Гиперцикл (геометрия)

В гиперболической геометрии гиперцикл гиперокружность , или , эквидистантная кривая — это кривая точки которой находятся на одинаковом ортогональном расстоянии от данной прямой линии (ее оси).

Учитывая прямую линию $L$ и точку $P,$ не лежащую на $L$ , можно построить гиперцикл, взяв все точки $Q$ на той же стороне от $L$ что и $P$ , с перпендикулярным расстоянием к $L$ , равным расстоянию до $P.$ , Линия $L$ называется осью , центром или базовой линией гиперцикла. Прямые, перпендикулярные $L$ , которые также перпендикулярны гиперциклу, называются нормалями гиперцикла. Отрезки нормалей между $L$ и гиперциклом называются радиусами . Их общая длина называется расстоянием или радиусом гиперцикла. ^[1]

Гиперциклы, проходящие через данную точку, имеющие общую касательную к этой точке, сходятся к орициклу, поскольку их расстояния стремятся к бесконечности.

Свойства, аналогичные свойствам евклидовых линий.

Гиперциклы в гиперболической геометрии имеют некоторые свойства, аналогичные свойствам линий в евклидовой геометрии :

На плоскости, если дана прямая и точка, не лежащая на ней, существует только один гиперцикл данной прямой (ср. с аксиомой Плейфэра для евклидовой геометрии).
Никакие три точки гиперцикла не лежат на окружности.
Гиперцикл симметричен каждой перпендикулярной к нему прямой. (Отражение гиперцикла в линии, перпендикулярной гиперциклу, приводит к тому же гиперциклу.)

Свойства, аналогичные свойствам евклидовых кругов.

Гиперциклы в гиперболической геометрии имеют некоторые свойства, аналогичные свойствам кругов в евклидовой геометрии :

Линия, перпендикулярная хорде гиперцикла в его средней точке, является радиусом и делит пополам дугу, стянутую хордой.
Пусть $АВ —$ хорда, а $М$ — его середина.
По симметрии линия $R,$ проходящая через $M,$ AB $,$ должна быть ортогональна оси $L.$ перпендикулярная
Следовательно, $R$ — радиус.
Также по симметрии $R$ разделит дугу $AB$ пополам .
Ось и расстояние гиперцикла определяются однозначно .
Предположим, что гиперцикл $C$ имеет две разные оси $L 1, L 2$ .
Используя предыдущее свойство дважды с разными хордами, мы можем определить два различных радиуса $R 1, R 2$ . $Тогда R 1, R 2$ должны быть перпендикулярны обоим $L 1, L 2$ , что дает нам прямоугольник. Это противоречие, поскольку прямоугольник — невозможная фигура в гиперболической геометрии .
Два гиперцикла имеют равные расстояния тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.
Если они имеют одинаковое расстояние, нам нужно просто жестким движением совместить оси и тоже все радиусы совпадут; поскольку расстояние одинаково, то и точки двух гиперциклов совпадут.
И наоборот, если они конгруэнтны, расстояние должно совпадать с предыдущим свойством.
Прямая линия разрезает гиперцикл не более чем в двух точках.
Пусть прямая $K$ разрезает гиперцикл $C$ в двух точках $A,$ B. Как и прежде, мы можем построить радиус $R$ точки $C$ через среднюю точку $M$ точки $AB$ . что $K$ ультрапараллелен , оси $L$ поскольку они имеют общий перпендикуляр $R.$ Обратите внимание , Также две ультрапараллельные прямые имеют минимальное расстояние у общего перпендикуляра и монотонно увеличивающиеся расстояния по мере удаления от перпендикуляра.
Это означает, что точки $K$ внутри $AB$ будут иметь расстояние от $L$ меньше, чем общее расстояние $A$ и $B$ от $L$ , а точки $K$ вне $AB$ будут иметь большее расстояние. В заключение, никакая другая точка $K$ не может находиться на $C$ .
Два гиперцикла пересекаются не более чем в двух точках.
Пусть $C1,, C2 —$ гиперциклы, пересекающиеся в трёх точках $A, B$ C.
Если $R 1$ — линия, ортогональная $AB$ через ее среднюю точку, мы знаем, что она является радиусом как $C 1, так и C 2$ .
Аналогичным образом мы строим $R 2$ , радиус, проходящий через среднюю точку $BC$ .
$R1 , R2 $ осям $L1 , L2 $ C1 $, одновременно . C2 соответственно$ ортогональны
Мы уже доказали, что тогда $L 1, L 2$ должны совпадать (иначе мы получим прямоугольник).
Тогда $C 1, C 2$ имеют одну и ту же ось и хотя бы одну общую точку, следовательно, у них одинаковое расстояние и они совпадают.
Никакие три точки гиперцикла не лежат на одной прямой.
Если точки $A, B, C$ гиперцикла лежат на одной прямой, то хорды $, BC лежат$ на одной прямой $K.$ AB Пусть $R1 радиусы ,, R2 —$ проходящие через средние точки $AB, BC$ . что ось $L$ гиперцикла является общим перпендикуляром $R1,, R2 Мы знаем$ .
Но $К$ — это тот самый общий перпендикуляр . Тогда расстояние должно быть равно 0 и гиперцикл вырождается в прямую.

Другие объекты недвижимости

Длина дуги гиперцикла между двумя точками равна
- длиннее, чем длина отрезка между этими двумя точками,
- короче длины дуги одного из двух орициклов между этими двумя точками, и
- короче любой дуги окружности между этими двумя точками.
Гиперцикл и орицикл пересекаются не более чем в двух точках.
Гиперцикл радиуса $r$ с $sinh 2 r = 1$ индуцирует квазисимметрию гиперболической плоскости путем инверсии. (Такой гиперцикл встречается со своей осью под углом π/4.) В частности, точка $P$ в открытой полуплоскости оси обращается в $P ',$ угол параллельности которой является дополнением угла параллельности $P$ . Эта квазисимметрия распространяется на гиперболические пространства более высокой размерности, где облегчает изучение гиперболических многообразий. Он широко используется в классификации коник в гиперболической плоскости, где его назвали расщепленной инверсией . Несмотря на конформность, расщепленная инверсия не является истинной симметрией, поскольку она меняет местами ось с границей плоскости и, конечно же, не является изометрией.

Длина дуги

В гиперболической плоскости постоянной кривизны −1 длину дуги гиперцикла можно вычислить по радиусу $r$ и расстоянию между точками, в которых нормали пересекаются с осью $d,$ по формуле $l = d ch r$ . ^[2]

Строительство

В модели диска Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представлены линиями и дугами окружностей, которые пересекают граничную окружность под непрямыми углами. Представление оси пересекает граничную окружность в тех же точках, но под прямым углом.

В полуплоской модели Пуанкаре гиперболической плоскости гиперциклы представлены линиями и дугами окружностей, которые пересекают граничную линию под непрямыми углами. Представление оси пересекает граничную линию в тех же точках, но под прямым углом.

Классы конгруэнтности парабол Штейнера

Классы конгруэнтности парабол Штейнера в гиперболической плоскости находятся во взаимно однозначном соответствии с гиперциклами в данной полуплоскости $H$ данной оси. В геометрии инцидентности коника Штейнера в точке $P,$ образованная коллинеацией T $,$ местом пересечений $L \cap T (L)$ для всех прямых $от L$ до $P.$ является Это аналог определения Штейнера коники на проективной плоскости над полем . Классы конгруэнтности коник Штейнера в гиперболической плоскости определяются расстоянием $s$ между $P$ и $T (P)$ и углом поворота $φ,$ индуцированным $T$ вокруг $T (P)$ . Каждая парабола Штейнера представляет собой геометрическое место точек, расстояние которых от фокуса $F$ равно расстоянию до направляющей гиперцикла , не являющейся прямой. Предполагая, что гиперциклы имеют общую ось, положение $F$ определяется $φ$ следующим образом. Зафиксировав $sinh s = 1$ , классы парабол находятся во взаимно однозначном соответствии с $φ \in (0, π/2)$ . В модели конформного диска каждая точка $P$ представляет собой комплексное число с $| П | < 1$ . Пусть общая ось будет вещественной прямой и предположим, что гиперциклы находятся в полуплоскости $H$ с $Im P > 0$ . Тогда вершина каждой параболы будет лежать в $H$ , и парабола симметрична относительно линии, проходящей через вершину, перпендикулярной оси. Если гиперцикл находится на расстоянии $d$ от оси, при этом $\tanh d=\tan {\tfrac {\phi }{2}},$ затем $F=\left({\frac {1-\tan \phi }{1+\tan \phi }}\right)i.$ В частности, $F = 0,$ когда $φ = π/4$ . В этом случае фокус находится на оси; эквивалентно, инверсия в соответствующем гиперцикле оставляет $H$ инвариантным. Это гармонический случай, то есть представление параболы в любой инверсной модели гиперболической плоскости представляет собой гармоническую рода 1 кривую .

Ссылки

^ Мартин, Джордж Э. (1986). Основы геометрии и неевклидова плоскость (1., корр. Спрингера изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 371. ИСБН 3-540-90694-0 .
^ Смогоржевский А.С. (1982). Геометрия Лобачевского . Москва: Мир. п. 68 .

Мартин Гарднер , Неевклидова геометрия , глава 4 колоссальной книги по математике , WW Norton & Company, 2001, ISBN 978-0-393-02023-6
М. Дж. Гринберг, Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история , 3-е издание, WH Freeman, 1994.
Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидова плоскость , Springer-Verlag, 1975.
Дж. Рэтклифф, Фонд гиперболических многообразий , Спрингер, Нью-Йорк, 1994.
Дэвид К. Ройстер, Нейтральная и неевклидова геометрии .
Дж. Сарли, Коники в гиперболической плоскости, присущие группе коллинеации, J. Geom. 103: 131-138 (2012)

[1] Мартин, Джордж Э. (1986). Основы геометрии и неевклидова плоскость (1., корр. Спрингера изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 371. ИСБН 3-540-90694-0 .

[2] Смогоржевский А.С. (1982). Геометрия Лобачевского . Москва: Мир. п. 68 .

[1]

[2]