120-ячеечный

120-ячеечный
Диаграмма Шлегеля (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{5,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	120 {5,3}
Лица	720 {5}
Края	1200
Вершины	600
Вершинная фигура	тетраэдр
Полигон Петри	30-угольник
Группа Коксетера	Ч 4 , [3,3,5]
Двойной	600-ячеечный
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изоэдральный
Единый индекс	32

Сеть

В геометрии — 120-ячейка это выпуклый правильный 4-многогранник (четырёхмерный аналог платонова тела ) с символом Шлефли {5,3,3}. Его также называют C ₁₂₀ , додекаплексом (сокращение от «додекаэдрический комплекс»), гипердодекаэдром , полидодекаэдром , гекатоникосахороном , додекаконтахороном. и гекатоникосаэдроид .

Граница 120-ячейки состоит из 120 додекаэдрических ячеек , по 4 сходящихся в каждой вершине. Вместе они образуют 720 пятиугольных граней, 1200 ребер и 600 вершин. Это четырехмерный аналог правильного додекаэдра , поскольку додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней, по 3 вокруг каждой вершины, а додекаплекс имеет 120 додекаэдра, по 3 вокруг каждого ребра. Его двойной многогранник — 600-ячеечный .

Геометрия

120-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях (кроме многоугольников {7} и выше). Как шестой и самый большой правильный выпуклый 4-многогранник, он содержит вписанные экземпляры своих четырех предшественников (рекурсивно). Он также содержит 120 вписанных экземпляров первой в последовательности, 5-клеточной , чего нет ни в одном другом. 120-ячеечный — это четырехмерный швейцарский армейский нож : в нем есть все.

Изучать 120-ячеечный многогранник сложно, но поучительно, поскольку он содержит примеры всех отношений между всеми выпуклыми правильными многогранниками, обнаруженными в первых четырех измерениях. И наоборот, его можно понять, только сначала поняв каждого из его предшественников и последовательность все более сложных симметрий, которые они демонстрируют. Вот почему Стиллвелл назвал свою статью о 4-многогранниках и истории математики более чем в трех измерениях . История 120-клеточного .

показывать Правильные выпуклые 4-многогранники
Symmetry group	A4	B4		F4	H4
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

Декартовы координаты

Естественные декартовы координаты 4-мерного многогранника с центром в начале 4-мерного пространства встречаются в разных системах отсчета, в зависимости от выбранного большого радиуса (от центра к вершине).

√8 координат радиуса

120-ячейка с большим радиусом √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 имеет длину ребра 4−2φ = 3− √ 5 ≈ 0,764.

В этой системе отсчета его 600 координат вершин являются { перестановками } и [ четными перестановками ] следующих элементов:

24	({0, 0, ±2, ±2})	24-ячеечный	600 точек, 120 ячеек
64	({±φ, ±φ, ±φ, ±φ −2 })
64	({±1, ±1, ±1, ± √ 5 })
64	({±φ −1 , ±φ −1 , ±φ −1 , ±φ 2 })
96	([0, ±φ −1 , ±φ, ± √ 5 ])	Курносый 24-клеточный
96	([0, ±φ −2 , ±1, ±φ 2 ])	Курносый 24-клеточный
192	([±φ −1 , ±1, ±φ, ±2])

где φ (также называемый 𝝉) это золотое сечение , ⁠ 1 + √ 5 / 2 ⁠ ≈ 1.618.

Координаты радиуса единицы

120-ячейка единичного радиуса имеет длину ребра ⁠ 1 / ж ² √ 2 ⁠ ≈ 0.270.

В этой системе отсчета 120-ячейка расположена вершиной вверх в стандартной ориентации, а ее координаты это { перестановки } и [ четные перестановки ] в левом столбце ниже:

120	8	({±1, 0, 0, 0})	16-ячеечный	24-ячеечный	600-ячеечный	120-ячеечный
	16	({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2	Тессеракт
	96	([0, ±φ −1 , ±1, ±φ]) / 2	Курносый 24-клеточный
480	Уменьшенный 120-ячеечный		5-точечный 5-клеточный	24-ячеечный	600-ячеечный
	32	([±φ, ±φ, ±φ, ±φ −2 ]) / √ 8	(1, 0, 0, 0) (−1,   √ 5 ,   √ 5 ,   √ 5 ) / 4 (−1,− √ 5 ,− √ 5 ,   √ 5 ) / 4 (−1,− √ 5 ,   √ 5 ,− √ 5 ) / 4 (−1,   √ 5 ,− √ 5 ,− √ 5 ) / 4	({± √ 1/2 , ± √ 1/2 , 0, 0})	({±1, 0, 0, 0}) ({±1, ±1, ±1, ±1}) / 2 ([0, ±φ −1 , ±1, ±φ]) / 2
	32	([±1, ±1, ±1, ± √ 5 ]) / √ 8
	32	([±φ −1 , ±φ −1 , ±φ −1 , ±φ 2 ]) / √ 8
	96	([0, ±φ −1 , ±φ, ± √ 5 ]) / √ 8
	96	([0, ±φ −2 , ±1, ±φ 2 ]) / √ 8
	192	([±φ −1 , ±1, ±φ, ±2]) / √ 8
Координаты единичного радиуса однородных выпуклых 4-многогранников связаны умножением кватернионов . Поскольку правильные 4-многогранники являются составными элементами друг друга, их наборы декартовых 4-координат (кватернионов) являются произведениями друг друга. Координаты единичного радиуса 600 вершин 120-ячейки (в левом столбце выше) представляют собой все возможные кватернионные произведения. из 5 вершин 5-ячейки, 24 вершин 24-ячейки и 120 вершин 600-ячейки (в трех других столбцах выше).

В таблице приведены координаты по крайней мере одного экземпляра каждого 4-многогранника, но ячейка из 120 содержит кратные пяти вписанные экземпляры каждого из его предшественников 4-многогранника, занимающие разные подмножества его вершин. (600 точек) 120 ячеек представляет собой выпуклую оболочку из 5 непересекающихся (120 точек) 600 ячеек. Каждая (120-точечная) 600-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 5 непересекающихся (24-точечных) 24-клеток, поэтому 120-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 25 непересекающихся 24-клеток. Каждая 24-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 3 непересекающихся (8-точечных) 16-ячеек, поэтому 120-ячейка представляет собой выпуклую оболочку из 75 непересекающихся 16-клеток. Уникально то, что (600-точечная) 120-ячеечная структура представляет собой выпуклую оболочку из 120 непересекающихся (5-точечных) 5-ячеечных ячеек.

Аккорды

Многоугольники большого круга 120-ячеистой системы, лежащие в инвариантных центральных плоскостях ее изоклины. вращения. Ребра длины из 120 ячеек 𝜁 ≈ 0,270 встречаются только в красный неправильный большой шестиугольник, у которого также есть длинные ребра √ 2,5 . 1200 ребер 120-клеточной ячейки не образуют многоугольники большого круга сами по себе, а чередуются с √ 2,5 ребрами вписанных правильных 5-клеточных ячеек. они образуют 400 неправильных больших шестиугольников. Ячейка из 120 ячеек также содержит соединение нескольких таких многоугольников большого круга в одной центральной плоскости, проиллюстрированных отдельно. Следствием компаундинга является то, что края и характерные повороты обычного 5-ячеечного, 8-ячеечного гиперкуба, 24-ячеечного и 120-ячеечного гиперкуба лежат в одних и тех же плоскостях вращения, шестиугольных центральных плоскостях 24-ячеечного куба.

Смотрите также: 600-клеточный § Золотые аккорды

120-ячейка с 600 точками имеет все 8 различных длин хорд 600-ячейки с 120 точками, а также две дополнительные важные хорды: собственные более короткие края и края своих 120 вписанных обычных 5-ячеек. Эти две дополнительные хорды придают 120-ячейке характерное изоклиническое вращение . в дополнение ко всем вращениям других правильных 4-многогранников, которые он наследует. Они также придают 120-ячеечному многоугольнику характерный большой круг: неправильный большой шестиугольник, в котором три ребра по 120 ячеек чередуются с тремя ребрами по 5 ячеек.

Края 120-ячеечного объекта не образуют правильные многоугольники большого круга в одной центральной плоскости, как это делают края 600-ячеечного, 24-ячеечного и 16-ячеечного. Подобно краям 5- и 8-клеточного тессеракта , они вместо этого образуют зигзагообразные многоугольники Петри . Многоугольник Петри со 120 ячейками представляет собой триаконтагон {30} зигзагообразный косой многоугольник .

Поскольку 120-ячеечная клетка имеет окружность из 30 ребер, она имеет 15 различных длин хорд, варьирующихся от длины ребра до диаметра. Каждый правильный выпуклый 4-многогранник вписан в 120-ячейку, а все 15 хорд, перечисленные в строках следующей таблицы, представляют собой отдельные хорды, составляющие правильные 4-многогранники и их многоугольники большого круга.

Первое, на что следует обратить внимание в этой таблице, это то, что в ней восемь столбцов, а не шесть; Помимо шести правильных выпуклых 4-многогранников, в последовательности вложенных 4-многогранников естественным образом встречаются два неправильных 4-многогранника: курносый 24-клеточный с 96 точками и уменьшенный 120-клеточный с 480 точками .

Второе, на что следует обратить внимание, это то, что каждая пронумерованная строка (каждая хорда) отмечена треугольником △ , квадратом ☐, символом фи 𝜙 или пентаграммой ✩. 15 хорд образуют многоугольники четырех видов: большие квадраты ☐, характерные для 16-клеток , большие шестиугольники и большие треугольники △, характерные для 24-клеток , большие десятиугольники и большие пятиугольники 𝜙, характерные для 600-клеток , и косые пентаграммы ✩ или декаграммы, характерные для 5-клеток , которые представляют собой многоугольники Петри, которые проходят через набор центральных плоскостей и образуют многоугольники с гранями, но не большие многоугольники.

Хорды ​​120-клетки и ее вписанные 4-многогранники
Вписанный						5-клеточный	16-ячеечный	8-ячеечный	24-ячеечный	пренебрежительный	600-ячеечный	Дим	120-ячеечный
Вершины						5	8	16	24	96	120	480	600
Края						10	24	32	96	432	720	1200	1200
Краевая хорда						#8	#7	#5	#5	#3	#3	#1	#1
Хорда изоклины						#8	#15	#10	#10	#5	#5	#4	#4
Клиффордский многоугольник						{5/2}	{8/3}		{6/2}		{15/2}		{15/4}
Аккорд			Дуга	Край
#1 △		30		край 120 ячеек									1 1200	4 {3,3}
			15.5~°	√ 0,𝜀	0.270~
#2 ☐		15		диагональ лица									3600	12 2{3,4}
			25.2~°	√ 0.19~	0.437~
#3 𝜙		10	𝝅/5	большой десятиугольник $\phi ^{-1}$							10 720		7200	24 2{3,5}
			36°	√ 0,𝚫	0.618~
#4 △		⁠ 15 / 2 ⁠		диаметр ячейки									1200	4 {3,3}
			44.5~°	√ 0.57~	0.757~
#5 △		6	𝝅/3	большой шестиугольник				32	225 96	225	5 1200		2400	32 4{4,3}
			60°	√ 1	1
#6 𝜙		5	2/5	большой пятиугольник							720		7200	24 2{3,5}
			72°	√ 1.𝚫	1.175~
#7 ☐		⁠ 30 / 7 ⁠	𝝅/2	большая площадь			675 24	675 48	72		1800		16200	54 9{3,4}
			90°	√ 2	1.414~
#8 ✩		⁠ 15 / 4 ⁠		5-клеточный		120 10						720	1200	4 {3,3}
			104.5~°	√ 2.5	1.581~
#9 𝜙		⁠ 10 / 3 ⁠	3/5	золотое сечение $\phi$							720		7200	24 2{3,5}
			108°	√ 2.𝚽	1.618~
#10 △		3	2/3	большой треугольник				32	25 96		1200		2400	32 4{4,3}
			120°	√ 3	1.732~
#11 ✩		⁠ 30 / 11 ⁠		{30/11}-грамм									1200	4 {3,3}
			135.5~°	√ 3.43~	1.851~
#12 𝜙		⁠ 5 / 2 ⁠	4/5	отличная предварительная диагностика							720		7200	24 2{3,5}
			144°	√ 3.𝚽	1.902~
#13 ✩		⁠ 30 / 13 ⁠		{30/13}-грамм									3600	12 2{3,4}
			154.8~°	√ 3.81~	1.952~
#14 △		⁠ 15 / 7 ⁠		{30/14}=2{15/7}									1200	4 {3,3}
			164.5~°	√ 3.93~	1.982~
#15 △☐𝜙		2	𝝅	диаметр			75 4	8	12	48	60	240	300	1
			180°	√ 4	2
Общая длина в квадрате						25	64	256	576		14400		360000	300

Главный хорды №1–15 соединяют пары вершин, которые находятся на расстоянии 1–15 ребер друг от друга в многоугольнике Петри.

Аннотированная таблица аккордов представляет собой полную спецификацию материалов для изготовления 120-ячеечной модели. Все 2-многогранники, 3-многогранники и 4-многогранники в 120-ячейке состоят из 15 1-многогранников в таблице.

Черные целые числа в ячейках таблицы — это счетчики инцидентности хорды строки в 4-многограннике столбца. Например, в ряду аккордов №3 72 больших десятиугольника из 600 ячеек содержат в общей сложности 720 аккордов №3 .

Красные . целые числа — это количество непересекающихся 4-многогранников выше (метка столбца), которые образуют 120-ячейку Например, 120-ячейка представляет собой соединение 25 непересекающихся 24-клеток (25 * 24 вершины = 600 вершин).

Зеленые целые числа — это количество различных 4 - многогранников выше (метка столбца), которые можно выбрать в 120-ячейке. Например, 120-ячейка содержит 225 различных 24-ячеек, которые имеют общие компоненты.

Синие целые числа в правом столбце — это количество инцидентов хорды строки в каждой вершине из 120 ячеек. Например, в №3 ряду хорд 24 хорды №3 сходятся в каждой из 600 вершин 120-ячейки, образуя двойную вершинную фигуру икосаэдра 2{3,5}. Всего 300 мажорных аккордов. 15 различных длин встречаются в каждой вершине 120-ячейки.

Отношения между внутренними многогранниками

120-ячеечный представляет собой соединение всех пяти других правильных выпуклых 4-многогранников. Все связи между правильными 1-, 2-, 3- и 4-многогранниками происходят в 120-ячейке. Это четырехмерная головоломка , в которой все эти многогранники являются частями. Хотя существует множество последовательностей, в которых можно построить 120-ячеечную структуру путем соединения этих частей, в конечном итоге они соединяются друг с другом только одним способом. 120-ячеечный — уникальное решение для комбинации всех этих многогранников.

Правильный 1-многогранник встречается только в 15 различных длинах в любом из многогранников, составляющих 120-ячеечный. По теореме единственности Александрова , выпуклые многогранники, формы которых отличаются друг от друга, также имеют различные метрические пространства поверхностных расстояний, поэтому каждый правильный 4-многогранник имеет свое уникальное подмножество этих 15 хорд.

Только 4 из этих 15 хорд встречаются в 16-клеточной, 8-клеточной и 24-клеточной. Четырех гиперкубических хорд √ 1 , √ 2 , √ 3 и √ 4 достаточно для построения 24-клетки и всех ее составных частей. 24-ячейка — это уникальное решение комбинации этих 4 хорд и всех правильных многогранников, которые можно построить из них.

См. Также: 24-клеточные § Отношения между внутренними многогранниками

Для построения 600-ячеечной конструкции необходимы дополнительные 4 из 15 хорд. Четыре золотых хорды представляют собой квадратные корни иррациональных дробей, которые являются функциями √ 5 . 600-ячеечный — это уникальное решение комбинации этих 8 хорд и всех правильных многогранников, которые можно построить из них. Среди новых частей, обнаруженных в 600-ячеечной структуре и не встречающихся в 24-ячеечной, следует отметить пятиугольники и икосаэдры.

Смотрите также: 600-клеточные § икосаэдры

Все 15 хорд и 15 других различных хордовых расстояний, перечисленных ниже, встречаются в 120-ячейке. Среди новых частей, обнаруженных в 120-ячеечной модели и не встречающихся в 600-ячеечной, следует отметить обычные 5-ячеечные хорды и √ 5/2 хорды . Взаимосвязи между правильным 5-клеточным ( симплексным правильным 4-многогранником) и другими правильными 4-многогранниками непосредственно проявляются только в 120-клеточном. 600-точечная 120-ячейка представляет собой соединение 120 непересекающихся 5-точечных 5-клеток, а также соединение 5 непересекающихся 120-точечных 600-ячеек (два разных способа). Каждая 5-ячейка имеет по одной вершине в каждой из 5 непересекающихся 600-клеток, и, следовательно, в каждой из 5 непересекающихся 24-клеток, 5 непересекающихся 8-клеток и 5 непересекающихся 16-клеток. Каждая 5-ячейка представляет собой кольцо (двумя разными способами), соединяющее 5 непересекающихся экземпляров каждого из других правильных 4-многогранников.

См. Также: 5-ячеечный § Геодезические и вращения

Геодезические прямоугольники

30 различных аккордов Обнаруженные в 120 клетках встречаются в виде 15 пар комплементов на 180°. Они образуют 15 различных видов многоугольника большого круга, которые лежат в центральных плоскостях нескольких типов: △ плоскости, пересекающие {12} вершин в неправильном додекагоне; 𝜙 плоскости, пересекающие {10} вершин правильного десятиугольника, и ☐ плоскости, пересекающие {4} вершины в нескольких видах прямоугольников, включая квадрат.

Каждый многоугольник большого круга характеризуется парой дополнительных хорд по 180 °. Пары хорд образуют многоугольники большого круга с параллельными противоположными краями, поэтому каждый большой многоугольник представляет собой либо прямоугольник, либо составную часть прямоугольника, где две хорды являются краями прямоугольника.

Каждая из 15 дополнительных пар хорд соответствует отдельной паре противоположных многогранных секций 120-ячеечной ячейки, начиная с вершины, секции 0 ₀ . Соответствие состоит в том, что каждая вершина из 120 ячеек окружена вершинами каждого сечения многогранника на одинаковом расстоянии (длине хорды), так же, как вершины многогранника окружают его центр на расстоянии его длинного радиуса. Хорда №1 — это «радиус» сечения 10 _, тетраэдрическая вершинная фигура 120-ячеистой ячейки. Хорда № 14 — это «радиус» ее конгруэнтной противоположной секции 29 ₀ . Хорда №7 — это «радиус» центральной секции 120-ячеечной ячейки, в которой две противоположные секции 150 _{совпадают} .

30 хорд (15 пар по 180°) образуют 15 видов многоугольников большого круга и многогранных сечений.
Короткий аккорд				Многоугольники большого круга		Вращение	Длинный аккорд
1 0 #1		$1/\phi ^{2}{\sqrt {2}}$			400 больших шестиугольников неправильной формы / 4 (600 больших прямоугольников) в 200 △ плоскостях	4𝝅 {15/4} #4		$\phi ^{5}{\sqrt {3}}/{\sqrt {8}}$		29 0 #14
	15.5~°	√ 0,𝜀	0.270~				164.5~°	√ 3.93~	1.982~
2 0 #2		$1/\phi {\sqrt {2}}$			Большие прямоугольники в ☐ самолетах	4𝝅 {30/13} #13				28 0 #13
	25.2~°	√ 0.19~	0.437~				154.8~°	√ 3.81~	1.952~
3 0 #3	$\pi /5$	$1/\phi$			720 больших десятиугольников / 12 (3600 больших прямоугольников) в 720 𝜙 самолетах	5𝝅 {15/2} #5	$4\pi /5$	${\sqrt {2+\phi }}$		27 0 #12
	36°	√ 0,𝚫	0.618~				144°	√ 3.𝚽	1.902~
4 0 #4−1		${\sqrt {1}}/{\sqrt {2}}$			Большие прямоугольники в ☐ самолетах			${\sqrt {7}}/{\sqrt {2}}$		26 0 #11+1
	41.4~°	√ 0.5	0.707~				138.6~°	√ 3.5	1.871~
5 0 #4		${\sqrt {3}}/\phi {\sqrt {2}}$			200 больших двенадцатиугольников неправильной формы / 4 (600 больших прямоугольников) в 200 △ плоскостях			$\phi ^{2}/{\sqrt {2}}$		25 0 #11
	44.5~°	√ 0.57~	0.757~				135.5~°	√ 3.43~	1.851~
6 0 #4+1					Большие прямоугольники в ☐ самолетах					24 0 #11−1
	49.1~°	√ 0.69~	0.831~				130.9~°	√ 3.31~	1.819~
7 0 #5−1					Большие прямоугольники в ☐ самолетах					23 0 #10+1
	56°	√ 0.88~	0.939~				124°	√ 3.12~	1.766~
8 0 #5	$\pi /3$				400 правильных больших шестиугольников / 16 (1200 больших прямоугольников) в 200 △ плоскостях	4𝝅 2{10/3} #4	$2\pi /3$			22 0 #10
	60°	√ 1	1				120°	√ 3	1.732~
9 0 #5+1					Большие прямоугольники в ☐ самолетах					21 0 #10−1
	66.1~°	√ 1.19~	1.091~				113.9~°	√ 2.81~	1.676~
10 0 #6−1					Большие прямоугольники в ☐ самолетах					20 0 #9+1
	69.8~°	√ 1.31~	1.144~				110.2~°	√ 2.69~	1.640~
11 0 #6	$2\pi /5$	${\sqrt {3-\phi }}$			1440 большой пятиугольник / 12 (3600 больших прямоугольников) в 720 𝜙 самолетах	4𝝅 {24/5} #9	$3\pi /5$	$\phi$		19 0 #9
	72°	√ 1.𝚫	1.175~				108°	√ 2.𝚽	1.618~
12 0 #6+1		${\sqrt {3}}/{\sqrt {2}}$			1200 больших дигональных 5-клеточных ребер / 4 (600 больших прямоугольников) в 200 △ плоскостях	4𝝅 {5/2} #8		${\sqrt {5}}/{\sqrt {2}}$		18 0 #8
	75.5~°	√ 1.5	1.224~				104.5~°	√ 2.5	1.581~
13 0 #6+2					Большие прямоугольники в ☐ самолетах					17 0 #8−1
	81.1~°	√ 1.69~	1.300~				98.9~°	√ 2.31~	1.520~
14 0 #7−1					Большие прямоугольники в ☐ самолетах					16 0 #7+1
	84.5~°	√ 0.81~	1.345~				95.5~°	√ 2.19~	1.480~
15 0 #7	$\pi /2$				4050 больших квадратов / 27 в 4050 ☐ самолётах	4𝝅 {30/7} #7	$\pi /2$			15 0 #7
	90°	√ 2	1.414~				90°	√ 2	1.414~

Каждый вид многоугольника большого круга (каждая отдельная пара дополнительных хорд на 180 °) играет роль в дискретном изоклиническом вращении. отдельного класса, который переносит свои большие ребра прямоугольника в аналогичные ребра в параллельных больших многоугольниках Клиффорда того же типа. Существует отдельное вращение этого класса влево и вправо для каждого расслоения параллельных многоугольников большого круга Клиффорда в инвариантных плоскостях вращения. В каждом классе вращения вершины вращаются по особой круговой геодезической изоклине. который имеет характерную окружность, перекошенную полиграмму Клиффорда и номер аккорда, указанный в столбце «Вращение» выше.

Концентрические корпуса

Ортогональная проекция 120 ячеек с использованием любых трех из этих декартовых координатных измерений образует внешнюю оболочку додекаэдра с фаской Norm= √ 8 .
Каждая оболочка 1, 2 и 7 представляет собой перекрывающуюся пару додекаэдров .
Корпус 3 представляет собой пару икосододекаэдров .
Оболочки 4 и 5 представляют собой пары усеченных икосаэдров .
Оболочки 6 и 8 представляют собой пары ромбикосододекаэдров .

Многогранный граф

Учитывая матрицу смежности вершин, представляющую многогранный граф из 120 ячеек с единичным радиусом, диаметр графа равен 15, соединяя каждую вершину с ее координатой-отрицанием на евклидовом расстоянии 2 (ее окружной диаметр), и существует 24 разные пути для их соединения по ребрам многогранника. Из каждой вершины имеется 4 вершины на расстоянии 1, 12 на расстоянии 2, 24 на расстоянии 3, 36 на расстоянии 4, 52 на расстоянии 5, 68 на расстоянии 6, 76 на расстоянии 7, 78 на расстоянии 8, 72 на расстоянии. 9, 64 на расстоянии 10, 56 на расстоянии 11, 40 на расстоянии 12, 12 на расстоянии 13, 4 на расстоянии 14 и 1 на расстоянии 15. Матрица смежности имеет 27 различных собственных значений в диапазоне от ⁠ 1 / ж ² от √ 2 ⁠ ≈ 0,270 с кратностью 4 до 2 с кратностью 1. Кратность собственного значения 0 равна 18, а ранг матрицы смежности равен 582.

Вершины многогранного графа из 120 ячеек раскрашиваются в 3 цвета .

Граф эйлеров, имеет степень 4 в каждой вершине. Его множество ребер можно разложить на два гамильтоновых цикла .

Конструкции

120-ячеечный является шестым в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке размера и сложности). Его можно разобрать на десять отдельных экземпляров (или пять непересекающихся экземпляров) своего предшественника (и двойного) 600-ячеечного , точно так же, как 600-ячеечная структура может быть разложена на двадцать пять отдельных экземпляров (или пять непересекающихся экземпляров) своего предшественника, 24-клеточного , 24-ячеечный может быть деконструирован на три отдельных экземпляра своего предшественника, тессеракта (8-ячеечный), а 8-ячеечный может быть деконструирован на два непересекающихся экземпляра своего предшественника (и двойного) 16-ячеечного . 120-ячеечная содержит 675 различных экземпляров (75 непересекающихся экземпляров) 16-ячеечной.

Обратная процедура построения каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра. Длина ребра 600-ячеечной ячейки примерно в 0,618 раза превышает ее радиус (обратное золотое сечение ), но длина ребра 120-ячеечной ячейки примерно в 0,270 раз превышает ее радиус.

Двойные 600 ячеек

Пять тетраэдров вписаны в додекаэдр. Также можно вписать пять противоположных тетраэдров (не показаны).

Поскольку 120-ячеечная является двойственной 600-ячеистой, ее можно построить из 600-ячеистой, разместив ее 600 вершин в центре объема каждой из 600 тетраэдрических ячеек. Из 600 ячеек единичного радиуса это приводит к 120 ячейкам немного меньшего длинного радиуса ( ⁠ φ ² / √ 8 ⁠ ≈ 0,926) и длина ребра ровно 1/4. Таким образом, единичная длина ребра 120 ячеек (с большим радиусом φ ² √ 2 ≈ 3,702) можно построить таким образом внутри 600-ячейки большого радиуса 4. Единичная ячейка радиусом 120 (с длиной ребра ⁠ 1 / ж ² √ 2 ⁠ ≈ 0,270) можно построить таким образом внутри 600-ячейки большого радиуса. √ 8 / ж ² ⁠ ≈ 1.080.

Один из пяти различных кубов, вписанных в додекаэдр (пунктирные линии). В каждый куб вписаны два противоположных тетраэдра (не показаны), поэтому в додекаэдр вписано десять различных тетраэдров (по одному из каждых 600 ячеек в 120-ячейке).

И наоборот, 120-ячейка с единичным радиусом может быть построена сразу за 600-ячейкой с немного меньшим длинным радиусом. ⁠ φ ² / √ 8 ⁠ ≈ 0,926, разместив центр каждой додекаэдрической ячейки в одной из 120 вершин по 600 ячеек. 120-ячейка, координаты которой указаны выше, с большим радиусом √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 и длиной ребра 2 / ж ² ⁠ = 3− √ 5 ≈ 0,764 можно построить таким образом сразу за пределами 600-ячейки большого радиуса φ. ² , что меньше √ 8 в том же отношении ≈ 0,926; оно находится в золотом пропорции к длине ребра 600-ячейки, так что это должно быть φ. 120-ячейка с длиной ребра 2 и большим радиусом φ ² √ 8 ≈ 7,405, данное Кокстером может быть построен таким образом сразу за пределами 600-ячейки большого радиуса φ ⁴ и длина ребра φ ³ .

Таким образом, ячейка с единичным радиусом 120 может быть построена на основе своей предшественницы, ячейки с единичным радиусом 600, за три шага возвратно-поступательного движения.

Вращение ячеек вписанных дуалов

Поскольку 120-ячейка содержит вписанные 600-ячейки, она содержит свой собственный двойник того же радиуса. 120-ячейка содержит пять непересекающихся 600-ячеек (десять перекрывающихся вписанных 600-ячеек, из которых мы можем выделить пять непересекающихся 600-ячеек двумя разными способами), поэтому ее можно рассматривать как соединение пяти своих собственных двойственных ячеек (в два пути). Вершины каждой вписанной 600-ячейки являются вершинами 120-ячейки, и (двойственно) каждый додекаэдрический клеточный центр является тетраэдрическим клеточным центром в каждой из вписанных 600-ячеек.

В додекаэдрические ячейки 120-ячейки вписаны тетраэдрические ячейки 600-ячейки. Подобно тому, как 120-ячеечный представляет собой соединение пяти 600-ячеек (двумя способами), додекаэдр представляет собой соединение пяти правильных тетраэдров (двумя способами). Как в куб можно вписать два противоположных тетраэдра, а в додекаэдр — пять кубов, так и в додекаэдр можно вписать десять тетраэдров, состоящих из пяти кубов: два противоположных набора по пять, каждый из которых охватывает все 20 вершин и каждую вершину в два тетраэдра (по одному из каждого набора, но, очевидно, не из противоположной пары куба). Это показывает, что 120-ячейка содержит, среди своих многочисленных внутренних особенностей, 120 соединений десяти тетраэдров , каждое из которых по размерам аналогично всей 120-ячейке как соединению десяти 600-ячеек.

Все десять тетраэдров могут быть созданы двумя киральными поворотами в пять щелчков любого одного тетраэдра. В каждой додекаэдрической ячейке по одной тетраэдрической ячейке происходит от каждой из десяти 600-клеток, вписанных в 120-клетку. Следовательно, вся 120-ячейка со всеми десятью вписанными 600-ячейками может быть создана всего лишь из одной 600-ячейки путем вращения ее ячеек.

Увеличение

Другим следствием того, что 120-ячейка содержит вписанные 600-ячейки, является то, что ее можно построить, разместив какие-либо 4-пирамиды на ячейках 600-ячейки. Эти тетраэдрические пирамиды в данном случае должны быть совершенно неправильными (с вершиной, притупленной на четыре «вершины»), но мы можем различить их форму по тому, как лежит тетраэдр, вписанный в додекаэдр .

Только 120 тетраэдрических ячеек из каждых 600 ячеек могут быть вписаны в додекаэдры из 120 ячеек; остальные 480 тетраэдров охватывают додекаэдрические ячейки. Каждый тетраэдр, вписанный в додекаэдр, является центральной ячейкой кластера из пяти тетраэдров , а четыре других, связанных гранями вокруг него, лежат лишь частично внутри додекаэдра. Центральный тетраэдр связан краями с дополнительными 12 тетраэдрическими ячейками, которые также лишь частично лежат внутри додекаэдра. Центральная ячейка связана вершинами с 40 другими тетраэдрическими ячейками, которые полностью лежат за пределами додекаэдра.

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля . $O(\Lambda )=W(H_{4})=I$ порядка 120. Ниже описаны $T$ и $T'$ 24-ячейки как веса орбит кватернионов D4 под группой Вейля W(D4):
O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}
О(1000): V1
О (0010): V2
O(0001) : V3

$$T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};$$

С кватернионами $(p,q)$ где ${\bar {p}}$ является сопряженным $p$ и $[p,q]:r\rightarrow r'=prq$ и $[p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q$, то группа Кокстера $W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace$ представляет собой группу симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной ячеек порядка 14400.

Данный $p\in T$ такой, что ${\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p$ и $p^{\dagger }$ как обмен $-1/\varphi \leftrightarrow \varphi$ в пределах $p$, мы можем построить:

• курносый 24-клеточный $S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T$
• ячеечный 600- $I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T$
• 120-ячеечный $J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'$
• альтернативный курносый 24-элементный $S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'$
• двойной курносый 24-элементный = $T\oplus T'\oplus S'$.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 120 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всех 120 ячейках. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Вот конфигурация, расширенная k -гранными элементами и k -фигурами. Количество диагональных элементов представляет собой отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

Ч 4		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	f 3	к -рис	Примечания
AА3		( )	ж 0	600	4	6	4	{3,3}	Н 4 /А 3 = 14400/24 ​​= 600
А 1 А 2		{ }	ж 1	2	1200	3	3	{3}	Н 4 /А 2 А 1 = 14400/6/2 = 1200
Ч 2 А 1		{5}	ff2	5	5	720	2	{ }	Н 4 /Н 2 А 1 = 14400/10/2 = 720
HH3		{5,3}	f 3	20	30	12	120	( )	Н 4 /Н 3 = 14400/120 = 120

Визуализация

120-ячеечная состоит из 120 додекаэдрических ячеек. Для целей визуализации удобно, что додекаэдр имеет противоположные параллельные грани (черта, общая для него с ячейками тессеракта и 24 -клетки ). Додекаэдры можно складывать лицом к лицу по прямой, изогнутой в 4-м направлении, в большой круг с окружностью в 10 ячеек. Начиная с этой исходной конструкции из десяти ячеек, можно использовать две общие визуализации: многослойную стереографическую проекцию и структуру переплетающихся колец (дискретное расслоение Хопфа ).

Многослойная стереографическая проекция

Расположение ячеек поддается гиперсферическому описанию. Выберите произвольный додекаэдр и назовите его «северный полюс». Двенадцать меридианов большого круга (длиной четыре ячейки) расходятся в трех измерениях и сходятся в пятой ячейке «южного полюса». На этот скелет приходится 50 из 120 клеток (2 + 4 × 12).

Начиная с Северного полюса, мы можем построить 120-ячеечную карту в 9 широтных слоях, с отсылками к земной двухсферной топографии в таблице ниже. За исключением полюсов, центроиды ячеек каждого слоя лежат на отдельной 2-сфере, а экваториальные центроиды лежат на большой 2-сфере. Центроиды 30 экваториальных ячеек образуют вершины икосододекаэдра , причем меридианы (как описано выше) проходят через центр каждой пятиугольной грани. Ячейки, помеченные как «интерстициальные» в следующей таблице, не попадают в большие круги меридиана.

Слой #	Количество ячеек	Описание	Колатитуд	Область
1	1 ячейка	Северный полюс	0°	Северное полушарие
2	12 ячеек	Первый слой меридиональных ячеек / « Полярный круг »	36°
3	20 ячеек	Немеридианный/интерстициальный	60°
4	12 ячеек	Второй слой меридиональных клеток / « Тропик Рака »	72°
5	30 ячеек	Немеридианный/интерстициальный	90°	Экватор
6	12 ячеек	Третий слой меридиональных клеток / « Тропик Козерога »	108°	Южное полушарие
7	20 ячеек	Немеридианный/интерстициальный	120°
8	12 ячеек	Четвертый слой меридиональных клеток / « Южный полярный круг ».	144°
9	1 ячейка	Южный полюс	180°
Общий	120 ячеек

Ячейки слоев 2, 4, 6 и 8 расположены над гранями полюсной ячейки. Ячейки слоев 3 и 7 расположены непосредственно над вершинами полюсной ячейки. Ячейки слоя 5 расположены по краям полюсной ячейки.

Переплетающиеся кольца

Два переплетающихся кольца из 120 ячеек.

Два ортогональных кольца в клеточноцентрированной проекции

120-ячеечное можно разделить на 12 непересекающихся 10-ячеечных колец большого круга, образуя дискретное/квантованное расслоение Хопфа . Начав с одного кольца из 10 ячеек, рядом с ним можно разместить еще одно кольцо, которое вращается вокруг исходного кольца по спирали на один полный оборот за десять ячеек. Пять таких колец из 10 ячеек можно разместить рядом с исходным кольцом из 10 ячеек. Хотя внешние кольца «закручиваются» вокруг внутреннего кольца (и друг друга), на самом деле они не имеют спирального кручения . Все они эквивалентны. Спираль является результатом кривизны трех сфер. Внутреннее кольцо и пять внешних колец теперь образуют шестикольцевый полнотелый тор с 60 ячейками. Можно продолжать добавлять 10-клеточные кольца, примыкающие к предыдущим, но более поучительно построить второй тор, не пересекающийся с предыдущим, из оставшихся 60 ячеек, сцепляющихся с первым. 120-ячеечная, как и 3-сфера, представляет собой объединение этих двух ( Клиффордовых ) торов. Если центральное кольцо первого тора представляет собой большой меридианный круг, как определено выше, центральное кольцо второго тора представляет собой большой экваториальный круг с центром на меридиональном круге. Также обратите внимание, что спиральная оболочка из 50 ячеек вокруг центрального кольца может быть как левосторонней, так и правосторонней. Это всего лишь вопрос другого разделения ячеек в оболочке, т.е. выбора другого набора непересекающихся ( параллелей Клиффорда ) больших кругов.

Другие замечательные круговые конструкции

Есть еще один интересный круговой путь, который попеременно проходит через противоположные вершины ячеек, а затем вдоль края. Этот путь состоит из 6 ребер, чередующихся с 6 хордами диаметра ячейки , образующими неправильный додекагон в центральной плоскости. Оба этих пути большого круга имеют двойные пути большого круга в 600-ячейке . Путь из 10 ячеек лицом к лицу выше отображается в путь из 10 вершин, проходящий исключительно по ребрам в 600-ячейке, образуя десятиугольник . Чередующийся путь ячеек/ребер соответствует пути, состоящему из 12 тетраэдров, поочередно встречающихся лицом к лицу, а затем от вершины к вершине (шесть треугольных бипирамид ) в 600-ячейке. Этот последний путь соответствует кольцу из шести икосаэдров, встречающихся лицом к лицу в курносой 24-ячейке (или икосаэдрических пирамидах в 600-ячеечной), образуя шестиугольник .

Существует еще один многоугольный путь большого круга, который уникален для 120-ячеечной модели и не имеет двойного аналога в 600-ячеечной. Этот путь состоит из 3 ребер по 120 ячеек, чередующихся с 3 вписанными ребрами по 5 ячеек (хорды № 8), образующих неправильный большой шестиугольник с чередующимися короткими и длинными ребрами, показанными выше . Каждое 5-ячеечное ребро проходит через объем трех додекаэдрических ячеек (в кольце из десяти связанных гранями додекаэдрических ячеек) к противоположной пятиугольной грани третьего додекаэдра. Этот неправильный большой шестиугольник лежит в той же центральной плоскости (на том же большом круге), что и неправильный большой додекагон, описанный выше, но пересекает только {6} из {12} вершин додекагона. В каждый неправильный большой двенадцатиугольник вписаны по два неправильных больших шестиугольника в чередующихся положениях.

Перспективные прогнозы

Проекции на 3D 4D 120 ячеек, выполняющих простое вращение
Извне 3-сферы в 4-пространство.	Внутри трехмерной поверхности трехсферы.

Как и на всех иллюстрациях в этой статье, на этих визуализациях видны только края 120-ячеечной ячейки. Все остальные аккорды не показаны. Сложные внутренние части 120-ячейки, все вписанные в нее 600-, 24-, 8-, 16- и 5-ячеечную модели совершенно невидимы на всех иллюстрациях. Зритель должен их представить.

Эти проекции используют перспективную проекцию с определенной точки зрения в четырех измерениях, проецируя модель как трехмерную тень. Таким образом, грани и ячейки, которые выглядят крупнее, просто ближе к 4D-точке обзора.

Сравнение перспективных проекций трехмерного додекаэдра с двухмерным (внизу слева) и проекций четырехмерного 120-ячеечного додекаэдра с трехмерным (внизу справа) демонстрирует два родственных метода перспективной проекции по размерной аналогии. Диаграммы Шлегеля используют перспективу, чтобы показать глубину сплющенного измерения, выбирая точку обзора над определенной ячейкой, таким образом делая эту ячейку оболочкой модели, а другие ячейки внутри нее кажутся меньшими. В стереографических проекциях используется тот же подход, но они показаны с изогнутыми краями, представляя сферический многогранник как мозаику трехсферы . Оба эти метода искажают объект, поскольку ячейки на самом деле не вложены друг в друга (они встречаются лицом к лицу) и все они имеют одинаковый размер. Существуют и другие методы перспективной проекции, такие как вращающаяся анимация, описанная выше, которая демонстрирует не этот конкретный вид искажения, а скорее какой-то другой вид искажения (как и все проекции).

Сравнение с правильным додекаэдром

Проекция	Додекаэдр	120-ячеечный
Диаграмма Шлегеля	12 граней пятиугольника на плоскости	120 додекаэдрических ячеек в 3-мерном пространстве
Стереографическая проекция		С прозрачными лицами

Улучшенные перспективные проекции
	Перспективная проекция «сначала ячейка» на расстоянии, в 5 раз превышающем расстояние от центра до вершины, со следующими улучшениями: Ближайший к 4D-точке обзора додекаэдр выделен желтым цветом. 12 додекаэдров, непосредственно примыкающих к нему, окрашены в голубой цвет; Остальные додекаэдры показаны зеленым цветом; Ячейки, обращенные от точки зрения 4D (те, что лежат на «дальней стороне» 120-ячеечной камеры), отбраковываются, чтобы минимизировать беспорядок в конечном изображении.
	Перспективная проекция «сначала вершина» на 5-кратном расстоянии от центра до вершины со следующими улучшениями: Четыре ячейки, окружающие ближайшую вершину, показаны четырьмя цветами. Ближайшая вершина показана белым цветом (центр изображения, где встречаются 4 ячейки) Остальные ячейки показаны прозрачным зеленым цветом. Ячейки, обращенные в сторону от точки обзора 4D, удалены для ясности.

Ортогональные проекции

Ортогональные проекции 120 ячеек можно выполнить в 2D, задав два ортонормированных базисных вектора для определенного направления обзора. 30-угольная проекция была сделана в 1963 году Б.Л. Чилтоном .

проекция H3 Декагональная показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

Ортографические проекции плоскостей Кокстера

Ч 4	-	FF4
[30] (Красный=1)	[20] (Красный=1)	[12] (Красный=1)
HH3	А 2 / Б 3 / Д 4	А3 / Б2
[10] (Красный=5, оранжевый=10)	[6] (Красный=1, оранжевый=3, желтый=6, салатовый=9, зеленый=12)	[4] (Красный=1, оранжевый=2, желтый=4, салатовый=6, зеленый=8)

Трехмерные ортогональные проекции также можно создавать с использованием трех ортонормированных базисных векторов и отображать в виде трехмерной модели, а затем проецировать определенную перспективу в трехмерном пространстве для двухмерного изображения.

3D ортогональные проекции

3D изометрическая проекция

Duration: 9 seconds.0:09 Анимированное 4D-вращение

Связанные многогранники и соты

H ₄ многогранника

120-ячеечный — один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией H ₄ [3,3,5]:

показывать H 4 Многогранники семейства
120-cell	rectified 120-cell	truncated 120-cell	cantellated 120-cell	runcinated 120-cell	cantitruncated 120-cell	runcitruncated 120-cell	omnitruncated 120-cell
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t0,3{5,3,3}	tr{5,3,3}	t0,1,3{5,3,3}	t0,1,2,3{5,3,3}
600-cell	rectified 600-cell	truncated 600-cell	cantellated 600-cell	bitruncated 600-cell	cantitruncated 600-cell	runcitruncated 600-cell	omnitruncated 600-cell
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t0,1,3{3,3,5}	t0,1,2,3{3,3,5}

{p,3,3} многогранники

120-ячеечное пространство похоже на три правильных 4-многогранника : 5-ячеечный {3,3,3} и тессеракт {4,3,3} евклидова 4-мерного пространства и шестиугольную мозаику-соту {6,3,3 } гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрическую вершинную фигуру {3,3}:

показывать {p,3,3} многогранники
Space		S3			H3
Form		Finite			Paracompact	Noncompact
Name		{3,3,3}	{4,3,3}	{5,3,3}	{6,3,3}	{7,3,3}	{8,3,3}	...{∞,3,3}
Image
Cells {p,3}		{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

{5,3,p} многогранники

120-ячейка является частью последовательности 4-многогранников и сот с додекаэдрическими ячейками:

показывать {5,3,p} многогранники
Space	S3	H3
Form	Finite	Compact		Paracompact	Noncompact
Name	{5,3,3}	{5,3,4}	{5,3,5}	{5,3,6}	{5,3,7}	{5,3,8}	... {5,3,∞}
Image
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Тетраэдрически уменьшенный 120-клеточный

Поскольку 120-ячейка с 600 точками имеет 5 непересекающихся вписанных 600-ячеек, ее можно уменьшить, удалив одну из этих 600-ячеек со 120 точками, создав неправильный 4-многогранник с 480 точками.

В тетраэдрически уменьшенном додекаэдре 4 вершины усечены до равносторонних треугольников. 12 граней пятиугольника теряют вершину и становятся трапециями.

Каждая додекаэдрическая ячейка из 120 ячеек уменьшается путем удаления 4 из 20 ее вершин, создавая неправильный 16-точечный многогранник, называемый тетраэдрически уменьшенным додекаэдром, поскольку 4 удаленные вершины образуют тетраэдр, вписанный в додекаэдр . Поскольку вершинной фигурой додекаэдра является треугольник, каждая усеченная вершина заменяется треугольником. 12 граней пятиугольника заменяются 12 трапециями, поскольку одна вершина каждого пятиугольника удаляется, а два его ребра заменяются диагональной хордой пятиугольника. Тетраэдрически уменьшенный додекаэдр имеет 16 вершин и 16 граней: 12 граней трапеции и четыре грани равностороннего треугольника.

Поскольку вершинной фигурой 120-ячейки является тетраэдр, каждая усеченная вершина заменяется тетраэдром, в результате чего остается 120 тетраэдрически уменьшенных ячеек додекаэдра и 120 ячеек правильного тетраэдра. Правильный додекаэдр и тетраэдрически уменьшенный додекаэдр имеют по 30 ребер, а правильный 120-ячеечный и тетраэдрически уменьшенный 120-ячеечный имеют по 1200 ребер.

Уменьшенную 120-ячейку с 480 точками можно назвать уменьшенной тетраэдрически 120-ячейкой, потому что ее ячейки тетраэдрически уменьшены, или уменьшенной 120-ячейкой с 600 ячейками, потому что удаленные вершины образовали 600-ячейку, вписанную в 120-ячейку, или даже обычные 5-клетки уменьшились до 120-клеток , потому что удаление 120 вершин удаляет одну вершину из каждой из 120 вписанных правильных 5-клеток, оставляя 120 правильных тетраэдров.

Дэвис, 120 ячеек

, 120-ячейка Дэвиса введенная Дэвисом (1985) , представляет собой компактное 4-мерное гиперболическое многообразие, полученное путем идентификации противоположных граней 120-ячейки, универсальное покрытие которого дает правильные соты {5,3,3,5} из 4 -мерное гиперболическое пространство.

См. также

• Равномерное семейство 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
• 57-клетка – абстрактный правильный 4-многогранник, построенный из 57 полудодекаэдров.
• 600-ячеечный - двойной 4-многогранник к 120-ячеечному

Ссылки

• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
• Коксетер, HSM (1995). Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич (ред.). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера (2-е изд.). Публикация Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-01003-6 .
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Коксетер, HSM ; дю Валь, Патрик ; Флатер, ХТ; Петри, Дж. Ф. (1938). Пятьдесят девять икосаэдров . Том. 6. Исследования Университета Торонто (математическая серия).
• Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
• Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120 ячеек» (PDF) . Уведомления АМС . 48 (1): 17–25.
• Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [1]. Архивировано 22 марта 2005 г. в Wayback Machine.
• Дэвис, Майкл В. (1985), «Гиперболическое 4-многообразие», Труды Американского математического общества , 93 (2): 325–328, doi : 10.2307/2044771 , ISSN   0002-9939 , JSTOR   2044771 , MR   0770546
• Денни, Томм; Хукер, Да'Шей; Джонсон, Де'Джанеке; Робинсон, Тианна; Батлер, Маджид; Клэйборн, Сандерниш (2020). «Геометрия многогранников H4». Достижения в геометрии . 20 (3): 433–444. arXiv : 1912.06156v1 . дои : 10.1515/advgeom-2020-0005 . S2CID   220367622 .
• Штайнбах, Питер (1997). «Золотые поля: случай семиугольника». Журнал «Математика» . 70 (февраль 1997 г.): 22–31. дои : 10.1080/0025570X.1997.11996494 . JSTOR   2691048 .
• Кофер, Джессика (2019). «Суммы и произведения квадратов длин хорд правильных многогранников». arXiv : 1903.06971 [ math.MG ].
• Миядзаки, Кодзи (1990). «Первичные гипергеодезические многогранники». Международный журнал космических конструкций . 5 (3–4): 309–323. дои : 10.1177/026635119000500312 . S2CID   113846838 .
• ван Иттерсум, Клара (2020). «Группы симметрии правильных многогранников в трех и четырех измерениях» . ТУДельфт .
• Мамоне, Сальваторе; Пилейо, Джузеппе; Левитт, Малкольм Х. (2010). «Схемы ориентационной выборки на основе четырехмерных многогранников» . Симметрия . 2 (3): 1423–1449. Бибкод : 2010Symm....2.1423M . дои : 10.3390/sym2031423 .
• Салливан, Джон М. (1991). «Генерация и рендеринг четырехмерных многогранников» . Журнал Математика . 1 (3): 76–85.
• Вегель, Мордехай; Аравинд, ПК (10 сентября 2014 г.). «Доказательства четности теоремы Кохена – Спекера на основе 120 ячеек». Основы физики . 44 (10): 1085–1095. arXiv : 1309.7530v3 . Бибкод : 2014FoPh...44.1085W . дои : 10.1007/s10701-014-9830-0 . S2CID   254504443 .
• Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного дизайна и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .
• Садок, Жан-Франсуа (2001). «Спирали и спиральные упаковки, полученные из многогранника {3,3,5}» . Европейский физический журнал E. 5 : 575–582. дои : 10.1007/s101890170040 . S2CID   121229939 .
• Чилтон, Б.Л. (сентябрь 1964 г.). «О проекции правильного многогранника {5,3,3} в правильный триаконтагон» . Канадский математический бюллетень . 7 (3): 385–398. дои : 10.4153/CMB-1964-037-9 .
• Шлеймер, Саул; Сегерман, Генри (2013). «Загадка 120 ячеек». Замечания амер. Математика. Соц . 62 (11): 1309–1316. arXiv : 1310.3549 . дои : 10.1090/noti1297 . S2CID   117636740 .
• Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266 . дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN  978-0-387-92713-8 .
• Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Аль-Барвани, Муатаз (2012). «Крутой 24-клеточный элемент, полученный из группы Кокстера-Вейля W (D4)» . Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . дои : 10.1142/S0219887812500685 . S2CID   119288632 .
• Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Оздеш Коджа, Назифе (2011). «Кватернионное представление курносой 24-клетки и ее двойного многогранника, полученного из корневой системы E8» . Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . дои : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN   0024-3795 . S2CID   18278359 .
• Дешант, Пьер-Филипп (2021). «Спиноры Клиффорда и индукция корневой системы: H4 и большая антипризма» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 31 (3). Springer Science and Business Media. arXiv : 2103.07817 . дои : 10.1007/s00006-021-01139-2 .
• Ким, Хына; Роте, Гюнтер (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
• Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID   12350382 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «120 ячеек» . Математический мир .
• Ольшевский, Георгий. «Гекатоникосахорон» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
  • Выпуклая равномерная полихора на основе гекатоникосахорона (120-клеточного) и гексакосихорона (600-клеточного) — Модель 32 , Георгий Ольшевский.
• Клитцинг, Ричард. "4D однородные многогранники (полихора) o3o3o5x - привет" .
• Der 120-Zeller (120-ячеечный) Правильные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (Немецкий)
• 120-ячеечный проводник – бесплатная интерактивная программа, которая позволяет вам узнать о ряде симметрий 120-клеток. 120 ячеек проецируются в 3 измерения, а затем визуализируются с использованием OpenGL.
• Построение Гипердодекаэдра
• YouTube-анимация строительства 120-клеточного Джан Марко Тодеско.

показывать H 4 Многогранники семейства
120-cell	rectified 120-cell	truncated 120-cell	cantellated 120-cell	runcinated 120-cell	cantitruncated 120-cell	runcitruncated 120-cell	omnitruncated 120-cell
{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t0,3{5,3,3}	tr{5,3,3}	t0,1,3{5,3,3}	t0,1,2,3{5,3,3}
600-cell	rectified 600-cell	truncated 600-cell	cantellated 600-cell	bitruncated 600-cell	cantitruncated 600-cell	runcitruncated 600-cell	omnitruncated 600-cell
{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t0,1,3{3,3,5}	t0,1,2,3{3,3,5}