Увеличенная треугольная призма

Увеличенная треугольная призма
Тип	Джонсон Я 48 – Я 49 – Я 50
Лица	6 треугольников 2 квадрата
Края	13
Вершины	7
Конфигурация вершин	${\begin{aligned}&2\times (3\times 4^{2})\,+\\&1\times (3^{4})\,+\\&4\times (3^{3}\times 4)\end{aligned}}$
Группа симметрии	$C_{2\mathrm {v} }$
Характеристики	выпуклый
Сеть

В геометрии расширенная треугольная призма представляет собой многогранник, построенный путем прикрепления равносторонней квадратной пирамиды к квадратной грани треугольной призмы . В результате это пример твердого Джонсона . Его можно представить как химическое соединение, известное как закрытая тригонально-призматическая молекулярная геометрия .

Строительство

Увеличенную треугольную призму можно построить из треугольной призмы , прикрепив к одной из ее квадратных граней равностороннюю квадратную пирамиду - процесс, известный как увеличение . Эта квадратная пирамида покрывает квадратную грань призмы, поэтому полученный многогранник имеет 6 равносторонних треугольников и 2 квадрата . в качестве граней Выпуклый многогранник , у которого все грани правильные, является телом Джонсона , и в их число входит расширенная треугольная призма, нумеруемая как 49-е тело Джонсона. $J_{49}$.

Характеристики

Увеличенная треугольная призма с длиной ребра. $a$ имеет площадь поверхности, рассчитанную путем сложения шести равносторонних треугольников и площади двух квадратов: $${\frac {4+3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 4.598a^{2}.$$Его объем можно получить, разрезав его на правильную треугольную призму и равностороннюю квадратную пирамиду, а затем сложив их объем: $${\frac {2{\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}}{12}}a^{3}\approx 0.669a^{3}.$$

Имеет трехмерную группу симметрии циклической группы. $C_{2\mathrm {v} }$ порядка 4. Его двугранный угол можно вычислить, сложив угол равносторонней квадратной пирамиды и правильной треугольной призмы:

• Двугранный угол увеличенной треугольной призмы между двумя соседними треугольниками равен углу равносторонней квадратной пирамиды между двумя соседними треугольными гранями. ${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• Двугранный угол увеличенной треугольной призмы между двумя соседними квадратами равен углу треугольной призмы между двумя боковыми гранями, внутренний угол треугольной призмы $\pi /3=60^{\circ }$.
• Двугранный угол увеличенной треугольной призмы между квадратом и треугольником — это двугранный угол треугольной призмы между основанием и ее боковой гранью, ${\textstyle \pi /2=90^{\circ }}$
• Двугранный угол равносторонней квадратной пирамиды между треугольной гранью и ее основанием равен ${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$. Следовательно, двугранный угол увеличенной треугольной призмы между квадратом (боковая грань треугольной призмы) и треугольником (боковая грань равносторонней квадратной пирамиды) на ребре, где равносторонняя квадратная пирамида прикреплена к квадратной грани треугольной призмы, а между двумя соседними треугольниками (боковая грань обеих равносторонних квадратных пирамид) на ребре, где две равносторонние квадратные пирамиды примыкают к треугольной призме, находятся $${\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 114.7^{\circ },\\2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 169.4^{\circ }.\end{aligned}}$$

Приложение

В геометрии химических соединений многогранник обычно может представлять собой кластер атомов, окружающий центральный атом. описывает Треугольно-призматическая молекулярная геометрия с вершиной кластеры, для которых этот многогранник представляет собой расширенную треугольную призму. Примером такого соединения является гептафторотанталат калия .

См. также

• Биаувеличенная треугольная призма — 50-е тело Джонсона, построенное путем соединения треугольной призмы с двумя равносторонними квадратными пирамидами.
• Триаугментированная треугольная призма — 51-е тело Джонсона, построенное путем соединения треугольной призмы с тремя равносторонними квадратными пирамидами.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Джонсон Солид» . Математический мир .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Увеличенная треугольная призма» . Математический мир .