Внутренние и внешние углы

В геометрии угол многоугольника . сторонами образован двумя смежными Для простого (несамопересекающегося) многоугольника, независимо от того, выпуклый он или невыпуклый , этот угол называется внутренний угол (или внутренний угол ), если точка внутри угла находится внутри многоугольника. Многоугольник имеет ровно один внутренний угол на вершину .

Если каждый внутренний угол простого многоугольника меньше прямого угла ( $π$ радиан или 180°), то многоугольник называется выпуклым .

Напротив, Внешний угол (также называемый углом поворота или внешним углом ) — это угол, образованный одной стороной простого многоугольника и линией, продолженной от прилегающей стороны . ^[1]^{: стр. 261–264.}

Свойства [ править ]

Сумма внутреннего угла и внешнего угла при одной и той же вершине равна π радиан (180°).
Сумма всех внутренних углов простого многоугольника равна π( n -2) радиан или 180( n -2) градусов, где n — количество сторон. Формулу можно доказать с помощью математической индукции : начиная с треугольника, для которого сумма углов равна 180°, затем заменяя одну сторону двумя сторонами, соединенными в другой вершине, и так далее.
Сумма внешних углов любого простого выпуклого или невыпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, равна 2π радиан (360°).
На величину внешнего угла в вершине не влияет то, какая сторона расширена: два внешних угла, которые могут быть образованы в вершине путем поочередного продления одной или другой стороны, являются вертикальными углами и, следовательно, равны.

Расширение для пересекающихся полигонов [ править ]

Концепция внутреннего угла может быть последовательно расширена на пересекающиеся многоугольники, такие как звездчатые многоугольники, используя концепцию направленных углов . В общем, сумма внутренних углов в градусах любого замкнутого многоугольника, включая скрещенные (самопересекающиеся), тогда равна 180( n –2 k )°, где n — количество вершин, а строго положительное целое число k - это количество полных (360 °) оборотов, которые человек совершает, проходя по периметру многоугольника. Другими словами, сумма всех внешних углов равна 2π к радиан или 360 к градусов. Пример: для обычных выпуклых многоугольников и вогнутых многоугольников k = 1, поскольку сумма внешних углов равна 360 °, и при обходе периметра человек совершает только один полный оборот.

Ссылки [ править ]

^ Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.

Внешние ссылки [ править ]

Внутренние углы треугольника
Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула . Предоставляет интерактивное действие Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включив в нее скрещенные (сложные) многоугольники.

[PL-1] Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.

[1]