Звездный многогранник
 | Эта статья включает список литературы , связанную литературу или внешние ссылки , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Март 2023 г. ) |
В геометрии — звездчатый многогранник это многогранник , который имеет повторяющиеся свойства невыпуклости, что придает ему визуальное сходство со звездой.
Существует два основных типа звездчатого многогранника:
- Многогранники, которые повторяются самопересекающимися.
- Вогнутые многогранники определенного вида, в которых повторяющиеся выпуклые и вогнутые или седловые вершины чередуются. Математически эти фигуры являются примерами звездных доменов .
Математические исследования звездчатых многогранников обычно связаны с многогранниками или правильными однородными двойственными однородными многогранниками. Все эти звезды относятся к самопересекающимся типам.
Самопересекающиеся звездчатые многогранники
[ редактировать ]Правильные звездчатые многогранники
[ редактировать ]Правильные звездчатые многогранники являются самопересекающимися многогранниками. Они могут иметь либо самопересекающиеся грани , либо самопересекающиеся фигуры вершин .
Существует четыре правильных звездчатых многогранника , известных как многогранники Кеплера-Пуансо . Символ Шлефли { p , q } подразумевает грани с p сторонами и фигуры вершин с q сторонами. Два из них имеют пентаграммные грани {5/2}, а два - пентаграммные вершинные фигуры.
На этих изображениях каждая форма показана с одним лицом, окрашенным в желтый цвет, чтобы показать видимую часть этого лица.
Также существует бесконечное количество правильных звездчатых диэдров и осоэдров {2, p/q } и { p/q , 2} для любого звездчатого многоугольника { p/q }. Будучи вырожденными в евклидовом пространстве, они могут быть реализованы сферически в невырожденной форме.
Однородные и однородные двойные звездчатые многогранники.
[ редактировать ]Существует множество однородных звездчатых многогранников , включая две бесконечные серии призм и антипризм им , а также двойственные .
Однородные однородные звездчатые многогранники и двойственные также являются самопересекающимися многогранниками. Они могут иметь либо самопересекающиеся грани , либо самопересекающиеся фигуры вершин, либо и то, и другое.
Однородные звездчатые многогранники имеют правильные грани или правильные грани звездчатого многоугольника . Двойственные однородные звездчатые многогранники имеют правильные грани или правильные звездчатого многоугольника фигуры вершин .
| Однородный многогранник | Двойной многогранник |
|---|---|
 Пентаграммная призма представляет собой призматический звездчатый многогранник . Он состоит из двух граней пентаграммы , соединенных пятью пересекающимися квадратными гранями. |
 Пентаграммная дипирамида также является звездным многогранником , представляющим двойственную пентаграммной призме. Он гране-переходный , составлен из десяти пересекающихся равнобедренных треугольников . |
 Большой додекикосаэдр — это звездчатый многогранник, построенный из одной вершинной фигуры пересекающихся шестиугольных и декаграммных {10/3} граней . |
 Большой додетикосакрон является двойником большого додекикосаэдра . Он является переходным по граням и состоит из 60 пересекающихся галстука-бабочки в форме четырехугольных граней . |
Звездочки и грани
[ редактировать ]Помимо указанных выше форм, существует неограниченное количество классов самопересекающихся (звездчатых) многогранников.
Двумя важными классами являются звёздочки выпуклых многогранников и двойственные им многогранники, грани двойственных многогранников.
Например, полную звездчатость икосаэдра (на рисунке) можно интерпретировать как самопересекающийся многогранник, состоящий из 20 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой намотанный многоугольник (9/4). Ниже приведена иллюстрация этого многогранника, одна грань которого нарисована желтым цветом.
Звездные многогранники
[ редактировать ]Аналогично самопересекающийся многогранник в любом количестве измерений называется звездным многогранником .
Правильный многогранник { p , q , r ,..., s , t } является звездным многогранником, если либо его грань { p , q ,... s }, либо его вершинная фигура { q , r ,..., s , t } – звездчатый многогранник.
В четырех измерениях 10 правильных звездчатых полихор называются полихорой Шлефли – Гесса . Аналогично правильным звездчатым многогранникам, все эти 10 состоят из граней, которые являются либо одним из пяти правильных платоновых тел , либо одним из четырех правильных звездчатых многогранников Кеплера-Пуансо .
Например, великий звёздчатый 120-клеточный , проецируемый ортогонально в 3-мерное пространство, выглядит так:
Не существует правильных звездчатых многогранников размерностей больше 4. [ нужна ссылка ] .
Звездчатые многогранники
[ редактировать ]
Примером звездной области является многогранник, который не пересекает сам себя и все внутреннее пространство которого можно увидеть из одной внутренней точки . Видимые внешние части многих самопересекающихся звездных многогранников образуют границы звездных доменов. но, несмотря на схожий внешний вид, как абстрактные многогранники, это разные структуры. Например, маленький звездчатый додекаэдр имеет 12 граней пентаграммы, но соответствующий звездный домен имеет 60 граней равнобедренного треугольника и, соответственно, разное количество вершин и ребер.
Многогранные звездные домены появляются в различных типах архитектуры, обычно религиозного характера. Например, их можно увидеть на многих церквях в стиле барокко как символы Папы , построившего церковь, на венгерских церквях и других религиозных зданиях. Эти звезды также можно использовать в качестве украшений. Моравские звезды используются для обеих целей и могут иметь различные формы.
См. также
[ редактировать ]- Звездный многоугольник
- Звездчатость
- Полиэдрическое соединение
- Список однородных многогранников
- Список однородных многогранников по треугольнику Шварца
Ссылки
[ редактировать ]- Коксетер, HSM , М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. С. П. Миллер, Равномерные многогранники, Phil. Пер. 246 А (1954), стр. 401–450.
- Коксетер, HSM, Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (VI. Звездочки-многогранники, XIV. Звезды-многогранники) (с. 263) [1]
- Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26, Правильные звездчатые многогранники, стр. 404–408)
- Тарнаи Т., Крелинг Дж. и Кабаи С.; «Звездные многогранники: от базилики Св. Марка в Венеции до венгерских протестантских церквей», статья ID209, учеб. IASS 2007, Оболочка и пространственные конструкции: структурная архитектура - в будущее, взгляд в прошлое , Университет IUAV, 2007. [2] Архивировано 29 ноября 2010 г. в Wayback Machine или [3] [ постоянная мертвая ссылка ]