Большой звездчатый додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр
Тип	Многогранник Кеплера – Пуансо
звездообразования Ядро	правильный додекаэдр
Элементы	Ф = 12, Е = 30 V = 20 (х = 2)
Лица по сторонам	12 { 5 ⁄ 2 }
Символ Шлефли	{ 5 ⁄ 2 ,3}
Конфигурация лица	V(3 5 )/2
Символ Витхоффа	3 | 2 5 ⁄ 2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I h , H 3 , [5,3], (*532)
Ссылки	Ю 52 , С 68 , Ж 22
Характеристики	Обычный невыпуклый
( 5 ⁄ 2 ) 3 ( фигура вершины )	Большой икосаэдр ( двойной многогранник )

3D-модель большого звездчатого додекаэдра

В геометрии большой звездчатый додекаэдр представляет собой многогранник Кеплера-Пуансо с символом Шлефли { 5 ⁄ 2,3 }. Это один из четырех невыпуклых правильных многогранников .

Он состоит из 12 пересекающихся пентаграммных граней, в каждой вершине которых встречаются по три пентаграммы.

Он разделяет расположение вершин , но не фигуру вершин или конфигурацию вершин , с правильным додекаэдром , а также представляет собой звездчатую форму (меньшего) додекаэдра. Это единственная додекаэдрическая звездочка, обладающая таким свойством, не считая самого додекаэдра. Его двойник, большой икосаэдр , аналогичен икосаэдру .

Если удалить треугольные пирамиды, получится икосаэдр .

Если пентаграммные грани разбиты на треугольники, это топологически связано с триакисикосаэдром с такой же связностью граней, но с гораздо более высокими гранями равнобедренного треугольника. Если вместо этого треугольники перевернуться и выкопать центральный икосаэдр, в результате получится большой додекаэдр .

Большой звездчатый додекаэдр может быть построен аналогично пентаграмме, ее двумерному аналогу, путем попытки звездчатого n -мерного пятиугольного многогранника , который имеет пятиугольные многогранные грани и симплексные вершинные фигуры, до тех пор, пока он больше не станет звездчатым; то есть это его последнее созвездие.

Изображения

Прозрачная модель	Укладка плитки
Прозрачный большой звездчатый додекаэдр ( Анимация )	Этот многогранник можно составить в виде сферической мозаики с плотностью 7. (Выше показана одна сферическая грань пентаграммы, обведенная синим цветом и закрашенная желтым цветом)
Сеть	Фасеты звездчатости
× 20 Сетка большого звездчатого додекаэдра (геометрия поверхности); двадцать равнобедренных треугольных пирамид, расположенных как грани икосаэдра.	Ее можно построить как третью из трех звездочек додекаэдра и назвать моделью Веннингера [W22] .
Полная развертка большого звездчатого додекаэдра.

Формулы

Для большого звездчатого додекаэдра с длиной ребра E:

$${\text{Circumradius}}={\tfrac {E}{4}}(3+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}$$

$${\text{Surface Area}}=15{\Bigl (}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{\Bigr )}E^{2}$$

$${\text{Volume}}={\tfrac {5}{4}}(3+{\sqrt {5}})E^{3}$$

Связанные многогранники

Анимированная последовательность усечения из { 5 ⁄ 2 , 3} до {3, 5 ⁄ 2 }

Процесс усечения, примененный к большому звездчатому додекаэдру, дает серию однородных многогранников. Усечение ребер до точек дает большой икосододекаэдр в виде выпрямленного большого звездчатого додекаэдра. Процесс завершается биректификацией, уменьшая исходные грани до точек и создавая большой икосаэдр .

Усеченный представляет собой вырожденный многогранник с 20 треугольными гранями из усеченных вершин и 12 (скрытыми) пятиугольными гранями , большой звездчатый додекаэдр образующими усеченные исходные грани пентаграммы, причем последние образуют большой додекаэдр, вписанный внутрь и разделяющий ребра икосаэдра.

Звездочки додекаэдра
Платоново твердое тело	Твердые тела Кеплера – Пуансо
Додекаэдр	Малый звездчатый додекаэдр	Большой додекаэдр	Большой звездчатый додекаэдр

Имя	Большой звездчатый додекаэдр	Усеченный большой звездчатый додекаэдр	Большой икосододекаэдр	Усечено большой икосаэдр	Большой икосаэдр
Коксетер-Дынкин диаграмма
Картина

Ссылки

• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-09859-9 .

• Коксетер, Гарольд (1954). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 246 (916). Королевское общество : 401–450. Бибкод : 1954RSPTA.246..401C . дои : 10.1098/rsta.1954.0003 . JSTOR   91532 . S2CID   202575183 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Большой звездчатый додекаэдр » (« Равномерный многогранник ») в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Три звездчатки додекаэдра» . Математический мир .
• Однородные многогранники и двойники