Шестиугольная плитка Орден-6 сотовая
Шестиугольная плитка Орден-6 сотовая | |
---|---|
Перспективная проекция из центра модели диска Пуанкаре | |
Тип | Гиперболические обычные соты Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | {6,3,6} {6,3 [3] } |
Диаграмма Кокстера | ↔ ↔ |
Клетки | {6,3} |
Лица | шестигранник {6} |
Краевая фигура | шестигранник {6} |
Вершинная фигура | {3,6} или {3 [3] } |
Двойной | Самодвойственный |
Группа Коксетера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Регулярный, квазирегулярный |
В области гиперболической геометрии шестиугольная черепичная сотовая структура 6-го порядка является одной из 11 правильных паракомпактных сот в трехмерном гиперболическом пространстве . Он паракомпактный, поскольку имеет ячейки с бесконечным числом граней. Каждая ячейка представляет собой шестиугольную мозаику , вершины которой лежат на орисфере : плоской плоскости в гиперболическом пространстве, приближающейся к единственной идеальной точке на бесконечности.
Символ Шлефли шестиугольных сот — {6,3,6}. Поскольку шестиугольная мозаика плоскости равна {6,3}, эта сот имеет шесть таких шестиугольных мозаик, сходящихся на каждом ребре. Поскольку символ Шлефли треугольной мозаики равен {3,6}, вершинная фигура этой соты представляет собой треугольную мозаику. Таким образом, в каждой вершине этой соты сходится бесконечно много шестиугольных мозаик. [1]
Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.
Связанные мозаики
[ редактировать ]Сота шестиугольной мозаики порядка 6 аналогична двумерной гиперболической апейрогональной мозаике бесконечного порядка , {∞, ∞}, с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.
Он содержит и что плитка 2- поверхности гиперцикла , подобная паракомпактным мозаикам и ( усеченная треугольная мозаика бесконечного порядка и апейрогональная мозаика третьего порядка соответственно):
Симметрия
[ редактировать ]Шестиугольные соты 6-го порядка имеют полусимметричную конструкцию: .
У него также есть подгруппа индекса 6, [6,3 * ,6], с несимплексной фундаментальной областью. Эта подгруппа соответствует диаграмме Коксетера с шестью ветвями третьего порядка и тремя ветвями бесконечного порядка в форме треугольной призмы: .
Связанные многогранники и соты
[ редактировать ]Шестиугольные соты 6-го порядка представляют собой обычные гиперболические соты в трехмерном пространстве и одну из одиннадцати паракомпактных сот в трехмерном пространстве.
11 паракомпактных стандартных сот | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{6,3,3} | {6,3,4} | {6,3,5} | {6,3,6} | {4,4,3} | {4,4,4} | ||||||
{3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {3,6,3} | {3,4,4} |
[6,3,6] имеется девять однородных сот В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму.
{6,3,6} | г {6,3,6} | т{6,3,6} | рр{6,3,6} | т 0,3 {6,3,6} | 2т{6,3,6} | тр{6,3,6} | т 0,1,3 {6,3,6} | т 0,1,2,3 {6,3,6} |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Эти соты имеют родственные чередующиеся соты, треугольные мозаичные соты , но с более низкой симметрией: ↔ .
Шестиугольные соты мозаики 6-го порядка являются частью последовательности правильных полихор и сот с треугольными фигурами вершин мозаики:
Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Имя | {3,3,6} | {4,3,6} | {5,3,6} | {6,3,6} | {7,3,6} | {8,3,6} | ... {∞,3,6} |
Изображение | |||||||
Клетки | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞,3} |
Он также является частью последовательности правильных полихор и сот с шестиугольными ячейками черепицы:
{6,3,p} соты |
---|
Он также является частью последовательности правильных полихор и сот с правильными дельтаэдрическими вершинными фигурами :
{p,3,p} обычные соты |
---|
Ректифицированные соты шестигранной черепицы порядка 6
[ редактировать ]Ректифицированные соты шестиугольной черепицы порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символы Шлефли | г{6,3,6} или т 1 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ ↔ ↔ ↔ |
Клетки | {3,6} г{6,3} |
Лица | треугольник {3} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | шестиугольная призма |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] , [3 [3,3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Выпрямленные соты шестиугольной мозаики порядка 6 , t 1 {6,3,6}, имеет треугольную мозаику и тригексагональные грани мозаики с шестиугольной призмы фигурой вершины .
его также можно рассматривать как гексагональную мозаику четверти порядка 6 , q{6,3,6}, ↔ .
Это аналогично двумерному гиперболическому апейрогональному мозаике 4-го порядка , r{∞,∞} с бесконечными апейрогональными гранями и со всеми вершинами на идеальной поверхности.
Связанные соты
[ редактировать ]Шестиугольные соты 6-го порядка являются частью серии сот с шестиугольными призматическими фигурами вершин :
Космос | ЧАС 3 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Форма | Паракомпакт | Некомпактный | |||||
Имя | г {3,3,6} | г {4,3,6} | г {5,3,6} | г {6,3,6} | г {7,3,6} | ... г{∞,3,6} | |
Изображение | |||||||
Клетки {3,6} | г{3,3} | г{4,3} | г{5,3} | г{6,3} | г{7,3} | г{∞,3} |
Он также является частью матрицы трехмерных четвертных сот: q{2p,4,2q}
Евклидовы /гиперболические ( паракомпактные / некомпактные ) четвертьсоты q{p,3,q} |
---|
Усеченные шестиугольные соты для черепицы порядка 6
[ редактировать ]Усеченные шестиугольные соты для черепицы порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | т{6,3,6} или т 0,1 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | {3,6} т{6,3} |
Лица | треугольник {3} двенадцатиугольник {12} |
Вершинная фигура | шестиугольная пирамида |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усеченные соты шестиугольной мозаики порядка 6 , t 0,1 {6,3,6}, имеет треугольную мозаику и усеченные шестиугольные грани мозаики с шестиугольной пирамиды фигурой вершины . [2]
Усеченные шестиугольные соты порядка 6
[ редактировать ]Усеченные шестиугольные соты порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | бт{6,3,6} или т 1,2 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | т{3,6} |
Лица | шестигранник {6} |
Вершинная фигура | тетраэдр |
Группы Кокстера | , [[6,3,6]] , [6,3 [3] ] , [3,3,6] |
Характеристики | Обычный |
Шестиугольные соты 6-го порядка с усеченными битами представляют собой конструкцию с более низкой симметрией обычных шестиугольных сот . ↔ . Он содержит шестиугольные грани мозаики с тетраэдра фигурой вершины .
Соты шестиугольной черепицы со складками порядка 6
[ редактировать ]Соты шестиугольной черепицы со складками порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | рр{6,3,6} или т 0,2 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | г{3,6} рр{6,3} {}x{6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | клин |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Соты со смещенной шестиугольной мозаикой порядка 6 , t 0,2 {6,3,6}, имеет тригексагональную мозаику , ромбитригексагональную мозаику и ячейки шестиугольной призмы с клина фигурой вершины .
Скошенные шестиугольные соты порядка 6
[ редактировать ]Скошенные шестиугольные соты порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | тр{6,3,6} или т 0,1,2 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | тр{3,6} т{3,6} {}x{6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12} |
Вершинная фигура | зеркальная клиновидная кость |
Группы Кокстера | , [6,3,6] , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Скошенные шестиугольные соты 6-го порядка , t 0,1,2 {6,3,6}, имеет шестиугольную мозаику , усеченную тригексагональную мозаику и ячейки шестиугольной призмы с зеркальной фигурой клиновидной вершины .
Шестиугольные соты для черепицы с прорезями порядка 6
[ редактировать ]Шестиугольные соты для черепицы с прорезями порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | т 0,3 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | ↔ |
Клетки | {6,3} {}×{6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | треугольная антипризма |
Группы Кокстера | , [[6,3,6]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Стертые соты шестиугольной черепицы порядка 6 , t 0,3 {6,3,6}, имеет шестиугольную мозаику и ячейки шестиугольной призмы с антипризмы треугольной фигурой вершины .
Это аналогично двумерной гиперболической ромбогексагексагональной мозаике , rr{6,6}, с квадратными и шестиугольными гранями:
Усеченные шестиугольные соты порядка 6
[ редактировать ]Усеченные шестиугольные соты порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | т 0,1,3 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | т{6,3} рр{6,3} {}x{6} {}х{12} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12} |
Вершинная фигура | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
Группы Кокстера | , [6,3,6] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усеченные соты шестиугольной черепицы порядка 6 , t 0,1,3 {6,3,6}, имеет усеченную шестиугольную черепицу , ромбитригексагональную мозаику , шестиугольную призму и ячейки двенадцатиугольной призмы с равнобедренно-трапециевидной пирамиды фигурой вершины .
Всеусеченные шестиугольные соты порядка 6
[ редактировать ]Всеусеченные шестиугольные соты порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {6,3,6} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | тр{6,3} {}х{12} |
Лица | квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12} |
Вершинная фигура | филлический дисфеноид |
Группы Кокстера | , [[6,3,6]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Всеусеченные шестиугольные соты 6-го порядка , t 0,1,2,3 {6,3,6}, имеет усеченную тригексагональную мозаику и двенадцатиугольные призматические ячейки с филлической фигурой дисфеноида в вершине .
Шестиугольные соты чередующегося порядка 6
[ редактировать ]Шестиугольные соты чередующегося порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символы Шлефли | ч{6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | {3,6} {3 [3] } |
Лица | треугольник {3} |
Вершинная фигура | шестиугольная плитка |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Регулярный, квазирегулярный |
представляют Шестиугольные соты чередующегося порядка 6 собой конструкцию с более низкой симметрией обычных треугольных сот . ↔ . Он содержит треугольные грани мозаики в шестиугольной вершине мозаики .
Шестиугольная сотовая плитка Cantic order-6
[ редактировать ]Шестиугольная сотовая плитка Cantic order-6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символы Шлефли | ч 2 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | т{3,6} г{6,3} ч 2 {6,3} |
Лица | треугольник {3} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | треугольная призма |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
представляют Шестиугольные соты кантического порядка 6 собой конструкцию с более низкой симметрией выпрямленных треугольных сот мозаики . ↔ , с тригексагональной мозаикой и гранями шестиугольной мозаики в треугольной призмы фигуре вершины .
Шестиугольная плитка Runcic порядка 6 в сотах
[ редактировать ]Шестиугольная плитка Runcic порядка 6 в сотах | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символы Шлефли | ч 3 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | рр{3,6} {6,3} {3 [3] } {3}х{} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | треугольный купол |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Руничная шестиугольная черепица-соты , h 3 {6,3,6}, , или , имеет шестиугольную мозаику , ромбитригексагональную мозаику , треугольную мозаику и треугольные грани призмы , с купола треугольной фигурой вершины .
Шестиугольные соты рунического порядка-6
[ редактировать ]Шестиугольные соты Runcicantic порядка 6 | |
---|---|
Тип | Паракомпактный однородный сотовый |
Символы Шлефли | ч 2,3 {6,3,6} |
Диаграммы Кокстера | ↔ |
Клетки | тр{6,3} т{6,3} ч 2 {6,3} {}х{3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {12} |
Вершинная фигура | прямоугольная пирамида |
Группы Кокстера | , [6,3 [3] ] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
, Шестиугольные соты ранцикантического порядка 6 h 2,3 {6,3,6}, , или , содержит усеченную тригексагональную мозаику , усеченную шестиугольную мозаику , тригексагональную мозаику и грани треугольной призмы с прямоугольной пирамиды фигурой вершины .
См. также
[ редактировать ]- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического трехмерного пространства
- Паракомпактные однородные соты
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Коксетер Красота геометрии , 1999, Глава 10, Таблица III
- ^ Вращение Твиттера вокруг трехкратной оси
- Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10, Правильные соты в гиперболическом пространстве ) Таблица III
- Джеффри Р. Уикс. Форма пространства, 2-е издание ISBN 0-8247-0709-5 (Глава 16-17: Геометрии трехмерных многообразий I, II)
- Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера