Список правильных многогранников

Пример правильных многогранников
Правильные (2D) многоугольники
Выпуклый	Звезда
{5}	{5/2}
Regular (3D) polyhedra
Выпуклый	Звезда
{5,3}	{5/2,5}
Правильные 4D-многогранники
Выпуклый	Звезда
{5,3,3}	{5/2,5,3}
Обычные 2D-мозаики
евклидов	гиперболический
{4,4}	{5,4}
Обычные 3D-мозаики
евклидов	гиперболический
{4,3,4}	{5,3,4}

В этой статье перечислены правильные многогранники в евклидовом , сферическом и гиперболическом пространствах.

Обзор

В этой таблице показана сводка количества правильных многогранников по рангам.

Классифицировать	Конечный			евклидов		гиперболический			Абстрактный
	Конечный			евклидов		Компактный		Паракомпакт
	Выпуклый	Звезда	Перекос ^[а]^[1]	Выпуклый	Перекос ^[а]^[1]	Выпуклый	Звезда	Выпуклый
1	1	никто	никто	никто	никто	никто	никто	никто	1
2	$\infty$	$\infty$	никто	1	никто	1	никто	никто	$\infty$
3	5	4	9	3	3	$\infty$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
4	6	10	18	1	7	4	никто	11	$\infty$
5	3	никто	3	3	15	5	4	2	$\infty$
6	3	никто	3	1	7	никто	никто	5	$\infty$
7+	3	никто	3	1	7	никто	никто	никто	$\infty$

^ Jump up to: ^а ^б Считаем только многогранники полного ранга. В более высоких измерениях существует больше правильных многогранников каждого ранга > 1.

Не существует евклидовых правильных звездных мозаик ни в каком количестве измерений.

1-многогранники

	Диаграмма Кокстера представляет зеркальные «плоскости» как узлы и помещает кольцо вокруг узла, если точка не находится на плоскости. Дион , { } , — это точка $p$ и ее зеркальное отображение точки $p'$ , а также отрезок между ними.

Существует только один многогранник ранга 1 (1-многогранник), замкнутый отрезок, ограниченный двумя своими концами. Любая реализация этого 1-многогранника регулярна. Он имеет символ Шлефли { }, ^[2]^[3] или диаграмма Кокстера с одним кольцевым узлом, . Норман Джонсон называет это дионом ^[4] и присваивает ему символ Шлефли { }.

Несмотря на то, что это тривиальный многогранник, он выглядит как ребра многоугольников и других многогранников более высокой размерности. ^[5] Он используется в определении однородных призм, таких как символ Шлефли { } × {p} или диаграмма Кокстера. как декартово произведение отрезка и правильного многоугольника. ^[6]

2-многогранники (многоугольники)

Многогранники ранга 2 (2-многогранники) называются многоугольниками . Правильные многоугольники бывают равносторонними и циклическими . -угольный правильный многоугольник $p$ обозначается символом Шлефли {p}.

Многие источники рассматривают только выпуклые многоугольники , но звездчатые многоугольники , как и пентаграмма , при их рассмотрении также могут быть правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединяются альтернативной связностью, которая для завершения проходит по кругу более одного раза.

Выпуклый

Символ Шлефли {p} представляет правильный $p$ -угольник .

Имя	Нонагон (Девятиугольник)	Декагон	Хендекагон	Додекагон	Тридекагон	Тетрадекагон
Имя	Треугольник ( 2-симплекс )	Квадрат ( 2-ортоплекс ) ( 2-куб )	Пентагон ( 2-пятиугольный многогранник )	Шестиугольник	Семиугольник	Октагон
Шлефли	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Симметрия	Д ₃ , [3]	Д ₄ , [4]	Д ₅ , [5]	Д ₆ , [6]	D ₇, [7]	Д ₈ , [8]
Коксетер
Изображение
Шлефли	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Симметрия	Д ₉ , [9]	Д ₁₀ , [10]	Д ₁₁ , [11]	Д ₁₂ , [12]	Д ₁₃ , [13]	Д ₁₄ , [14]
Дынкин
Изображение
Имя	Пятиугольник	Шестиугольник	Гептадекагон	Октадекагон	Эннеадекагон	Икосагон	...п-гон
Шлефли	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{ п }
Симметрия	Д ₁₅ , [15]	D ₁₆, [16]	Д ₁₇ , [17]	Д ₁₈ , [18]	Д ₁₉ , [19]	Д ₂₀ , [20]	Д _п , [п]
Дынкин
Изображение

сферический

Правильный двуугольник {2} можно считать вырожденным правильным многоугольником. Его можно реализовать невырожденно в некоторых неевклидовых пространствах, например на поверхности сферы или тора . Например, дигон можно невырожденно реализовать как сферическую луну . Моногон . {1} также можно реализовать на сфере как одну точку с большим кругом, проходящим через нее ^[7] Однако моногон не является допустимым абстрактным многогранником , поскольку его единственное ребро инцидентно только одной вершине, а не двум.

Имя	моногон	Достаточно
Символ Шлефли	{1}	{2}
Симметрия	Д ₁ , [ ]	Д2 _] , [2
Диаграмма Кокстера	или
Изображение

Звезды

Существует бесконечно много правильных звездных многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел ${n / m}$ . Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют то же расположение вершин, что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем, для любого натурального числа $n$ существуют правильные $n$ -конечные звезды с символами Шлефли ${n / m}$ для всех $m$ такие, что $m < n / 2$ (строго говоря, ${n / m} = {n / (n - m)}$ ), а $m$ и $n$ просты взаимно (поэтому все звездчатые многоугольника с простым числом сторон будут правильными звездами). Символы, в которых $m$ и $n$ не являются взаимно простыми, могут использоваться для обозначения составных многоугольников .

Имя	Пентаграмма	Гептаграммы		Октаграмма	Эннеаграммы		Декаграмма	... н-граммы
Шлефли	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{ п/к }
Симметрия	Д ₅ , [5]	D ₇, [7]		Д ₈ , [8]	Д ₉ , [9],		Д ₁₀ , [10]	Д _п , [ п ]
Коксетер
Изображение

Правильные звездчатые многоугольники до 20 сторон.
{11/2}	{11/3}	{11/4}	{11/5}	{12/5}	{13/2}	{13/3}	{13/4}	{13/5}	{13/6}
{14/3}	{14/5}	{15/2}	{15/4}	{15/7}	{16/3}	{16/5}	{16/7}
{17/2}	{17/3}	{17/4}	{17/5}	{17/6}	{17/7}	{17/8}	{18/5}	{18/7}
{19/2}	{19/3}	{19/4}	{19/5}	{19/6}	{19/7}	{19/8}	{19/9}	{20/3}	{20/7}	{20/9}

Могут существовать звездчатые многоугольники, которые могут существовать только в виде сферических мозаик, подобно моногону и двуугольнику (например: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/ 5}), однако они, по-видимому, не были детально изучены.

Также существуют неудавшиеся звездчатые многоугольники, такие как треугольник , которые не покрывают поверхность круга конечное число раз. ^[8]

Наклонить полигоны

Помимо плоских правильных многоугольников существует бесконечно много правильных косых многоугольников . Наклонные полигоны можно создать с помощью операции смешивания.

Смесь двух многоугольников $P$ и $Q$ , записываемая $P # Q$ , может быть построена следующим образом:

возьмем декартово произведение их вершин $V P \times V Q$ .
добавить ребра $(p 0 \times q 0, p 1 \times q 1)$ , где $(p 0, p 1)$ - ребро $P$ и $(q 0, q 1)$ - ребро $Q$ .
выбрать произвольную связную составляющую результата.

Альтернативно, смесь представляет собой многоугольник $⟨ ρ 0 σ 0, ρ 1 σ 1 ⟩$ , где $ρ$ и $σ$ — образующие зеркала $P$ и $Q,$ помещенные в ортогональные подпространства. ^[9]Операция смешивания является коммутативной, ассоциативной и идемпотентной.

Каждый правильный косой многоугольник можно выразить как смесь уникальных ^[а] набор плоских многоугольников. ^[9] Если $P$ и $Q$ не имеют общих факторов, то $Dim(P # Q) = Dim(P) + Dim(Q)$ .

В 3 пространстве

Правильные конечные многоугольники в трех измерениях представляют собой в точности смесь плоских многоугольников (размерность 2) с двуугольником (размерность 1). Они имеют вершины, соответствующие призме ( ${n / m}#{}$ , где $n$ нечетно) или антипризме ( ${n / m}#{}$ , где $n$ четно). Все многоугольники в трехмерном пространстве имеют четное количество вершин и ребер.

Некоторые из них выглядят как многоугольники Петри правильных многогранников.

В 4 пространстве

Правильные конечные многоугольники в 4 измерениях — это в точности многоугольники, образованные смесью двух различных плоских многоугольников. Они имеют вершины, лежащие на торе Клиффорда и связанные клиффордовым смещением . В отличие от трехмерных многоугольников, перекошенные многоугольники при двойном вращении могут иметь нечетное количество сторон.

3-многогранники (многогранники)

Многогранники ранга 3 называются многогранниками :

Правильный многогранник с символом Шлефли ${p, q}$ , диаграммы Коксетера , имеет правильный тип грани ${p}$ и правильную вершинную фигуру ${q}$ .

Вершинная фигура (многогранника) — это многоугольник, видимый путем соединения тех вершин, которые находятся на расстоянии одного ребра от данной вершины. Для правильных многогранников эта вершинная фигура всегда является правильным (и плоским) многоугольником.

Существование правильного многогранника ${p, q}$ ограничено неравенством, связанным с дефектом угла вершинной фигуры : ${\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}$

Перечисляя перестановки , мы находим пять выпуклых форм, четыре звездчатые формы и три плоских мозаики, все с многоугольниками ${p}$ и ${q},$ ограниченными: {3}, {4}, {5}, {5/2}, и {6}.

За пределами евклидова пространства существует бесконечное множество правильных гиперболических мозаик.