Аксиома Плейфэра

В геометрии , аксиома Плейфэра — это аксиома которую можно использовать вместо пятого постулата Евклида ( постулата параллельности ):

На плоскости , если дана прямая и точка, не лежащая на ней, через эту точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой. ^{[ 1 ]}

Это эквивалентно постулату параллельности Евклида в контексте евклидовой геометрии. ^{[ 2 ]} и был назван в честь шотландского математика Джона Плейфэра . Предложение «не более» — это все, что необходимо, поскольку на основе первых четырех аксиом можно доказать, что существует хотя бы одна параллельная линия, если линия L и точка P не лежат на L , а именно:

Постройте перпендикуляр : Используя аксиомы и ранее установленные теоремы, вы можете построить линию, перпендикулярную линии , которая проходит через P. L
перпендикуляр : к первому проводится второй перпендикуляр, начиная с точки P. Постройте еще один
Параллельная линия : эта вторая перпендикулярная линия будет параллельна L по определению параллельных линий (т.е. альтернативные внутренние углы конгруэнтны согласно 4-й аксиоме).

Утверждение часто пишут фразой «есть одна и только одна параллель». В «Началах» Евклида две прямые называются параллельными, если они никогда не встречаются, и не используются другие характеристики параллельных прямых. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Эта аксиома используется не только в евклидовой геометрии, но и в более широком изучении аффинной геометрии , где концепция параллелизма занимает центральное место. В условиях аффинной геометрии необходима более сильная форма аксиомы Плейфэра (где «не более одного» заменяется на «один и только один»), поскольку аксиомы нейтральной геометрии отсутствуют, чтобы обеспечить доказательство существования. Версия аксиомы Плейфэра стала настолько популярной, что ее часто называют параллельной аксиомой Евклида . ^{[ 5 ]} хотя это не была версия аксиомы Евклида.

История

Прокл (410–485 гг. н. э.) ясно делает это заявление в своем комментарии к Евклиду I.31 (Книга I, предложение 31). ^{[ 6 ]}

В 1785 году Уильям Лудлам выразил параллельную аксиому следующим образом: ^{[ 7 ]}

Две прямые линии, встречающиеся в одной точке, не параллельны третьей прямой.

Это краткое выражение евклидова параллелизма было использовано Плейфэром в его учебнике «Элементы геометрии» (1795 г.), который часто переиздавался. Он написал ^{[ 8 ]}

Две пересекающиеся прямые линии не могут быть одновременно параллельны одной и той же прямой.

Playfair поблагодарил Лудлама и других за упрощение утверждения Евклида. В более поздних разработках на первое место вышла точка пересечения двух линий, и отрицание двух параллелей стало выражаться как единственная параллель, проходящая через данную точку. ^{[ 9 ]}

В 1883 году Артур Кэли был президентом Британской ассоциации и выразил это мнение в своем обращении к Ассоциации: ^{[ 10 ]}

Моя собственная точка зрения состоит в том, что Двенадцатая аксиома Евклида в ее форме Плейфера не нуждается в демонстрации, но является частью нашего понятия пространства, физического пространства нашего опыта, который является представлением, лежащим в основе всего внешнего опыта.

Когда Дэвид Гильберт написал свою книгу «Основы геометрии» (1899 г.), ^{[ 11 ]} предоставив новый набор аксиом евклидовой геометрии, он использовал форму аксиомы Плейфэра вместо исходной евклидовой версии для обсуждения параллельных линий. ^{[ 12 ]}

Связь с пятым постулатом Евклида

Параллельный постулат Евклида гласит:

Если отрезок пересекает две прямые линии, образуя два внутренних угла на одной и той же стороне, сумма которых составляет менее двух прямых углов , то две прямые, если они продлены до бесконечности, встречаются на той стороне, на которой сумма углов составляет менее двух прямых углов. ^{[ 13 ]}

Сложность этого утверждения по сравнению с формулировкой Плейфэра, безусловно, является основным фактором популярности цитирования аксиомы Плейфэра при обсуждении постулата параллельности.

В контексте абсолютной геометрии эти два утверждения эквивалентны, а это означает, что каждое можно доказать, предполагая другое при наличии остальных аксиом геометрии. Это не означает, что утверждения логически эквивалентны (т. е. одно можно доказать на основе другого, используя только формальные логические манипуляции), поскольку, например, при интерпретации в сферической модели одно эллиптической геометрии утверждение истинно, а другое нет. ^{[ 14 ]} Логически эквивалентные утверждения имеют одинаковое истинностное значение во всех моделях, в которых они имеют интерпретации.

Приведенные ниже доказательства предполагают, что все аксиомы абсолютной (нейтральной) геометрии справедливы.

Пятый постулат Евклида подразумевает аксиому Плейфэра.

Самый простой способ показать это — использовать теорему Евклида (эквивалентную пятому постулату), которая гласит, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Учитывая линию $\ell$ и точку P, не лежащую на этой прямой, построить прямую t , перпендикулярную данной, через точку , а затем перпендикуляр к этому перпендикуляру в точке P. P Эта прямая параллельна, потому что она не может пересекаться $\ell$ и образуют треугольник, о чем говорится в предложении 27 книги 1 « Начал» Евклида . ^{[ 15 ]} Теперь видно, что других параллелей не существует. Если n было второй линией, проходящей через P , то n образует острый угол с t (поскольку это не перпендикуляр), и гипотеза пятого постулата справедлива, и, следовательно, n соответствует $\ell$ . ^{[ 16 ]}

Аксиома Плейфэра подразумевает пятый постулат Евклида.

Учитывая, что постулат Плейфера подразумевает, что только перпендикуляр к перпендикуляру является параллельным, прямые конструкции Евклида должны будут пересечь друг друга в точке. Также необходимо доказать, что они сделают это в той стороне, где сумма углов меньше двух прямых, но это сложнее. ^{[ 17 ]}

Важность равенства треугольников

Классическая эквивалентность между аксиомой Плейфэра и пятым постулатом Евклида терпит крах в отсутствие конгруэнтности треугольников. ^{[ 18 ]} Это показано путем построения геометрии, которая переопределяет углы таким образом, чтобы соблюдать аксиомы Гильберта о падении, порядке и конгруэнтности, за исключением сравнения сторона-угол-сторона (SAS). Эта геометрия моделирует классическую аксиому Плейфэра, но не пятый постулат Евклида.

Транзитивность параллелизма

Предложение 30 Евклида гласит: «Две линии, каждая из которых параллельна третьей линии, параллельны друг другу». Было отмечено ^{[ 19 ]} Огастесом Де Морганом , что это предложение логически эквивалентно аксиоме Плейфэра. Это уведомление было пересчитано ^{[ 20 ]} Т. Л. Хит в 1908 году. Аргумент де Моргана звучит следующим образом: Пусть X — множество пар различных пересекающихся прямых, а Y — множество различных пар прямых, каждая из которых параллельна одной общей прямой. Если z представляет собой пару различных линий, то утверждение

Для всех z , если z находится в X , то z не находится в Y ,

— это аксиома Плейфэра (в терминах Де Моргана, X не есть Y ) и ее логически эквивалентный контрапозитив ,

Для всех z , если z находится в Y , то z не находится в X ,

есть Евклид I.30, транзитивность параллелизма (No Y есть X ).

Совсем недавно импликация была сформулирована по-другому в терминах бинарного отношения, выраженного параллельными линиями : В аффинной геометрии это отношение рассматривается как отношение эквивалентности , что означает, что линия считается параллельной самой себе . Энди Лю ^{[ 21 ]} писал: «Пусть P — точка, не лежащая на прямой 2. Предположим, что линия 1 и линия 3 проходят через P и параллельны линии 2. По транзитивности они параллельны друг другу и, следовательно, не могут иметь ровно P общего. следует, что это одна и та же линия, что является аксиомой Плейфэра».

Примечания

^ Playfair 1846 , с. 29
^ точнее, в контексте абсолютной геометрии .
^ Элементы Евклида, Книга I, определение 23.
^ Хит 1956 , Том. 1, с. 190
^ например, Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия , стр. 202, Аддисон-Уэсли
^ Хит 1956 , Том. 1, с. 220
^ Уильям Лудлам (1785) Основы математики , стр. 145, Кембридж
^ Playfair 1846 , с. 11
^ Playfair 1846 , с. 291
^ Уильям Барретт Франкленд (1910) Теории параллелизма: историческая критика , страница 31, Cambridge University Press
^ Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] , перевод Лео Унгера из 10-го немецкого издания (2-е английское изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, ISBN 0-87548-164-7
^ Евс 1963 , стр. 385-7.
^ Джордж Филлипс (1826) Элементы геометрии (содержат первые шесть книг Евклида) , стр. 3, Болдуин, Крэдок и Джой
^ Хендерсон, Дэвид В.; Тайминя, Дайна (2005), Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, стр. 139, ISBN 0-13-143748-8
^ Этот аргумент предполагает больше, чем необходимо для доказательства результата. Существуют доказательства существования параллелей, не предполагающие эквивалента пятого постулата.
^ Гринберг 1974 , с. 107
^ Доказательство можно найти в Heath 1956 , Vol. 1, с. 313
^ Браун, Элизабет Т.; Кастнер, Эмили; Дэвис, Стивен; О'Ши, Эдвин; Сереженков, Эдуард; Варгас, Эй Джей (01 августа 2019 г.). «Об эквивалентности аксиомы Плейфэра постулату параллельности» . Журнал геометрии . 110 (2): 42. arXiv : 1903.05233 . дои : 10.1007/s00022-019-0496-9 . ISSN 1420-8997 .
↑ Дополнительные замечания к первым шести книгам «Начал» Евклида в «Спутнике к Альманаху» , 1849 г.
^ Хит 1956 , Том. 1, с. 314
^ Журнал математики колледжа 42 (5): 372

Ссылки

Плейфэр, Джон (1846). Элементы геометрии . МЫ Дин.
Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (первый том) , Бостон: Аллин и Бэкон
Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» ([Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press , 1908] 2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications .

(3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3).

[1] Playfair 1846 , с. 29

[2] точнее, в контексте абсолютной геометрии .

[3] Элементы Евклида, Книга I, определение 23.

[4] Хит 1956 , Том. 1, с. 190

[5] например, Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия , стр. 202, Аддисон-Уэсли

[6] Хит 1956 , Том. 1, с. 220

[7] Уильям Лудлам (1785) Основы математики , стр. 145, Кембридж

[8] Playfair 1846 , с. 11

[9] Playfair 1846 , с. 291

[10] Уильям Барретт Франкленд (1910) Теории параллелизма: историческая критика , страница 31, Cambridge University Press

[11] Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] , перевод Лео Унгера из 10-го немецкого издания (2-е английское изд.), La Salle, IL: Open Court Publishing, ISBN 0-87548-164-7

[12] Евс 1963 , стр. 385-7.

[13] Джордж Филлипс (1826) Элементы геометрии (содержат первые шесть книг Евклида) , стр. 3, Болдуин, Крэдок и Джой

[14] Хендерсон, Дэвид В.; Тайминя, Дайна (2005), Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, стр. 139, ISBN 0-13-143748-8

[15] Этот аргумент предполагает больше, чем необходимо для доказательства результата. Существуют доказательства существования параллелей, не предполагающие эквивалента пятого постулата.

[16] Гринберг 1974 , с. 107

[17] Доказательство можно найти в Heath 1956 , Vol. 1, с. 313

[18] Браун, Элизабет Т.; Кастнер, Эмили; Дэвис, Стивен; О'Ши, Эдвин; Сереженков, Эдуард; Варгас, Эй Джей (01 августа 2019 г.). «Об эквивалентности аксиомы Плейфэра постулату параллельности» . Журнал геометрии . 110 (2): 42. arXiv : 1903.05233 . дои : 10.1007/s00022-019-0496-9 . ISSN 1420-8997 .

[19] Дополнительные замечания к первым шести книгам «Начал» Евклида в «Спутнике к Альманаху» , 1849 г.

[20] Хит 1956 , Том. 1, с. 314

[21] Журнал математики колледжа 42 (5): 372

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]