Триаугментированная треугольная призма

Триаугментированная треугольная призма
Тип	Дельтаэдр , Джонсон 50 ​ – 51 ​ – 52 ​
Лица	14 треугольников
Края	21
Вершины	9
Конфигурация вершин	$3\times 3^{4}+6\times 3^{5}$
Группа симметрии	$D_{3\mathrm {h} }$
Двойной многогранник	Ассоциэдр $K_{5}$
Характеристики	выпуклый
Сеть

Триаугментированная треугольная призма в геометрии представляет собой выпуклый многогранник с 14 равносторонними треугольниками в качестве граней. Ее можно построить из треугольной призмы , прикрепив равносторонние квадратные пирамиды к каждой из трех квадратных граней . Эту же форму еще называют треугольной призмой тетракиса , трехгранная трехугольная призма , тетракадекадельтаэдр , или тетракаидекадельтаэдр ; эти фамилии означают многогранник с 14 треугольными гранями. Это пример дельтаэдра и тела Джонсона .

Ребра и вершины триаугментированной треугольной призмы образуют максимальный планарный граф с 9 вершинами и 21 ребром, называемый графом Фрича . Его использовали Рудольф и Герда Фрич, чтобы показать, что Альфреда Кемпе попытка доказать теорему о четырех цветах была неверной. Граф Фрича — один из шести графов, в которых каждая окрестность представляет собой цикл с 4 или 5 вершинами.

Двойственный многогранник триаугментированной треугольной призмы представляет собой ассоциаэдр , многогранник с четырьмя четырехугольными гранями и шестью пятиугольниками, вершины которых представляют 14 триангуляций правильного шестиугольника . Точно так же девять вершин триугольной призмы представляют собой девять диагоналей шестиугольника, причем две вершины соединены ребром, когда соответствующие две диагонали не пересекаются. Другие применения триаугментированной треугольной призмы появляются в химии как основа трехугольной тригональной призматической молекулярной геометрии , а также в математической оптимизации как решение проблемы Томсона и проблемы Таммеса .

Строительство

3D-модель триаугментированной треугольной призмы

Триаугментированная треугольная призма может быть построена путем присоединения равносторонних квадратных пирамид к каждой из трех квадратных граней треугольной призмы . Этот процесс называется увеличением . Эти пирамиды покрывают каждый квадрат, заменяя его четырьмя равносторонними треугольниками , так что получившийся многогранник имеет в качестве граней 14 равносторонних треугольников. Многогранник, гранями которого являются только равносторонние треугольники, называется дельтаэдром . Существует всего восемь различных выпуклых дельтаэдров, один из которых представляет собой триаугментированную треугольную призму. В более общем смысле, выпуклые многогранники, в которых все грани являются правильными многоугольниками, называются телами Джонсона , а каждый выпуклый дельтаэдр — телом Джонсона. Триаугментированная треугольная призма пронумерована среди тел Джонсона как $J_{51}$.

Одна из возможных систем декартовых координат для вершин триугольной призмы с длиной ребра 2: $${\begin{aligned}\left(0,{\frac {2}{\sqrt {3}}},\pm 1\right),\qquad &\left(\pm 1,-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\pm 1\right),\\\left(0,-{\frac {1+{\sqrt {6}}}{\sqrt {3}}},0\right),\qquad &\left(\pm {\frac {1+{\sqrt {6}}}{2}},{\frac {1+{\sqrt {6}}}{2{\sqrt {3}}}},0\right).\\\end{aligned}}$$

Характеристики

Триаугментированная треугольная призма с длиной ребра. $a$ имеет площадь поверхности $${\frac {7{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 6.062a^{2},$$площадь 14 равносторонних треугольников. Его объем, $${\frac {2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}{4}}a^{3}\approx 1.140a^{3},$$можно получить, разрезав его на центральную призму и три квадратные пирамиды и сложив их объемы.

Он имеет ту же трехмерную группу симметрии, что и треугольная призма, группу диэдра. $D_{3\mathrm {h} }$ порядка двенадцатого. Его двугранные углы можно рассчитать, сложив углы составляющих пирамид и призмы. Сама призма имеет двугранные углы прямоугольно-треугольные. $\pi /2$ и квадратно-квадратные углы $\pi /3$. Углы треугольника-треугольника на пирамиде такие же, как в правильном октаэдре , а углы квадрата-треугольника вдвое меньше. Следовательно, для триаугментированной треугольной призмы двугранные углы, инцидентные вершинам четвертой степени, на ребрах треугольников призмы и на ребрах квадрат-квадратной призмы, равны соответственно: $${\begin{aligned}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 109.5^{\circ },\\{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2}}\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 144.7^{\circ },\\{\frac {\pi }{3}}+\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&\approx 169.5^{\circ }.\\\end{aligned}}$$

Граф Фрича

Граф Фрича и его двойственное отображение. Для показанной частичной 4-раскраски красно-зеленая и сине-зеленая цепи Кемпе пересекаются. Невозможно освободить цвет для неокрашенной центральной области путем замены цветов в одной цепочке, что противоречит ложному доказательству Альфреда Кемпе теоремы о четырех цветах.

Граф триаугментированной треугольной призмы имеет 9 вершин и 21 ребро. Он использовался Фричем и Фричем (1998) в качестве небольшого контрпримера к Альфреда Кемпе ложному доказательству теоремы о четырех цветах с использованием цепей Кемпе , а его двойная карта использовалась в качестве иллюстрации на обложке их книги. Поэтому этот граф впоследствии был назван графом Фрича . Еще меньший контрпример, называемый графом Сойфера, получается путем удаления одного ребра из графа Фрича (нижнее ребро на иллюстрации).

Граф Фрича — один из шести связных графов, в которых окрестность каждой вершины представляет собой цикл длины четыре или пять. В более общем смысле, когда каждая вершина графа имеет в качестве окрестности цикл длиной не менее четырех, треугольники графа автоматически соединяются, образуя топологическую поверхность, называемую триангуляцией Уитни . Эти шесть графиков взяты из шести триангуляций Уитни, которые, когда их треугольники равносторонние, имеют положительный угловой дефект в каждой вершине. Это делает их комбинаторным аналогом гладких поверхностей положительной кривизны. Они происходят из шести из восьми дельтаэдров, за исключением двух, у которых есть вершина с треугольной окрестностью. Помимо графа Фрича, остальные пять — это графики правильного октаэдра , правильного икосаэдра , пятиугольной бипирамиды , курносого дисфеноида и гировытянутой квадратной бипирамиды .

Двойной ассоциэдр

Двойной многогранник триаугментированной треугольной призмы

Двойственный многогранник триаугментированной треугольной призмы имеет грань для каждой вершины триаугментированной треугольной призмы и вершину для каждой грани. Это эннеаэдр (то есть девятигранный многогранник). это можно реализовать с помощью трех несмежных квадратных граней и еще шести граней, представляющих собой конгруэнтные неправильные пятиугольники . Он также известен как ассоциэдр пятого порядка — многогранник, вершины которого представляют собой 14 триангуляций правильного шестиугольника . Менее симметричная форма этого двойственного многогранника, полученная путем разрезания усеченного октаэдра на четыре конгруэнтные четверти двумя плоскостями, которые перпендикулярно делят пополам два параллельных семейства его ребер, представляет собой многогранник, заполняющий пространство .

В более общем смысле, когда многогранник является двойственным ассоциаэдру, его граница ( симплициальный комплекс треугольников, тетраэдров или симплексов более высокой размерности) называется «кластерным комплексом». В случае триаугментированной треугольной призмы это кластерный комплекс типа $A_{3}$, связанный с $A_{3}$ Диаграмма Дынкина , $A_{3}$ корневая система и $A_{3}$ кластерная алгебра . Связь с ассоциаэдром обеспечивает соответствие девяти вершин тройчатой ​​треугольной призмы девяти диагоналям шестиугольника. Ребра тройчатой ​​треугольной призмы соответствуют парам непересекающихся диагоналей, а треугольные грани триугольной треугольной призмы соответствуют триангуляциям шестиугольника (состоящего из трех непересекающихся диагоналей). Триангуляции других правильных многоугольников таким же образом соответствуют многогранникам с размерностью, равной числу сторон многоугольника минус три.

Приложения

В геометрии химических соединений принято представлять кластер атомов, окружающий центральный атом, в виде многогранника — выпуклой оболочки расположения окружающих атомов. Молекулярная геометрия тройной тригональной призмы описывает кластеры, для которых этот многогранник представляет собой триаугментированную треугольную призму, хотя и не обязательно с равносторонними треугольными гранями. Например, лантаноиды от лантана до диспрозия растворяются в воде с образованием катионов, окруженных девятью молекулами воды, расположенными в виде тройной треугольной призмы.

В задаче Томсона о конфигурации минимальной энергии $n$ заряженные частицы на сфере, а для задачи Таммеса о построении сферического кода, максимизирующего наименьшее расстояние между точками, минимальное решение, известное как $n=9$ помещает точки в вершины триаугментированной треугольной призмы с неравносторонними гранями, вписанной в сферу . Эта конфигурация оказалась оптимальной для проблемы Таммеса, но строгое решение этого случая проблемы Томсона не известно.

См. также

• Императорский многогранник - Тороидальный многогранник с 14 треугольными гранями.
• Многогранник Штеффена - Гибкий многогранник с 14 треугольными гранями.