Треугольный купол

Треугольный купол
Треугольный купол
Тип	Джонсон ; В 2 – В 3 – В 4
Лица	4 треугольника ; 3 квадрата ; 1 шестиугольник
Края	15
Вершины	9
Конфигурация вершин
Группа симметрии
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии треугольный купол — это купол с шестиугольником в основании и треугольником в верхней части. Если ребра равны по длине, треугольный купол представляет собой тело Джонсона. Его можно рассматривать как половину кубооктаэдра . Многие многогранники можно построить, прикрепив основание треугольного купола.

Характеристики

Треугольный купол имеет 4 треугольников , 3 квадратов и 1 шестиугольника грани ; шестиугольник — это основание, а один из четырех треугольников — вершина. Если все ребра равны по длине, треугольники и шестиугольник становятся правильными ; длина ребра этого шестиугольника равна длине ребра квадрата и треугольника. ^[1]^[2] Двугранный угол между каждым треугольником и шестиугольником примерно равен $70.5^{\circ }$ , что между каждым квадратом и шестиугольником находится $54.7^{\circ }$ , и что между квадратом и треугольником $125.3^{\circ }$ . ^[3] Выпуклый многогранник , у которого все грани правильные, является телом Джонсона , среди них и треугольный купол, обозначаемый как третье тело Джонсона. $J_{3}$ . ^[2]

При условии $a$ — длина ребра треугольного купола. Площадь его поверхности $A$ можно вычислить, сложив площади четырех равносторонних треугольников, трех квадратов и одного шестиугольника: ^[1] $A=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 7.33a^{2}.$ Его высота $h$ и объем $V$ является: ^[4]^[1] ${\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.82a,\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.18a^{3}.\end{aligned}}$

У него есть ось симметрии, проходящая через центр его верха и основания, которая симметрична, вращаясь вокруг него на одну и две трети угла полного поворота. Он также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису шестиугольного основания. Следовательно, она обладает пирамидальной симметрией , циклическая группа $C_{3v}$ порядка 6. ^[3]

Связанные многогранники и соты

Двойником треугольного купола является многогранник с 6 треугольными и 3 змеевидными гранями.

Треугольный купол можно встретить в конструкциях многих многогранников. Примером может служить кубооктаэдр , в котором треугольный купол можно рассматривать как его полусферу. ^[5] Конструкция, предполагающая присоединение своего основания к другому многограннику, известна как приращение ; прикрепление его к призмам или антипризмам известно как элонгация или гироэлонгация . ^[6]^[7] Некоторые из других тел Джонсона, построенных таким образом, представляют собой вытянутый треугольный купол. $J_{18}$ , гироудлинённая треугольная башенка $J_{22}$ , треугольный ортобикупол $J_{27}$ , вытянутый треугольный ортобикупол $J_{35}$ , вытянутый треугольный гиробикупол $J_{36}$ , гироудлинённый треугольный двуглавый купол $J_{44}$ , дополненный усеченный тетраэдр $J_{65}$ . ^[8]

Треугольный купол можно дополнить тремя квадратными пирамидами , оставив смежные грани копланарными. Это не тело Джонсона, поскольку грани компланарны . Если объединить эти копланарные треугольники в более крупные, топологически это еще один треугольный купол с равнобедренными трапециевидными боковыми гранями. Если сохранить все треугольники и заменить шестиугольник на шесть треугольников, получится копланарный дельтаэдр с 22 гранями.

Треугольный купол может образовывать мозаику пространства с квадратными пирамидами и/или октаэдрами . ^[9] точно так же октаэдры и кубооктаэдры могут заполнять пространство.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5 . S2CID 220150682 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .
^ Сапинья, Р. «Площадь и объём тела Джонсона». $J_{3}$ « . Проблемы и уравнения (на испанском языке). ISSN 2659-9899 . Проверено 8 сентября 2020 г.
^ Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . п. 86. ИСБН 978-0-521-55432-9 .
^ Деми, Лоренц; Смессерт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний» . Симметрия . 9 (10): 204. Бибкод : 2017Symm....9..204D . дои : 10.3390/sym9100204 .
^ Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
^ Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 978-93-86279-06-4 .
^ «Соты J3» .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. , « Треугольный купол » (« Тело Джонсона ») в MathWorld .

[berman-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР 0290245 .

[uehara-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Уэхара, Рюхэй (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии . Спрингер. п. 62. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5 . S2CID 220150682 .

[johnson-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР 0185507 . S2CID 122006114 . Збл 0132.14603 .

[pye-4] Сапинья, Р. «Площадь и объём тела Джонсона». $J_{3}$ « . Проблемы и уравнения (на испанском языке). ISSN 2659-9899 . Проверено 8 сентября 2020 г.

[cromwell-5] Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета . п. 86. ИСБН 978-0-521-55432-9 .

[demey-6] Деми, Лоренц; Смессерт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний» . Симметрия . 9 (10): 204. Бибкод : 2017Symm....9..204D . дои : 10.3390/sym9100204 .

[slobodan-7] Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.

[rajwade-8] Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта . Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. п. 84–89. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4 . ISBN 978-93-86279-06-4 .

[9] «Соты J3» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Твердые вещества Джонсона
Пирамиды , купола и круги	квадратная пирамида пятиугольная пирамида треугольный купол квадратный купол пятиугольный купол пятиугольная ротонда
Модифицированные пирамиды	вытянутая треугольная пирамида вытянутая квадратная пирамида вытянутая пятиугольная пирамида Гироудлиненная квадратная пирамида гироудлиненная пятиугольная пирамида треугольная бипирамида пятиугольная бипирамида вытянутая треугольная бипирамида вытянутая квадратная бипирамида вытянутая пятиугольная бипирамида гироудлиненная квадратная бипирамида
Модифицированные купола и раунды	удлиненный треугольный купол вытянутый квадратный купол удлиненный пятиугольный купол вытянутая пятиугольная ротонда Гироудлиненный треугольный купол гироудлиненный квадратный купол гироудлиненный пятиугольный купол гироудлиненная пятиугольная ротонда гиробифастигий треугольный ортобикупол квадратный ортобикупол квадратный гиробикупол пятиугольный ортобикупол пятиугольный гирокупол пятиугольная ортокуполаротонда пятиугольная гирокуполаротонда пятиугольная ортобиротонда удлиненный треугольный ортобикупол удлиненный треугольный гиробикупол вытянутый квадратный гиробикупол удлиненный пятиугольный ортобикупол удлиненный пятиугольный гиробикупол вытянутая пятиугольная ортокуполаротонда вытянутая пятиугольная гирокуполаротонда вытянутая пятиугольная ортобиротонда вытянутая пятиугольная гиробиротунда гироудлиненный треугольный двуглавый купол гироудлиненный квадратный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный двуглавый купол гироудлиненный пятиугольный купол-ротонда гироудлиненная пятиугольная биротонда
Дополненные призмы	увеличенная треугольная призма смещенная треугольная призма триаугментированная треугольная призма увеличенная пятиугольная призма увеличенная пятиугольная призма дополненная шестиугольная призма парабиоувеличенная шестиугольная призма метаувеличенная шестиугольная призма трехугольная шестиугольная призма
Модифицированные платоновые тела	дополненный додекаэдр парабиоувеличенный додекаэдр метаувеличенный додекаэдр триаугментированный додекаэдр метабидиминированный икосаэдр трехмерный икосаэдр увеличенный трехмерный икосаэдр
Модифицированные архимедовы тела	расширенный усеченный тетраэдр дополненный усеченный куб увеличенный усеченный куб дополненный усеченный додекаэдр парабиоувеличенный усеченный додекаэдр метаувеличенный усеченный додекаэдр триаугментированный усеченный додекаэдр вращающийся ромбокосододекаэдр парабигиратный ромбикосидодекаэдр метабивративный ромбокосододекаэдр тригиратный ромбикосидодекаэдр уменьшенный ромбокосододекаэдр парагиратный уменьшенный ромбокосододекаэдр метавращающийся уменьшенный ромбокосододекаэдр большой, уменьшенный ромбокосододекаэдр парабидиуменьшенный ромбокосододекаэдр метабидиминированный ромбикосододекаэдр вращающийся двууменьшенный ромбокосододекаэдр трехмерный ромбикосидодекаэдр
Элементарные твердые тела	курносый дисфеноид курносая квадратная антипризма сфенокорона расширенная сфенокорона сфеномегакорона Гебесфеномегакорона дисфеномен коды неисправностей треугольная гебесфеноротонда
(См. также Список твердых тел Джонсона , сортируемую таблицу)