиковыми карбонильными лигандами: сравнительный Анализ моделей роста икосаэдрической оболочки с геометрически связанным Pd 145 (CO) x (PEt 3 ) 30 (x ≈ 60), содержащим трехоболочное ядро Pd 145 с колпачком» . Журнал Американского химического общества . 129 (37): 11624. doi : 10.1021/ja073945q . ISSN 0002-7863 . ПМИД 17722929 .

[2] Кочик, Дитер (июль – август 2006 г.). «Топология и комбинаторика футбольных мячей» . Американский учёный . 94 (4): 350. дои : 10.1511/2006.60.350 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный икосаэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 сентября 2023 г.

[5] Кочик, Дитер (2006). «Топология и комбинаторика футбольных мячей». Американский учёный . 94 (4): 350–357. дои : 10.1511/2006.60.350 .

[6] Кребс, Альбин (2 июля 1983 г.). «Р. Бакминстер Фуллер мертв; футуристы построили геодезический купол» . Нью-Йорк Таймс . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, с. 1 . Проверено 7 ноября 2021 г.

[7] Роудс, Ричард (1996). Тёмное солнце: создание водородной бомбы . Книги пробного камня. стр. 195 . ISBN 0-684-82414-0 .

[8] Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998). Атлас графов . Издательство Оксфордского университета . п. 268.

[9] Годсил, К. и Ройл, Г. Алгебраическая теория графов Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211, 2001 г.

[10] Костант, Б. График усеченного икосаэдра и последнее письмо Галуа. Замечания амер. Математика. Соц. 42, 1995, стр. 959-968 PDF.

[11] Кац, Юджин А. (2011). «Мосты между математикой, естественными науками, архитектурой и искусством: случай фуллеренов». Искусство, наука и технологии: взаимодействие трех культур: материалы первой международной конференции . стр. 60–71.

[12] Филд, СП (1997). «Заново открывая архимедовы многогранники: Пьеро делла Франческа, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер, Даниэле Барбаро и Иоганн Кеплер». Архив истории точных наук . 50 (3–4): 241–289. дои : 10.1007/BF00374595 . JSTOR 41134110 . МР 1457069 . S2CID 118516740 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]