Двойной многогранник

Двойником куба является октаэдр . Вершины одного соответствуют граням другого, а ребра – друг другу.

В геометрии каждому многограннику сопоставлена ​​вторая двойственная структура, где вершины одного соответствуют граням другого , а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также могут быть построены как геометрические многогранники. Начиная с любого данного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.

Двойственность сохраняет симметрию многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные элементы принадлежат соответствующему классу симметрии. Например, правильные многогранники – (выпуклые) Платоновы тела и (звездные) многогранники Кеплера – Пуансо – образуют двойственные пары, где правильный тетраэдр является самодвойственным . Двойственный изогональному многограннику (тот, в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрии многогранника) является изоэдральным многогранником (тот, в котором любые две грани эквивалентны [...]), и наоборот. Двойственный изотоксальному многограннику (тот, в котором любые два ребра эквивалентны [...]) также является изотоксальным.

Дуальность тесно связана с полярной взаимностью — геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многограннику реализует двойственный многогранник как еще один выпуклый многогранник.

Виды двойственности

Двойственное платоново тело можно построить, соединив центры граней. В общем, это создает только топологический двойник .
Изображения из книги Кеплера « Harmonices Mundi» (1619 г.)

Существует много видов двойственности. Виды, наиболее относящиеся к элементарным многогранникам, - это полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

Полярное взаимное движение

Смотрите также: Полярное взаимное движение

В евклидовом пространстве двойственный многограннику $P$ часто определяется как полярное возвратно-поступательное движение вокруг сферы. Здесь каждой вершине (полюсу) сопоставлена ​​плоскость грани (полярной плоскости или просто полярной) так, что луч из центра в вершину перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса.

Когда сфера имеет радиус $r$ и центрирован в начале координат (так что он определяется уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$), то полярный двойник выпуклого многогранника $P$ определяется как

$P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}$ для всех $p$ в $P\},$

где $q\cdot p$ обозначает стандартное скалярное произведение $q$ и $p$.

Обычно, когда при построении дуала сфера не указана, используется единичная сфера, т.е. $r=1$ в приведенных выше определениях.

Для каждой грани $P$ описывается линейным уравнением $$x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},$$соответствующая вершина двойственного многогранника $P^{\circ }$ будут координаты $(x_{0},y_{0},z_{0})$. Аналогично каждая вершина $P$ соответствует плоскости грани $P^{\circ }$, и каждая краевая линия $P$ соответствует линии края $P^{\circ }$. Соответствие между вершинами, ребрами и гранями $P$ и $P^{\circ }$ меняет включение. Например, если край $P$ содержит вершину, соответствующее ребро $P^{\circ }$ будет содержаться в соответствующей грани.

Для многогранника с центром симметрии принято использовать сферу с центром в этой точке, как в конструкции Дормана-Люка (упомянутой ниже). В противном случае это можно использовать для многогранника с описанной сферой, вписанной сферой или средней сферой (у которой все ребра являются касательными). Однако многогранник может совершить возвратно-поступательное движение вокруг любой сферы, и результирующая форма двойственного элемента будет зависеть от размера и положения сферы; Как разнообразна сфера, так же разнообразна и двойственная форма. Выбора центра сферы достаточно, чтобы определить двойственное с точностью до подобия.

Если у многогранника в евклидовом пространстве грань, линия ребра или вершина лежат в центре сферы, соответствующий элемент его двойника будет стремиться к бесконечности. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления необходимой «плоскости в бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного пространства не существует. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные числа способом, подходящим для создания моделей (некоторой конечной части).

Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и ребра меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездчатые многогранники, когда мы пытаемся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. Из-за проблем с определениями геометрической двойственности невыпуклых многогранников Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.

Канонические двойники

Каноническое двойное соединение кубооктаэдра (светлый) и ромдодекаэдра (темный). Пары ребер встречаются на общей срединной сфере .

Любой выпуклый многогранник может быть искажен до канонической формы , в которой существует единичная средняя сфера (или интерсфера), касающаяся каждого ребра, и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма единственна с точностью до сравнений.

Если мы совершим возвратно-поступательное движение такого канонического многогранника вокруг его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также будет каноническим. Это каноническое двойственное соединение, и вместе они образуют каноническое двойственное соединение.

Строительство Дормана Люка

Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей фигуры вершины исходного многогранника с помощью конструкции Дормана-Люка .

Топологическая двойственность

Даже если пара многогранников не может быть получена взаимным поступательным движением друг друга, их можно называть двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , сохраняя заболеваемость. Такие пары многогранников топологически или абстрактно двойственны.

Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-скелет многогранника), вложенный в поверхность многогранника (топологическую сферу). Этот граф можно спроектировать в виде диаграммы Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный вершинами и ребрами двойственного многогранника, является двойственным графом исходному графу.

В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, встроенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют двойственный граф исходного графа.

Абстрактный многогранник — это определенный вид частично упорядоченного набора (ЧУМ) элементов, в котором инцидентности или связи между элементами набора соответствуют инцидентностям между элементами (гранями, ребрами, вершинами) многогранника. У каждого такого ЧУМ есть двойственный ЧУМ, образованный изменением всех отношений порядка. Если ЧУ-множество визуализируется как диаграмма Хассе , то двойственное ЧУ-множество можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе.

Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственные многогранники могут быть нереализуемы геометрически.

Самодвойственные многогранники

Топологически многогранник называется самодвойственным, если его двойственный многогранник имеет точно такую ​​же связность между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе . Геометрически он не только топологически самодвойственен, но и его полярная обратная точка относительно определенной точки, обычно ее центроида, представляет собой аналогичную фигуру. Например, двойником правильного тетраэдра является другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .

Каждый многоугольник топологически самодвойственен, поскольку у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются по принципу двойственности. Но оно не обязательно самодвойственно (с точностью до твердого движения, например). Каждый многоугольник имеет правильную форму , которая геометрически самодвойственна относительно своей интерсферы: все углы равны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти сравнения меняются местами. Аналогично, каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодвойственным многогранником, его каноническим многогранником , обратным относительно центра средней сферы .

Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшее бесконечное семейство — пирамиды . Другое бесконечное семейство — вытянутые пирамиды — состоит из многогранников, которые грубо можно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы ( с одинаковым числом сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды со срезанной вершиной) под призмой создает еще одно бесконечное семейство и так далее. Существует множество других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных по 7 вершин и 16 по 8 вершин.

Самодуальный невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был обнаружен Брюкнером в 1900 году. Другие невыпуклые самодвойственные многогранники были найдены при определенных определениях невыпуклых многогранников и их двойственных многогранников.

Двойные многогранники и тесселяции

Двойственность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двух измерениях они называются двойными многоугольниками .

Вершины одного многогранника соответствуют ( n − 1)-мерным элементам или граням другого, а j точек, определяющих ( j − 1)-мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, образуя ( n − j )-мерный элемент. Двойник n -мерной мозаики или сот может быть определен аналогичным образом.

В общем, грани двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных обратных величин правильных и однородных многогранников двойственные фасеты будут полярными обратными вершинной фигуре оригинала. Например, в четырех измерениях вершиной 600-ячеечной фигуры является икосаэдр ; двойником 600-ячеечного является 120-ячеечный , чьи грани представляют собой додекаэдры , двойственные икосаэдру.

Самодвойственные многогранники и замощения

Квадратная мозаика {4,4} самодвойственна, как показано на этих красных и синих мозаиках.

Апейрогональная мозаика бесконечного порядка , {∞,∞} красным и ее двойственное положение синим цветом.

Основной класс самодвойственных многогранников — это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственны, многогранники вида {a,a}, 4-многогранники вида {a,b,a}, 5-многогранники вида {a,b,b,a }, и т. д.

Самодвойственные правильные многогранники:

• Все правильные многоугольники , {a}.
• Правильный тетраэдр : {3,3}
• Вообще говоря, все правильные n - симплексы , {3,3,...,3}
• Обычная 24-ячейка в 4-х измерениях, {3,4,3}.
• Большой 120-ячеечный {5,5/2,5} и великий звездчатый 120-ячеечный {5/2,5,5/2}

Самодуальными (бесконечными) правильными евклидовыми сотами являются:

• Апейрогон : {∞}
• Квадратная мозаика : {4,4}
• Кубические соты : {4,3,4}
• В общем, все правильные n -мерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3,...,3,4}.

Самодуальными (бесконечными) правильными гиперболическими сотами являются:

• Компактные гиперболические мозаики: {5,5} , {6,6} , ... {p,p}.
• Паракомпактное гиперболическое замощение: {∞,∞}
• Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} и {5,3,3,5}
• Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} и {3,3,4,3,3}.

См. также

• Обозначение многогранника Конвея
• Двойной полигон
• Самодуальный граф
• Самодвойственный многоугольник

Ссылки

Библиография

• Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR   0124167 .
• Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID   120818796 .
• Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?», Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Фестиваль Гудмана – Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, том. 25, Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX   10.1.1.102.755 , номер doi : 10.1007/978-3-642-55566-4_21 , ISBN.  978-3-642-62442-1 , МР   2038487 .
• Грюнбаум, Бранко (2007), «Графики многогранников; многогранники как графы», Discrete Mathematics , 307 (3–5): 445–463, doi : 10.1016/j.disc.2005.09.037 , hdl : 1773/2276 , MR   2287486 .
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Сенечале, Марджори (ред.), Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении , Нью-Йорк: Springer, стр. 211–216, doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_15 , ISBN  978-0-387-92713-8 , МР   3077226 .
• Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-54325-8 , МР   0730208 .
• Барвинок, Александр (2002), Курс выпуклости , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0821829688 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Двойной многогранник» , MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В. , «Двойная тесселяция» , MathWorld
• Вайсштейн, Эрик В. , «Самодвойственный многогранник» , MathWorld