Пятиугольный многогранник

В геометрии пятиугольный многогранник — это правильный многогранник измерений n , построенный из группы H _n Коксетера . Семейство было названо HSM Coxeter , потому что двумерный пятиугольный многогранник является пятиугольником . его можно назвать По символу Шлефли {5, 3 ^{п - 2}} (додекаэдр) или {3 ^{п - 2}, 5} (икосаэдрический).

Члены семьи [ править ]

Семейство начинается как 1-многогранники и заканчивается n = 5 как бесконечные мозаики 4-мерного гиперболического пространства.

Есть два типа пятиугольных многогранников; их можно назвать додекаэдрическими и икосаэдрическими типами по их трехмерным членам. Эти два типа являются двойниками друг друга.

Додекаэдр [ править ]

Полное семейство додекаэдральных пятиугольных многогранников:

Отрезок линии , { }
Пентагон , {5}
Додекаэдр , {5, 3} (12 пятиугольных граней)
120-ячеечный , {5, 3, 3} (120 додекаэдрических ячеек)
Соты порядка 3 из 120 ячеек , {5, 3, 3, 3} (мозаика гиперболического 4-мерного пространства (∞ грани из 120 ячеек )

Грани каждого додекаэдрального пятиугольного многогранника представляют собой додекаэдрические пятиугольные многогранники на одно измерение меньше. Их вершинные фигуры представляют собой симплексы на одно измерение меньше.

Додекаэдральные пятиугольные многогранники
н	Группа Коксетера	Полигон Петри проекция	Имя Диаграмма Кокстера Символ Шлефли	Фасеты	Элементы
н	Группа Коксетера	Полигон Петри проекция	Имя Диаграмма Кокстера Символ Шлефли	Фасеты	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 -грани
1	$H_{1}$ [ ] (заказ 2)		Отрезок линии { }	2 вершины	2
2	$H_{2}$ [5] (заказ 10)		Пентагон {5}	5 ребер	5	5
3	$H_{3}$ [5,3] (заказ 120)		Додекаэдр {5, 3}	12 пятиугольников	20	30	12
4	$H_{4}$ [5,3,3] (заказ 14400)		120-ячеечный {5, 3, 3}	120 додекаэдров	600	1200	720	120
5	${\bar {H}}_{4}$ [5,3,3,3] (порядок ∞)		120-ячеечная сотовая связь {5, 3, 3, 3}	∞ 120 ячеек	∞	∞	∞	∞	∞

Икосаэдр [ править ]

Полное семейство икосаэдральных пятиугольных многогранников:

Отрезок линии , { }
Пентагон , {5}
Икосаэдр , {3, 5} (20 треугольных граней)
600-ячеечный , {3, 3, 5} (600 тетраэдра ) ячеек
5-ячеистые соты порядка 5 , {3, 3, 3, 5} (мозаика гиперболического 4-мерного пространства (∞ 5-ячеечные грани)

Грани каждого икосаэдрального пятиугольного многогранника представляют собой симплексы на одно измерение меньше. Их вершинные фигуры представляют собой икосаэдральные пятиугольные многогранники на одно измерение меньше.

Икосаэдрические пятиугольные многогранники
н	Группа Коксетера	Полигон Петри проекция	Имя Диаграмма Кокстера Символ Шлефли	Фасеты	Элементы
н	Группа Коксетера	Полигон Петри проекция	Имя Диаграмма Кокстера Символ Шлефли	Фасеты	Вершины	Края	Лица	Клетки	4 -грани
1	$H_{1}$ [ ] (заказ 2)		Отрезок линии { }	2 вершины	2
2	$H_{2}$ [5] (заказ 10)		Пентагон {5}	5 краев	5	5
3	$H_{3}$ [5,3] (заказ 120)		Икосаэдр {3, 5}	20 равносторонних треугольников	12	30	20
4	$H_{4}$ [5,3,3] (заказ 14400)		600-ячеечный {3, 3, 5}	600 тетраэдров	120	720	1200	600
5	${\bar {H}}_{4}$ [5,3,3,3] (порядок ∞)		Заказ-5 5-ячеечный сот {3, 3, 3, 5}	∞ 5 ячеек	∞	∞	∞	∞	∞

Связанные звездные многогранники и соты [ править ]

Пятиугольные многогранники могут быть звездчатыми , чтобы сформировать новые звездные правильные многогранники :

В двух измерениях получаем пентаграмму {5/2},
В трех измерениях это образует четыре многогранника Кеплера – Пуансо : { 3,5/2 }, { 5/2,3 }, { 5,5/2 } и { 5/2,5 }.
В четырех измерениях это образует десять полихор Шлефли–Гесса : { 3,5,5/2 }, { 5/2,5,3 }, { 5,5/2,5 }, { 5,3,5/ 2 }, { 5/2,3,5 }, { 5/2,5,5/2 }, { 5,5/2,3 }, { 3,5/2,5 }, { 3,3, 5/2 } и { 5/2,3,3 }.
В четырехмерном гиперболическом пространстве существуют четыре правильные звезды-соты : {5/2,5,3,3} , {3,3,5,5/2} , {3,5,5/2,5} , и {5,5/2,5,3} .

В некоторых случаях звездчатые пятиугольные многогранники сами причисляются к пятиугольным многогранникам. ^[1]

Как и другие многогранники, обычные звезды можно комбинировать со своими двойниками, образуя соединения;

В двух измерениях декаграммная звездная фигура {10/2}, образуется
В трёх измерениях получаем соединение додекаэдра и икосаэдра ,
В четырех измерениях мы получаем соединение 120-ячеечных и 600-ячеечных .

Звездчатые многогранники также можно комбинировать.

Примечания [ править ]

^ Коксетер, HSM: Правильные многогранники (третье издание), с. 107, с. 266

Ссылки [ править ]

Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 10) HSM Коксетер, Звездные многогранники и функция Шлафли f(α,β,γ) [Elements of Mathematics 44 (2) (1989) 25–36]
Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблица I(ii): 16 правильных многогранников {p, q, r} в четырех измерениях, стр. 292–293)

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Коксетер, HSM: Правильные многогранники (третье издание), с. 107, с. 266

[1]