Курносый 24-клеточный

Курносый 24-клеточный

Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли ^[1]	с{3,4,3} ср{3,3,4} с{3 ^1,1,1}
Коксетер-Дынкин диаграммы	или или
Клетки	144	96 3.3.3 (косой) 24 3.3.3 24 3.3.3.3.3
Лица	480 {3}
Края	432
Вершины	96
Вершинная фигура	( Трёхмерный икосаэдр )
Группы симметрии	[3 ⁺,4,3] , ⁠ 1/2 4 F ⁠ заказ _, 576 [(3,3) ⁺,4] , ⁠ 1/2 4 B ⁠ заказ ₁₉₂ , [3 ^1,1,1] ⁺, ⁠ 1/2 4 96 ⁠ Д _, заказ
Двойной	Двойной курносый 24-элементный
Характеристики	выпуклый
Единый индекс	30 31 32

В геометрии курносый ячеек 24-клеточный или курносый дискоситетрахорон представляет собой выпуклый однородный 4-многогранник, из 120 правильных тетраэдрических и 24 икосаэдрических состоящий . В каждой вершине сходятся пять тетраэдров и три икосаэдра. Всего у него 480 треугольных граней, 432 ребра и 96 вершин. Его можно построить из 600 ячеек, уменьшив выбранное подмножество икосаэдрических пирамид и оставив только их икосаэдрические основания, тем самым удалив 480 тетраэдров и заменив их 24 икосаэдрами.

Топологически, при его высшей симметрии, [3 ⁺,4,3], как чередование усеченного 24-клеточного , содержит 24 пиритоэдра (икосаэдра с симметрией Th ₎ , 24 правильных тетраэдра и 96 треугольных пирамид.

Полуправильный многогранник

Это один из трех полуправильных 4-многогранников, состоящих из двух или более ячеек, которые являются платоновыми телами , обнаруженных Торольдом Госсетом в его статье 1900 года. ^[2] Он назвал его тетракосаэдром , поскольку он состоит из тетраэдра и икосаэдра ячеек . (Два других — это исправленный 5-элементный и исправленный 600-элементный .)

Альтернативные названия

Курносый икоситетрахорон
Курносый полудессеракт
Полувзносый полиоктаэдр ( Джон Конвей ) ^[3]
Сади (Джонатан Бауэрс) за курносый дисикозитрахорон
Тетрикосаэдрический ( Торольд Госсет ) ^[2]

Геометрия

Координаты

Вершины курносого 24-клеточного пространства с центром в начале 4-мерного пространства и ребрами длины 2 получаются четными перестановками

(0, ±1, ±φ, ±φ ²)

где φ = ⁠ 1+ √ 5/2 1,618 ⁠ ≈ — золотое сечение .

Координаты единичного радиуса курносой 24-клетки с краями длиной φ ⁻¹ ≈ 0,618 — четные перестановки

(± ⁠ φ 2 ⁠ , ± ⁠ 1 2 ⁠ , ± ⁠ φ ⁻¹2 ⁠ , 0)

Эти 96 вершин могут быть найдены путем разделения каждого из 96 ребер 24-ячеечного золотого сечения последовательным образом, размерно аналогичным тому, как 12 вершин икосаэдра или «курносого октаэдра» могут быть получены путем разделения 12 ребер. октаэдра в золотом сечении. Это можно сделать, сначала разместив векторы вдоль краев 24 ячеек так, чтобы каждая двумерная грань была ограничена циклом, а затем аналогичным образом разделив каждое ребро на золотое сечение вдоль направления его вектора. ^[4] Это эквивалентно конструкции усечения с 24 ячейками, описанной ниже.

96 вершин курносой 24-ячейки вместе с 24 вершинами 24-ячейки образуют 120 вершин 600-ячейки .

Конструкции

Курносый 24-элементный элемент получается из 24-элементного путем специальной формы усечения .

Усечения удаляют вершины, разрезая ребра, инцидентные вершине; Формы усечения различаются в зависимости от того, где на краю сделан разрез. Обычные усечения 24-клеток включают рецитифицированную 24-клетку (которая разрезает каждое ребро в средней точке, создавая многогранник, ограниченный 24 кубами и 24 кубооктаэдрами ), и усеченную 24-клетку (которая разрезает каждое ребро на одну треть его длину от вершины, образуя многогранник, ограниченный 24 кубами и 24 усеченными октаэдрами ). При этих усечениях на месте удаленной вершины создается куб, поскольку фигура вершины 24-клетки представляет собой куб, а разрезы равноудалены от вершины.

Курносое усечение 24-клеточного ^[4] разрезает каждое ребро на две золотые секции (так что большая часть находится в золотом пропорции ~ 1,618 к меньшей секции, а исходное ребро находится в золотом пропорции к большей секции). Разрез должен производиться в разных направлениях на разных ребрах, инцидентных каждой вершине, чтобы получить последовательный результат. Ребра, инцидентные вершине в 24-клетке, представляют собой 8 радиусов ее кубической вершинной фигуры. Единственный способ выбрать альтернативные радиусы куба — это выбрать четыре радиуса тетраэдра (вписанного в куб), которые нужно отрезать на меньшем участке их длины от вершины, и четыре противоположных радиуса (другого тетраэдра, который можно вписать в куб), чтобы отрезать большую часть их длины от вершины. Конечно, есть два способа сделать это; оба создают кластер из пяти правильных тетраэдров на месте удаленной вершины, а не куб.

Эта конструкция имеет аналогию в 3-х измерениях: построение икосаэдра (« курносого октаэдра ») из октаэдра тем же методом. ^[5] Именно так икосаэдры курносых ячеек-24 образуются из октаэдров 24-ячеечных ячеек во время усечения.

Курносый 24-элементный элемент связан с усеченным 24-элементным элементом посредством операции чередования . Половина вершин удаляется, 24 ячейки усеченного октаэдра становятся 24 ячейками икосаэдра , 24 куба становятся 24 ячейками тетраэдра , а 96 удаленных пустот в вершинах создают 96 новых ячеек тетраэдра.

Ортогональная проекция, _{F 4} плоскость Кокстера
Курносый 24-клеточный	600-ячеечный

Курносая 24-ячейка также может быть построена путем особого уменьшения 600 -ячейки : путем удаления 24 вершин из 600-ячейки, соответствующих вершинам вписанной 24-ячейки , а затем взятия выпуклой оболочки оставшихся вершин. Это эквивалентно удалению 24 икосаэдрических пирамид из 600 ячеек.

И наоборот, 600-ячеечную структуру можно построить из курносой 24-ячеечной, дополнив ее 24 икосаэдрическими пирамидами.

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля . $O(\Lambda )=W(H_{4})=I$ порядка 120. ^[6] Ниже описаны $T$ и $T'$ 24-ячейки как веса орбит кватернионов D4 под группой Вейля W(D4):

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

О(1000): V1

О (0010): V2

O(0001) : V3

С кватернионами $(p,q)$ где ${\bar {p}}$ является сопряженным $p$ и $[p,q]:r\rightarrow r'=prq$ и $[p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q$ , то группа Кокстера $W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace$ представляет собой группу симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной ячеек порядка 14400.

Данный $p\in T$ такой, что ${\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p$ и $p^{\dagger }$ как обмен $-1/\varphi \leftrightarrow \varphi$ в пределах $p$ , мы можем построить курносую 24-ячейку как $S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T$

Структура

Сетка из курносых 24-клеток с синими икосаэдрами, красными и желтыми тетраэдрами.

Икосаэдрические ячейки прилегают друг к другу лицом к лицу, оставляя пустоты между ними, заполненные кластерами из пяти тетраэдрических ячеек. ^[7]

Каждая икосаэдрическая ячейка соединена с 8 другими икосаэдрическими ячейками 8 треугольными гранями в положениях, соответствующих вписывающему октаэдру. Остальные треугольные грани соединены с тетраэдрическими ячейками, которые встречаются парами и имеют общий край икосаэдрической ячейки.

Тетраэдрические клетки можно разделить на две группы: 96 желтых клеток и 24 красных клетки соответственно (как показано на сетке). Каждая желтая тетраэдрическая ячейка соединена своими треугольными гранями с 3 синими икосаэдрическими ячейками и одной красной тетраэдрической клеткой, а каждая красная тетраэдрическая ячейка соединена с 4 желтыми тетраэдрами. Таким образом, тетраэдрические клетки встречаются группами по пять (четыре желтые клетки, соединенные гранями вокруг красной центральной, причем каждая красно-желтая пара лежит в отдельной гиперплоскости). Красный центральный тетраэдр из пяти разделяет каждый из своих шести ребер с другой икосаэдрической ячейкой, а также с парой желтых тетраэдрических ячеек, которые разделяют этот край в икосаэдрической ячейке.

Симметрия

Курносая 24-ячейка имеет три вершинно-транзитивных раскраски, основанные на конструкции Витхоффа на группе Кокстера, из которой она чередуется : F ₄ определяет 24 взаимозаменяемых икосаэдра, а группа B ₄ определяет две группы икосаэдров в соотношении 8:16, и, наконец, группа D ₄ имеет 3 группы икосаэдров с числом 8:8:8. ^[8]

Симметрия (заказ)	Конструктивное имя	Диаграмма Кокстера-Динкина Расширенный символ Шлефли	Клетки (Цвет граней на фигурах вершин)
⁠ 1 / 2 ⁠ F ₄ [3 ⁺,4,3] (576)	Курносый 24-клеточный	с{3,4,3}	Один набор из 24 икосаэдров (синего цвета). Два набора тетраэдров: 96 (желтый) и 24 (голубой).
⁠ 1 / 2 ⁠ B ₄ [(3,3) ⁺,4] (192)	Курносый выпрямленный 16-кл.	ср{3,3,4}	Два набора икосаэдров: по 8, 16 (красных и синих) Два набора тетраэдров: 96 (желтый) и 24 (голубой).
⁠ 1 / 2 ⁠ D ₄ [3 ^1,1,1] ⁺ (96)	Омниснуб демитессеракт	с{3 ^1,1,1}	Три набора по 8 икосаэдров (красный, зеленый и синий). Два набора тетраэдров: 96 (желтый) и 24 (голубой).

Прогнозы

Орфографические проекции

орфографические проекции
Самолет Коксетера	F_F4	Б ₄
График
Двугранная симметрия	[12] ⁺	[8/2]
Самолет Коксетера	Д ₄ / Б ₃ / А ₂	Б2 / _А3
График
Двугранная симметрия	[6] ⁺	[4]

Ортогональная проекция Центрирован на гиперплоскости одного икосаэдра.

Перспективные прогнозы

Перспективные прогнозы
Перспективная проекция с центром в икосаэдрической ячейке с четырехмерной точкой обзора, расположенной на расстоянии, в 5 раз превышающем радиус центра вершины. Ближайшая ячейка икосаэдра отображается сплошным цветом, а остальные ячейки — контуром по краям. Ячейки, обращенные в сторону от точки обзора 4D, удаляются, чтобы уменьшить визуальный беспорядок.	Та же проекция, теперь с 4 из 8 икосаэдрических ячеек, окружающих центральную ячейку, показанную зеленым цветом.
Та же проекция, что и выше, теперь остальные 4 икосаэдрические ячейки, окружающие центральную ячейку, показаны пурпурным цветом. Анимированная версия этого изображения дает хорошее представление о расположении этих ячеек. С этой конкретной точки зрения можно увидеть одну из щелей, содержащую тетраэдрические ячейки. Каждый из этих промежутков заполнен пятью тетраэдрическими ячейками, здесь не показанными.	Та же проекция, что и выше, теперь с заполненной центральной тетраэдрической ячейкой в промежутке. Эта тетраэдрическая ячейка соединена с четырьмя другими тетраэдрическими ячейками, две из которых заполняют два промежутка, видимые на этом изображении. Два других лежат между зеленой тетраэдрической клеткой, пурпурной клеткой и центральной клеткой слева и справа от желтой тетраэдрической ячейки. Обратите внимание, что на этих изображениях были исключены ячейки, обращенные в сторону от точки обзора 4D; следовательно, здесь учитывается всего 1 + 8 + 6 + 24 = 39 ячеек. Остальные ячейки лежат на другой стороне курносой 24-клетки. Здесь можно различить часть контура края одной из них — икосаэдрической ячейки, перекрывающей желтый тетраэдр.
На этом изображении показаны только ближайшая икосаэдрическая ячейка и 6 желтых тетраэдрических ячеек с предыдущего изображения.	Теперь показаны 12 тетраэдрических ячеек, соединенных с центральной икосаэдрической ячейкой, и 6 желтых тетраэдрических ячеек. Каждая из этих ячеек окружена центральным икосаэдром и двумя другими икосаэдрическими ячейками, показанными ранее.
Наконец, здесь показаны остальные 12 тетраэдрических ячеек, присоединенные к 6 желтым тетраэдрическим ячейкам. Эти ячейки вместе с 8 икосаэдрическими ячейками, показанными ранее, включают все ячейки, которые имеют хотя бы одну общую вершину с центральной клеткой.

Двойной

имеет 24-элементный Dual snub 144 одинаковых элемента неправильной формы. Каждая ячейка имеет грани двух видов: 3 коршуна и 6 равнобедренных треугольников. Всего у многогранника 432 грани (144 змея и 288 равнобедренных треугольников) и 480 ребер. ^[9]

Связанные многогранники

Курносую 24-клетку можно получить убавлением 600-ячейки по 24 ее вершинам, фактически вершинам вписанной 24-клетки . Существует еще такое двууменьшение , когда вершины второй вершины, вписанной в 24 ячейки, также уменьшаются. Соответственно, этот известен как 600-ячеечный би-24-уменьшенный .

Д ₄ равномерная полихора


{3,3^1,1} h{4,3,3}	2r{3,3^1,1} h₃{4,3,3}	t{3,3^1,1} h₂{4,3,3}	2t{3,3^1,1} h_2,3{4,3,3}	r{3,3^1,1} {3^1,1,1}={3,4,3}	rr{3,3^1,1} r{3^1,1,1}=r{3,4,3}	tr{3,3^1,1} t{3^1,1,1}=t{3,4,3}	sr{3,3^1,1} s{3^1,1,1}=s{3,4,3}

Курносый 24-элементный элемент также называют полукурносым 24-элементным, поскольку он не является настоящим курносым (чередованием всеусеченных 24-элементных элементов). Также можно построить полную курносую 24-ячеечную структуру, хотя она не является однородной и состоит из неправильных тетраэдров с чередующимися вершинами.

Курносые 24-ячеистые соты — это самая большая грань четырехмерных сот, курносые 24-ячеечные соты .

Курносый 24-ячейка является частью _{F 4} семейства однородных 4-многогранников симметрии .

24-клеточные семейные многогранники
Name	24-cell	truncated 24-cell	snub 24-cell	rectified 24-cell	cantellated 24-cell	bitruncated 24-cell	cantitruncated 24-cell	runcinated 24-cell	runcitruncated 24-cell	omnitruncated 24-cell
Schläfli symbol	{3,4,3}	t_0,1{3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t₁{3,4,3} r{3,4,3}	t_0,2{3,4,3} rr{3,4,3}	t_1,2{3,4,3} 2t{3,4,3}	t_0,1,2{3,4,3} tr{3,4,3}	t_0,3{3,4,3}	t_0,1,3{3,4,3}	t_0,1,2,3{3,4,3}
Coxeter diagram
Schlegel diagram
F₄
B₄
B₃(a)
B₃(b)
B₂

См. также

Цитаты

^ Клитцинг .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Собака 1900 года .
^ Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс 2008 , стр. 401, 26. Полувзносый полиоктаэдр Госсета.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1973 , стр. 151–153, §8.4. Курносый {3,4,3}.
^ Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7.
^ Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 , стр. 986–988, 6. Двойной курносый 24-клеточный.
^ Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 , 5. Подробный анализ клеточной структуры курносых 24-клеток.
^ Коджа, Оздес Коджа и Аль-Барвани 2012 .
^ Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 .

Ссылки

Госсет, Торольд (1900). «О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений». Вестник математики . Макмиллан.
Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
Конвей, Джон ; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). Симметрии вещей . ISBN 978-1-56881-220-5 .
Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Аль-Барвани, Муатаз (2012). «Крутой 24-клеточный элемент, полученный из группы Кокстера-Вейля W (D4)» . Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . дои : 10.1142/S0219887812500685 . S2CID 119288632 .
Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Оздеш Коджа, Назифе (2011). «Кватернионное представление курносой 24-клетки и ее двойного многогранника, полученного из корневой системы E8» . Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . дои : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN 0024-3795 . S2CID 18278359 .
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) s3s4o3o - sadi» .

Внешние ссылки

3. Выпуклая равномерная полихора на основе икоситетрахора (24-клеточного) — Модель 31 , Георгий Ольшевский.
Принт №11: Курносая сеть икоситетрахорон , Георгий Ольшевский.
Курносый икоситетрахорон - Данные и изображения

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[FOOTNOTEKlitzing-1] Клитцинг .

[FOOTNOTEGosset1900-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Собака 1900 года .

[FOOTNOTEConwayBurgielGoodman-Strauss200840126._Gosset's_semi-snub_polyoctahedron-3] Конвей, Бургель и Гудман-Штраусс 2008 , стр. 401, 26. Полувзносый полиоктаэдр Госсета.

[FOOTNOTECoxeter1973151–153§8.4._The_snub_{3,4,3}-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер 1973 , стр. 151–153, §8.4. Курносый {3,4,3}.

[FOOTNOTECoxeter197350–52§3.7-5] Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7.

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiOzdes_Koca2011986–9886._Dual_of_the_snub_24-cell-6] Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 , стр. 986–988, 6. Двойной курносый 24-клеточный.

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiOzdes_Koca20115._Detailed_analysis_of_cell_structure_of_the_snub_24-cell-7] Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 , 5. Подробный анализ клеточной структуры курносых 24-клеток.

[FOOTNOTEKocaOzdes_KocaAl-Barwani2012-8] Коджа, Оздес Коджа и Аль-Барвани 2012 .

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiOzdes_Koca2011-9] Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]