Угловой дефект

В геометрии ( угловой ) дефект (или дефицит или недостаток ) означает неспособность некоторых углов в сумме составить ожидаемую величину 360° или 180°, тогда как такие углы в евклидовой плоскости могли бы. Противоположное понятие – это избыток .

Классически дефект возникает двумя способами:

дефект вершины многогранника;
дефект гиперболического треугольника ;

и избыток также возникает двояко:

избыток тороидального многогранника .
избыток сферического треугольника ;

В евклидовой плоскости сумма углов вокруг точки составляет 360°, а сумма внутренних углов треугольника — 180° (эквивалентно сумма внешних углов составляет 360°). Однако у выпуклого многогранника сумма углов при вершине составляет менее 360°, у сферического треугольника сумма внутренних углов всегда превышает 180° (сумма внешних углов составляет менее 360°), а углы в гиперболическом треугольнике сумма всегда меньше 180° (сумма внешних углов больше 360 °).

Говоря современным языком, дефект в вершине представляет собой дискретную версию кривизны многогранной поверхности, сконцентрированную в этой точке , а теорема Гаусса-Бонне дает полную кривизну как $2\pi$ раз эйлерову характеристику $\chi =2$ , поэтому сумма дефектов равна $4\pi$ .

Дефект вершины

Для многогранника дефект в вершине равен 2π минус сумма всех углов в вершине (включая все грани в вершине). Если многогранник выпуклый, то дефект каждой вершины всегда положителен. Если сумма углов превышает полный оборот , как это происходит в некоторых вершинах многих невыпуклых многогранников, то дефект отрицательный.

на которую сумма двугранных углов ячеек Понятие дефекта распространяется на более высокие измерения как величину , на вершине не достигает полного круга.

Примеры

Дефект любой из вершин правильного додекаэдра (в котором в каждой вершине сходятся три правильных пятиугольника ) составляет 36°, или π/5 радиан, или 1/10 окружности. Каждый из углов равен 108°; три из них встречаются в каждой вершине, поэтому дефект составляет 360 ° - (108 ° + 108 ° + 108 °) = 36 °.

Ту же процедуру можно выполнить и для других Платоновых тел :

Форма	Количество вершин	Полигоны встречаются в каждой вершине	Дефект в каждой вершине	Полный дефект
тетраэдр	4	Три равносторонних треугольника	$\pi \ \ (180^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
октаэдр	6	Четыре равносторонних треугольника	${2\pi \over 3}\ (120^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
куб	8	Три квадрата	${\pi \over 2}\ \ (90^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
икосаэдр	12	Пять равносторонних треугольников	${\pi \over 3}\ \ (60^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$
додекаэдр	20	Три правильных пятиугольника	${\pi \over 5}\ \ (36^{\circ })$	$4\pi \ \ (720^{\circ })$

Теорема Декарта

Теорема Декарта о «полном дефекте» многогранника гласит, что если многогранник гомеоморфен сфере (т.е. топологически эквивалентен сфере, так что его можно деформировать в сферу путем растяжения без разрыва), «полный дефект» т.е. сумма дефектов всех вершин составляет два полных круга (или 720° или 4 $π$ радиан). Многогранник не обязательно должен быть выпуклым. ^[1]

Обобщение гласит, что количество кругов в общем дефекте равно эйлеровой характеристике многогранника. Это частный случай теоремы Гаусса – Бонне , которая связывает интеграл гауссовой кривизны с эйлеровой характеристикой. Здесь гауссова кривизна сосредоточена в вершинах: на гранях и ребрах гауссова кривизна равна нулю и интеграл от гауссовой кривизны в вершине равен дефекту в ней.

Это можно использовать для расчета количества V вершин многогранника путем суммирования углов всех граней и добавления общего дефекта. В этой сумме будет один полный круг для каждой вершины многогранника. Необходимо позаботиться о том, чтобы использовать правильную характеристику Эйлера для многогранника.

Обращение к этой теореме даёт теорема единственности Александрова , согласно которой метрическое пространство, локально евклидово, за исключением конечного числа точек положительного углового дефекта, добавляемого к 4 $π$ , может быть реализовано единственным образом как поверхность выпуклый многогранник.

Положительные дефекты на невыпуклых фигурах

Соблазнительно думать, что каждый невыпуклый многогранник должен иметь вершины с отрицательным дефектом, но это не обязательно так. Двумя контрпримерами этому являются малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр , каждая из которых имеет двенадцать выпуклых точек с положительными дефектами.

Многогранники с положительными дефектами

Контрпример, который не пересекает сам себя, представляет собой куб , в котором одна грань заменена квадратной пирамидой : эта вытянутая квадратная пирамида выпукла, и дефекты в каждой вершине положительны. Теперь рассмотрим тот же куб, в котором квадратная пирамида переходит в куб: он вогнутый, но дефекты остаются теми же, и поэтому все они положительные.

Отрицательный дефект указывает на то, что вершина напоминает седловую точку (отрицательная кривизна), тогда как положительный дефект указывает на то, что вершина напоминает локальный максимум или минимум (положительная кривизна).

Ссылки

Примечания

^ Декарт, Рене , Progymnamata de Solidorum Elementis , в Oeuvres de Descartes , vol. Х, стр. 265–276

Библиография

Ричесон, Д. ; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Принстон (2008), страницы 220–225.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Угловой дефект» . Математический мир .

[1] Декарт, Рене , Progymnamata de Solidorum Elementis , в Oeuvres de Descartes , vol. Х, стр. 265–276

[1]