Додекаэдрические соты порядка 5

Додекаэдрические соты порядка 5
Перспективная проекция из центра модели диска Пуанкаре
Тип	Гиперболические обычные соты Равномерные гиперболические соты
Символ Шлефли	${5,3,5} т 0 {5,3,5}$
Диаграмма Кокстера-Динкина
Клетки	${5,3}$ ( правильный додекаэдр )
Лица	${5}$ ( пятиугольник )
Краевая фигура	${5}$ (пятиугольник)
Вершинная фигура	икосаэдр
Двойной	Самодвойственный
Группа Коксетера	$К 3, [5,3,5]$
Характеристики	Обычный

В гиперболической геометрии — додекаэдрические соты пятого порядка это одна из четырёх компактных регулярных , заполняющих пространство мозаик (или сот ) в гиперболическом трёхмерном пространстве . Символ Шлефли ${5,3,5}$ имеет пять додекаэдрических ячеек вокруг каждого ребра , а каждая вершина окружена двадцатью додекаэдрами. Его вершинная фигура — икосаэдр .

Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.

Описание

Двугранный угол евклидова правильного додекаэдра составляет ~ 116,6 °, поэтому не более трех из них могут поместиться вокруг ребра в евклидовом трехмерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве двугранный угол меньше, чем в евклидовом пространстве, и зависит от размера фигуры; наименьший возможный двугранный угол равен 60° для идеального гиперболического правильного додекаэдра с бесконечно длинными ребрами. Додекаэдры в этих додекаэдрических сотах имеют такой размер , что все их двугранные углы составляют ровно 72°.

Изображения

Связанные многогранники и соты

В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных сот:

Четыре регулярных компактных сот в формате H ³
{5,3,4}	{4,3,5}	{3,5,3}	{5,3,5}

В гиперболическом трехмерном пространстве есть еще одна сота, называемая додекаэдрической сотой четвертого порядка , {5,3,4}, которая имеет только четыре додекаэдра на ребро. Эти соты также связаны со 120 ячейками , которые можно рассматривать как соты в положительно искривленном пространстве (поверхность 4-мерной сферы) с тремя додекаэдрами на каждом ребре, {5,3,3}. Наконец, додекаэдрический дитоп {5,3,2} существует на трёхсфере с двумя полусферическими ячейками.

[5,3,5] имеется девять однородных сот В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму. Также битусеченная форма t _1,2 {5,3,5}, , в этой соте все ячейки усеченного икосаэдра .

[5,3,5] семейные соты
{5,3,5}	r{5,3,5}	t{5,3,5}	rr{5,3,5}	t_0,3{5,3,5}

	2t{5,3,5}	tr{5,3,5}	t_0,1,3{5,3,5}	t_0,1,2,3{5,3,5}

Пространство Зейферта-Вебера представляет собой компактное многообразие , которое можно представить как фактор-пространство додекаэдрических сот пятого порядка.

Эти соты являются частью последовательности полихор и сот с вершинными фигурами икосаэдра :

{p,3,5} многогранники
Space	S³	H³
Form	Finite	Compact		Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Эта сота является частью последовательности правильных многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

{5,3,p} многогранники
Space	S³	H³
Form	Finite	Compact		Paracompact	Noncompact
Name	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Image
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

{p,3,p} обычные соты
Space	S³	Euclidean E³	H³
Form	Finite	Affine	Compact	Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	...{∞,3,∞}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 5

Выпрямленные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	г {5,3,5} т ₁ {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	г{5,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	пятиугольная призма
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Выпрямленные додекаэдрические соты пятого порядка , , имеет чередующиеся ячейки икосаэдра и икосододекаэдра , с пятиугольной призмы фигурой вершины .

Связанные плитки и соты

Существует четыре выпрямленных компактных правильных сот:

Четыре выпрямленные регулярные компактные соты в H ³
Изображение
Символы	г {5,3,4}	г {4,3,5}	г {3,5,3}	г {5,3,5}
Вертекс фигура

г{р,3,5}
Космос	С ³	ЧАС ³
Форма	Конечный	Компактный		Паракомпакт	Некомпактный
Имя	г {3,3,5}	г {4,3,5}	г {5,3,5}	г {6,3,5}	г {7,3,5}	... г{∞,3,5}
Изображение
Клетки {3,5}	г{3,3}	г{4,3}	г{5,3}	г{6,3}	г{7,3}	г{∞,3}

Усеченные додекаэдрические соты пятого порядка

Усеченные додекаэдрические соты пятого порядка
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т{5,3,5} т _0,1 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{5,3} {3,5}
Лица	треугольник {3} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	пятиугольная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты пятого порядка , , имеет икосаэдр и усеченные ячейки додекаэдра, с пятиугольной пирамиды фигурой вершины .

Связанные соты

Четыре усеченных правильных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	т{5,3,4}	т{4,3,5}	т{3,5,3}	т{5,3,5}
Вертекс фигура

Двуусеченные додекаэдрические соты порядка 5

Двуусеченные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	2т{5,3,5} т _1,2 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{3,5}
Лица	пятиугольник {5} шестигранник {6}
Вершинная фигура	тетрагональный дисфеноид
Группа Коксетера	$2\times {\overline {K}}_{3}$ , [[5,3,5]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, клеточно-транзитивный

Битусеченные додекаэдрические соты пятого порядка , , имеет икосаэдра усеченные ячейки дисфеноида , с тетрагональной фигурой в вершине .

Связанные соты

Три компактных сот с усеченными кусочками в H ³
Изображение
Символы	2т{4,3,5}	2т{3,5,3}	2т{5,3,5}
Вертекс фигура

Скошенные додекаэдрические соты порядка 5

Скошенные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	рр{5,3,5} т _0,2 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	рр{5,3} г{3,5} {}х{5}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	клин
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Кантелеллированные додекаэдрические соты пятого порядка , , имеет ромбикосододекаэдр , икосододекаэдр и ячейки пятиугольной призмы с клиновидной вершиной .

Связанные соты

Четыре зубчатых регулярных компактных сот в форме H. ³

Изображение
Символы	рр{5,3,4}	рр{4,3,5}	рр{3,5,3}	рр{5,3,5}
Вертекс фигура

Кантиусеченные додекаэдрические соты порядка 5

Кантиусеченные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	тр{5,3,5} т _0,1,2 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{5,3} т{3,5} {}х{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	зеркальная клиновидная кость
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты порядка 5 , , имеет усеченный икосододекаэдр , усеченный икосаэдр и пятиугольной призмы ячейки с зеркальной фигурой клиновидной вершины .

Связанные соты

Четыре скошенных регулярных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	тр{5,3,4}	тр{4,3,5}	тр{3,5,3}	тр{5,3,5}
Вертекс фигура

Ранцинированные додекаэдрические соты порядка 5

Ранцинированные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,3 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	{5,3} {}х{5}
Лица	квадрат {4} пятиугольник {5}
Вершинная фигура	треугольная антипризма
Группа Кокстера \| $2\times {\overline {K}}_{3}$ , [[5,3,5]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный

Срезанные додекаэдрические соты 5-го порядка , , имеет додекаэдр и пятиугольные призменные ячейки, с антипризмы треугольной вершинной фигурой .

Связанные соты

Три сучковатых правильных компактных сот в форме H. ³
Изображение
Символы	т _0,3 {4.3.5}	т _0,3 {3,5,3}	т _0,3 {5,3,5}
Вертекс фигура

Додекаэдрические соты Runcitусеченного порядка 5

Додекаэдрические соты Runcitусеченного порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,1,3 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	т{5,3} рр{5,3} {}х{5} {}х{10}
Лица	треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	равнобедренно-трапециевидная пирамида
Группа Коксетера	${\overline {K}}_{3}$ , [5,3,5]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Усеченные додекаэдрические соты пятого порядка , , имеет усеченный додекаэдр , ромбокосододекаэдр , пятиугольную призму и ячейки десятиугольной призмы , с равнобедренно-трапециевидной пирамиды вершинной фигурой .

Додекаэдрические соты ранцикантелтелированного порядка 5 эквивалентны додекаэдрическим сотам ранцикантеллированного порядка 5.

Связанные соты

Четыре правильных компактных сот с усеченными краями в форме H. ³

Всеусеченные додекаэдрические соты порядка 5

Всеусеченные додекаэдрические соты порядка 5
Тип	Однородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли	т _0,1,2,3 {5,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	тр{5,3} {}х{10}
Лица	квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10}
Вершинная фигура	филлический дисфеноид
Группа Кокстера \| $2\times {\overline {K}}_{3}$ , [[5,3,5]]
Характеристики	Вершинно-транзитивный

Всеусеченные додекаэдрические соты пятого порядка , , имеет усеченный икосододекаэдр и десятиугольной призмы ячейки дисфеноида с филлической фигурой в вершине .

Связанные соты

Три всеусеченных правильных компактных сот в форме H. ³

См. также

Ссылки

Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999 г. ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212-213)
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера